当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1.2用二分法求方程的近似解


3.1.2 用二分法求方程的近似解

自主学习 新知突破

在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品 的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价

格在500元~1 000元之间的一款手机,选手开始报价:
选手:750. 主持人:低了. 选手:800. 主持人:高了. 选手:760. 主持人:高了.

选手:755. 主持人:高了.

选手:753.
主持人:高了. 选手:752. 主持人:祝贺你,答对了. [问题] 物价竞猜体现了什么数学知识? [提示] 二分法求近似值.

1.会用二分法求方程的近似解.(重点)
2.明确精确度ε与近似值的区别.(易混点) 3.会判断函数零点所在的区间.(难点)

用二分法求方程的近似解
1.二分法 对于在区间[a,b]上___________ f(a)· f(b)<0 的函数y 连续不断 且____________ 一分为二 , =f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________ 使区间的两个端点逐步逼近 _______ 零点 ,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.

2 . 给定精确度 ε ,用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步
骤: 第一步:确定闭区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε. 第二步:求区间(a,b)的中点c.

第三步:计算f(c).
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0, 则令b=c(此时零点x0∈(a,c));

(3)若f(c)·f(b)<0,

则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
第四步:判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值a(或b),否则重复第二步至第四步.

对二分法定义的理解

(1)二分法的基本思想:逼近思想;
(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零 点适用,对函数的不变号零点不适用.

1.下列函数零点不宜用二分法的是( A.f(x)=x3-8 C.f(x)=x2+2 2x+2
解析: 由题意知选 C. 答案: C

)

B.f(x)=ln x+3 D.f(x)=-x2+4x+1

2 .用二分法求方程 f(x)=0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根在区间( A.(1.25,1.5) C.(1.5,2) B.(1,1.25) D.不能确定 )

解析: 由题意知 f(1.25)· f(1.5)<0, ∴方程的根在区间(1.25,1.5)内,故选 A.
答案: A

3.用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数 据如下:
f(1.600 0) =0.200 f(1.562 5) =0.003 f(1.587 5) =0.133 f(1.575 0) =0.067

f(1.556 2) =-0.029 f(1.550 0) =-0.060

据此数据,可得方程 3x-x-4 =0 的一个近似解 (精确度 0.01)可取________.

解析:

f(1.562 5)=0.003>0,f(1.556 2)=-0.029<0,方

程3x-x-4=0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上,且满足精确
度0.01,所以所求近似解可取为1.562 5. 答案: 1.562 5

4.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1). 解析: 设f(x)=x2-2x-1,

∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0,
∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x0. 取2与3的平均数2.5, ∵f(2.5)=0.25>0,∴2<x0<2.5; 再取2与2.5的平均数2.25, ∵f(2.25)=-0.437 5<0,∴2.25<x0<2.5;

如此继续下去,有 f(2.375)<0,f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5);

f(2.375)<0,f(2.437 5)>0?x0∈(2,375,2.437 5).
∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1, ∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.

合作探究 课堂互动

二分法的概念
下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分 法求图中函数零点的是( )

[思路探究] 1.二分法的实质是什么? 2.函数具有零点与该函数的图象有何关系? 解析: 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值

异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于 A、C、D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点. 答案: B

二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在 零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分 法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函 数的不变号零点不适用.

1.(1)下面关于二分法的叙述,正确的是( A.用二分法可求所有函数零点的近似值

)

B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的 任一位 C.二分法无规律可循

D.只有在求函数零点时才用二分法

(2)函数 f(x)的图象如图所示, 能用二分法求函数 f(x)的零点 个数为( )

A.0 C.4

B.1 D.3

解析:

(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该

零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数的零点的近似

值,故A错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故
C错;求方程的近似解也可以用二分法,故D错. (2)由图可知,图象与x轴有四个公共点,三个穿过x轴,共 有4个零点,其中有3个变号零点,故选D. 答案: (1)B (2)D

用二分法求函数零点的近似值
用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的 一个零点.(精确度0.01)

[思路探究]
1 .在用二分法求函数的零点时,将选取的初始区间等分 的次数由哪个因素决定? 2 .给定精确度 ε ,用二分法求函数 f ( x ) 的零点的初始区间 是唯一的吗?

解析: 在零点x0.

经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在[1,1.5]内存

取(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0,
因为f(1.5)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.25,1.5),

如此继续下去,如下表:
区间 (1,1.5) (1.25,1.5) 中点值 1.25 1.375 中点函数近似值 -0.30 0.22

(1.25,1.375)
(1.312 5,1.375) (1.312 5,1.343 75)

1.312 5
1.343 75 1.328 125 1.320 312 5

-0.05
0.08 0.01 -0.02

(1.312 5,1.328 125)

因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似零点可取

为1.328 125.

1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原 则

(1) 需依据图象估计零点所在的初始区间 [ m,n ]( 一般采用
估计值的方法完成). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m,

c ]还是 [c , n ] ,逐步缩小区间的 “长度” ,直到区间的两个端
点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值. 2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间,找中点;中值计算两边看.
同号丢,异号算,零点落在异号间. 重复做,何时止,精确度来把关口.

2.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一零点,并

求出这个零点(精确度0.1).

解析: 由于 f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数 f(x)在[1,2] 内是增函数,所以函数在区间[1,2] 内有唯一零点,不妨设为 x0, 则 x0∈[1,2] .下面用二分法求解.

(a,b) (1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25)

(a,b) 的中点 1.5 1.25 1.125 1.187 5

f(a) f(1)<0 f(1)<0 f(1)<0 f(1.125)<0

f(b) f(2)>0 f(1.5)>0 f(1.25)>0 f(1.25)>0

?a+b? ? f? 2 ? ?

f(1.5)>0 f(1.25)>0 f(1.125)<0 f(1.187 5)<0

因为|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数 f(x)=2x+3x -6 的精确度为 0.1 的近似零点可取为 1.25.

用二分法求方程的近似解
用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似 解.(精确度0.1)

[思路探究]
1.方程f(x)=0在区间[a,b]内有解应具备什么条件? 2.是否可按照用二分法求函数零点近似值的步骤来求方 程f(x)=0的近似解?

[边听边记] 令f(x)=2x3+3x-3,

经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点, 即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.

如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如下表:
(a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (0.687 5,0.75) 中点 c 0.5 0.75 0.625 0.687 5 f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625)<0 f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75) >0 f(0.75) >0
?a+b? ? f? 2 ? ?

f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625) <0 f(0.687 5) <0

|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1

由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以 0.75 可作为方程的 一个正实数近似解.

二分法的记忆口诀

函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方
程成立很显然.要求方程近似解,先看零点的区间,每次区间 分为二,分后两端近零点.

3.利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).
解析: 作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x =2-x有唯一解,设为x0,并且在区间(1,2)内, 设f(x)=lg x+x-2,用计算器计算得f(1)<0, f(2)>0?x0∈(1,2);

f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);

f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5). 因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1, 所以方程的近似解可取为1.812 5.

◎用二分法求方程x2-5=0的一个非负近似解.(精确度为
0.1) 【错解】 令f(x)=x2-5, 因为f(2.2)=2.22-5=-0.16<0, f(2.4)=2.42-5=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0,

取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=2.32-5=0.29,

因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.062 5, 因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 同理可得x0∈(2.225,2.25),(2.225,2.237 5). 又f(2.225)≈-0.049 4,f(2.237 5)≈0.006 4,

且|0.006 4-(-0.049 4)|=0.055 8<0.1,
所以原方程的近似正解可取为2.225.

【错因】
f(b)|<ε.

本题错解的原因是对精确度的理解不正确,精

确度ε满足的关系式为 |a-b|<ε ,而本题错解中误认为是 | f(a) - 【正解】 令f(x)=x2-5, 因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,

所以f(2.2)·f(2.4)<0,
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0, 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3, f(2.3)=0.29,

因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),

再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062 5, 因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 由于|2.25-2.2|=0.05<0.1, 所以原方程的近似正解可取为2.25.

高效测评 知能提升

点击进入WORD链接


相关文章:
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.1.2 用二分法求方程的近似解_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数的应用 备课人:陈老师 3.1.2 用二分法求方程的近似解 整体设计 教学分析 求方程的解是...
3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2用二分法求方程的近似解_数学_高中教育_教育专区。课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解教学目的: (1)通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的...
3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2用二分法求方程的近似解_数学_高中教育_教育专区。导学案 高效课堂第三章第3节班级 小组 3.1.2 用二分法求方程的近似解学生姓名 教师评价 (3) .根据表中...
3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2用二分法求方程的近似解 说课稿说课稿隐藏>> 用二分法求方程的近似解 尊敬的各位评委、老师,大家好! 我叫某某,今天我说课的内容是《普通高中课程标准实验教科...
高一数学《3.1.2用二分法求方程的近似解》
高一数学《3.1.2用二分法求方程的近似解》_数学_高中教育_教育专区。3.1.2 用二分法求方程的近似解 (一)教学目标 1.知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原...
3.1.2用二分法求方程的近似解 同步训练(附答案)
3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.用“二分法”可求近似解,对于精确度 ε 说法正确的是( ) A.ε 越大,零点的精确度越高 B.ε 越大,零点的精确度越低 C...
3.1.2用二分法求方程的近似解(教学设计)
3.1.2用二分法求方程的近似解(教学设计)_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 2014证券资格证券交易高分突破试卷及答案 2014年证券考试...
3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2 用二分法求方程的近似解兖州一中 高二数学 薛德华 13791719950 课型:新授课 【学习目标】 知识与技能: (1)了解二分法是求方程近似解的一种方法. (2)体会...
高中数学必修1——3.1.2用二分法求方程的近似解
高中数学必修1——3.1.2用二分法求方程的近似解_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修1——3.1.2用二分法求方程的近似解学...
3.1.2用二分法求方程的近似解教案
用二分法求方程的近似解 教学目标 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二 分法是求方程近似解的常用方法, 从中体会函数与方程之间的联系及 ...
更多相关标签: