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高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)


高中数学竞赛培训教材 (一)集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数 学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程 而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数 量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组) 的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。 一、学习集合要抓住元素这个关键 例 1.设 A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。 分析:A 中的元素是自然数,即由两个整数 a、b 的平方和构成的自然数,亦即从 0、1、4、9、 16、25??,n2,??中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个 这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,N∈Z 证明:设 X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈Z.则 X1X2=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+2ac?bd+b2d2+b2c2-2bc?ad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2 又 a、b、c、d∈Z,故 ac+bd、bc-ad∈Z,从而 X1X2∈A 练习: 1.设两个集合 S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证:S=T。 2.设 M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证: (1)一切奇数属于 M; (2)4k-2(k∈Z)不属于 M; (3)M 中任意两个数的积仍属于 M。 3.已知函数 f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,且 A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}. 第 1 页(共 52 页) (1)求证:A B; (2)若 A={-1,3}时,求集合 B. 二、集合中待定元素的确定 例 2.已知集合 M={X,XY,lg(xy)},S={0,∣X∣,Y},且 M=S,则(X+1/Y)+(X2+1/Y2) +??+(X2002+1/Y2002)的值等于( ). 分析:解题的关键在于求出 X 和 Y 的值,而 X 和 Y 分别是集合 M 与 S 中的元素。这一类根据集合 的关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集 合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集), 还会用到它们的简单性质:(a)相等两集合的元素个数相等;(b)相等两集合的元素之和相等;(c)相 等两集合的元素之积相等. 解:由 M=S 知,两集合元素完全相同。这样,M 中必有一个元素为 0,又由对数的性质知,0 和 负数没有对数,所以 XY≠0,故 X,Y 均不为零,所以只能有 lg(XY)=0,从而 XY=1.∴M={X,1, 0},S={0,∣X∣,1/X}.再由两集合相等知 当 X=1 时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故 X=1 不满足 题目要求; 当 X=-1 时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而 X=-1 满足题目要求,此时 Y=- 1,于是 X2K+1+1/Y2K+1=-2(K=0,1,2,??),X2K+1/Y2K=2(K=1,2,??),故所求代数式 的值为 0.

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