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3.2.1 常见函数的导数(1)


一、复习
1.导数的几何意义: 1.导数的几何意义: 导数的几何意义 曲线在某点处的切线的斜率; 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物理意义: 意义 物体在某一时刻的瞬时度。 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度) 瞬时速度或瞬时加速度)

2、由定义求导数(三步法) 由定义求导数(三步法) 步骤: 步骤:

(1) 求增量 ?y = f ( x + ?x) ? f ( x);
?y f ( x + ?x) ? f ( x) (2) 算比值 ; = ?x ?x

?y (3) 当?x →0, → f ′(x) ?x

3.2.1 常见函数 的导数(1) 的导数(1)

新课: 新课: 几种常见函数的导数 公式一: C′ = 0 (C为常数 (kx+b)’=k 公式一: 为常数) 为常数

(1)(?2 x + 3)′ =-2 (4) x′ = 1 (2)(?2 x)′ = -2 (5)( x + 5)′ = 1 (3)3′ = 0 (6)(?4)′ = 0

公式二: 公式二:

是常数) x =αx (α是常数)
α

? α1

(1) x′ = 1
(2)( x )′ = 2 x
2

(3)( x )′ = 3 x 2 1 1 (4)( )′ = ? 2 x x
3

通过以上公式我们能得到什么结论? 通过以上公式我们能得到什么结论?

例1:求下列函数的导数

(1) y = x

?5

(2) y = x x x

几种常见函数导数

例2: 1)已知y= x , f′(2). ( 已知y 求
3

Q 解: y′ = ( x3 )′ = 3x3?1 = 3x2

′(2) = 3×(2)2 =12 ∴f

′ = ( x?2 )′ = ?2x?2?1 = ?2x?3 Q 解: y
1 2 ∴ f ′(3) = ?2 × (3) = ?2 × = ? 27 27
?3

1 (2)已知y= 2 , f′(3). 已知y 求 x

几种常见函数导数

1 若直线y 为函数y 图象的切线, 例3.若直线y= ?x + b为函数y= 图象的切线, x (1,1),(-1,(1,1),(-1,-1) 求b的值和切点的坐标 . b=2,b=2,-2 4 变式1 求曲线y 在点( 线方程. 变式1 求曲线y= x 在点(1,1)处的切 : 线方程. 4x4x-y-3=0 2 变式2 已知直线y 上任意一点, 变式2:已知直线y= x ?1, P为y= x 上任意一点, 点
线的距离最短? 求P在什么位置时到直 线的距离最短? 3 dmin = 2 x-y-1/4=0 8

公式三: 公式三:

(sin x)′ = cos x

公式四: 公式四:

(cos x)′ = ?sin x

例4.求下列函数的导数 4.求下列函数的导数

π (1)y= sin( + x) 2 (3)y= cos(2π x) ?

π (2)y= cos( ?x) 2

练习1 已知f = 且 : 练习1 已知f(x) x , f′(1)= ?4,
a

求实数a 求实数a.

几种常见函数导数

例5、某圆柱形容器的底面直径为2m, 某圆柱形容器的底面直径为2m, 2m 深度为1m 盛满液体后以0.01m /s的 1m, 深度为1m,盛满液体后以0.01m3/s的 速度放出,求液面高度的变化率。 速度放出,求液面高度的变化率。

0.01 h = 1? t π
练习2:求过曲线y=cosx上点P( 练习2:求过曲线y=cosx上点P( 2:求过曲线y=cosx上点 的切线的直线方程. 的切线的直线方程.

h

π 1
3 2 ,

)

π 3 ∴所求的直线方程为 3x + 2y ?1? = 0. 3

小结: 小结:

C′ = 0(C为 数 常 )

x = αx (α为常数) (sin x)′ = cos x
α α ?1

(cos x)′ = ?sin x

几种常见函数导数

3.路灯距地面为8m,一个身高为1.6m的人 3.路灯距地面为8m,一个身高为1.6m的人 路灯距地面为8m,一个身高为1.6m 84m/min的速率在地面上行走 的速率在地面上行走, 以84m/min的速率在地面上行走,从路灯 在地平面上射影点C,沿某直线离开路灯, C,沿某直线离开路灯 在地平面上射影点C,沿某直线离开路灯, 求人影长度的变化率. 求人影长度的变化率. x=21t
D C E B


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