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双曲线与抛物线


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双曲线与抛物线复习 课 题 1.直线与抛物线的位置关系 2.直线被抛物线所截得的弦长问题. 1.能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题; 2.体会数形结合思想在解题中的应用,并能应用几何性质解决有关问题. 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位, 是高考的重点、 热点和难点。 通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等 知识进

行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考 查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。 教学内容 知识框架 双曲线必须掌握的知识点:

教学目标 重点、难点

考点及考试要求

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的 a 2 b2 x2 y 2 直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 a b b2 x 交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? ? 2 0 (常数). a y0
1. 双曲线

x2 y2 3. 若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 a b
是 焦 点 ,

?PF1F2 ? ? ,

?PF2 F1 ? ? , 则

c?a ? ? ? tan co t ). c?a 2 2
4. 设双曲线

c?a ? ? ( 或 ? tan co t c?a 2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲 a 2 b2

线上任意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a
5. 若双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1 a 2 b2

<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比
1

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例中项. 6. P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点, a 2 b2

则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时, 等号成立.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . x2 y2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 a b OP ? OQ .
7. 双曲线 (1)

4a 2b 2 1 1 1 1 ;(3) S ?OPQ 的最 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b

a 2b 2 小值是 2 . b ? a2 x2 y2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点, a b | PF | e 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a b 2b 2 ? 2 记 ?F1 PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 1 ? cos ? 2 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有
10. 已知双曲线

2ab 2 | cos ? | 2a 2 b 2 2 cot ? . (1) | PA |? 2 .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ? 2 | a ? c 2co s 2 ? | b ? a2
13. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦 a 2 b2

点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相
2

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应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与 焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离 心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线需要掌握的基本之后四点 (1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的 所有点的集合.其离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这 个美好的 1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 【例 1】P 为抛物线 y ? 2 px 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴(
2



A. 相交

B. 相切

C. 相离
?p ? , 0 ? ,准线是 ?2 ?

D. 位置由 P 确定

【解析】如图,抛物线的焦点为 F ?

Y H Q N

P M X

p .作 PH⊥ l 于 H,交 y 轴于 Q,那么 PF ? PH , 2 p 且 QH ? OF ? .作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的 2 1 1 1 中位线, MN ? ? OF ? PQ ? ? PH ? PF .故以 2 2 2 l:x??
PF 为直径的圆与 y 轴相切,选 B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的.

O F ( p ,0)
2
l :x=p 2

y2 = 2 px

(2)焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题, 许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质, 对破解这些试题 是大有帮助的. 【例 2】 过抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,求
2

证:

3

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(1) AB ? x1 ? x2 ? p (2)

1 1 2 ? ? AF BF p

【证明】 (1)如图设抛物线的准线为 l ,作

AA1 ? l A1 , BB1 ? l于B1,则 AF ? AA1 ? x1 ?

p , 2

Y A1

p BF ? BB1 ? x2 ? .两式相加即得: 2
AB ? x1 ? x2 ? p
(2)当 AB⊥x 轴时,有

A(x,y) 1 1 X

F B 1 B(x,y) 2 2 l

AF ? BF ? p, ?

1 1 2 ? ? 成立; AF BF p

当 AB 与 x 轴 不 垂 直 时 , 设 焦 点 弦 AB 的 方 程 为 :

p? ? y ? k ? x ? ? .代入抛物线方程: 2? ?
p? p2 2 ? k ? x ? ? ? 2 px .化简得: k 2 x 2 ? p ? k 2 ? 2 ? x ? k ?0 2? 4 ?
2 2

?1?

∵方程(1)之二根为 x1,x2,∴ x1 ? x2 ?

k2 . 4

x1 ? x2 ? p 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? p p2 AF BF AA1 BB1 x ? p x ? p x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 2 2 2 2 4

?

x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p 2 ? ? . 2 p p p p ? x1 ? x2 ? p ? p ? ? x1 ? x2 ? ? 2 4 2 4
2

故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直,恒有

1 1 2 ? ? 成立. AF BF p

(3)切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题, 又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程, 是解题者不可或缺 的基本功. 【例 3】证明:过抛物线 y ? 2 px 上一点 M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0)
2

? 【证明】对方程 y ? 2 px 两边取导数: 2 y ? y? ? 2 p, y? ?
2

p .切线的斜率 y

4

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k ? y?
x ? x0

?

p p .由点斜式方程: y ? y0 ? ? x ? x0 ? ? y0 y ? px ? px0 ? y02 y0 y0

?1?

2 ? y0 ? 2 px0,代入()即得:y0y=p(x+x0) 1

(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意 想不到的收获. 例如:1.一动圆的圆心在抛物线 y ? 8 x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则此动圆必过
2

定点





A. ? 4,0 ?

B. ? 2,0 ?

C. ? 0, 2 ?

D. ? 0, ?2 ?

显然.本题是例 1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选 B. 2.抛物线 y ? 2 px 的通径长为 2p;
2 2 3.设抛物线 y ? 2 px 过焦点的弦两端分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,那么: y1 y2 ? ? p
2

以下再举一例 【例 4】设抛物线 y ? 2 px 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1,证明:以 A1B1 为直径的圆必
2

过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么 A1B1=AB=2p,而 A1B1 与 AB 的距离为 p,可知 该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以 Y A A 11 下我们对 AB 的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 那么: 设 抛 物 线 的 准 线 交
2

M C F B X B 1

x

轴 于
2

C , 那 么

CF ? p. y1 y2 ? ? p ? CA1 ? CB1 ? y1 y2 ? p .
??A1 FB1中 CF ? CA1 ? CB1 .故?A1 FB1 ? 90? .
2

这就说明:以 A1B1 为直径的圆必过该抛物线的焦点.

Y B M

● 通法 特法 妙法 (1)解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯 几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等). 2 【例 5】已知抛物线 y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相 异两点 A、B,则|AB|等于( )
5

A

O

X
l? x + y = 0

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A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直,且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上,因得解法如下. 【解析】∵点 A、B 关于直线 x+y=0 对称,∴设直线 AB 的方程为: y ? x ? m . 由?

? y ? x?m ? x2 ? x ? m ? 3 ? 0 y ? ? x2 ? 3 ?

?1?

设方程(1)之两根为 x1,x2,则 x1 ? x2 ? ?1 . 设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 x0 ?

x1 ? x2 1 1 ? 1 1? ? ? .代入 x+y=0:y0= .故有 M ? ? , ? . 2 2 2 ? 2 2?
2

从而 m ? y ? x ? 1 .直线 AB 的方程为: y ? x ? 1 .方程(1)成为: x ? x ? 2 ? 0 .解得: ,B(1,2).? AB ? 3 2 ,选 C. x ? ?2,1 ,从而 y ? ?1, 2 ,故得:A(-2,-1)

(2)几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多 考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状, 人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法, 其 中最有成效的就是几何法.
2 【例 6】抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方

的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △AKF 的面积( A. 4 B. 3 3 C. 4 3

) D. 8

【解析】如图直线 AF 的斜率为 3 时∠AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线 l 交 x 轴于 M,则 FM ? p ? 2, 且∠KFM=60°,∴ KF ? 4, S?AKF ?

Y K A

3 2 ? 4 ? 4 3 .选 C. 4

60° M O F(1,0) L:x=-1

X

【评注】 (1)平面几何知识:边长为 a 的正三角形的

3 2 a 计算. 面积用公式 S ? ? 4

= Y 2px
2

(2)本题如果用解析法,需先列方程组求点 A 的坐标, ,再计算正三角形的边长和面积.虽不 是很难,但决没有如上的几何法简单.

(3)定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单.
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【例 7】双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 和 F2 ; a 2 b2
F1 F2 MF1 ? MF1 MF2
D. 等于( )

抛物线 C2 的线为 l ,焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为 M ,则 A. ?1 C. ?

B. 1

1 2

1 2

【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就 从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图, 我们先做必要的准备工作: 设双曲线的半 焦距 c,离心率为 e,作 MH ? l于H ,令
y

MF1 ? r1 , MF2 ? r2 .∵点 M 在抛物线上,
H

r2
O a2 c

M(x,y)

? MH ? MF2 ? r2 , 故

MF1 MH

?

MF1 MF2

?

r1 ? e, r2

r1
F 1 ( -c , 0)
l :x = -

r2
F 2 (c,0)
x

这就是说:

| MF1 | 的实质是离心率 e. | MF2 |

其次,

| F1 F2 | 与离心率 e 有什么关系?注意 | MF1 |
? 2c e ? 2a e ? r1 ? r2 ? ? 1? ? ? ? e ?1 ? ? ? e ? 1 . r1 r1 r1 ? e?

到:

F1 F2 MF1

这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于

| F1 F2 | | MF1 | ? ? ? e ? 1? ? e ? ?1 .∴选 A.. | MF1 | | MF2 |

(4)三角法——本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地 将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数, 然后根据各种三 角关系实施“九九归一”——达到解题目的. 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困 境,简化计算.

M

【例 8】 如图, 倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F, 且与抛物线交于 A、 A B 两点。 (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程;
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(Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。 【解析】 (Ⅰ)焦点 F(2,0) ,准线 l ; x ? ?2 .(Ⅱ)直线 AB: y ? tan ? ? x ? 2 ?

?1? .

y2 2 x? 代入(1) ,整理得: y tan ? ? 8 y ? 16 tan ? ? 0 8
8 ? ? y1 ? y2 ? 设方程(2)之二根为 y1,y2,则 ? tan ? . ? y1 ? y2 ? ?16 ?

? 2?

y1 ? y2 4 ? ? ? 4 cot ? ? y0 ? 设 AB 中点为 M ? x0 , y0 ? , 则 ? 2 tan ? ? x0 ? cot ? ? y0 ? 2 ? 4 cot 2 ? ? 2 ?
AB 的垂直平分线方程是: y ? 4 cot ? ? ? cot ? x ? 4 cot ? ? 2 .
2

?

?

令 y=0,则 x ? 4 cot ? ? 6,有P 4 cot ? ? 6,0
2 2 2

?

? ?
2

故 FP ? OP ? OF ? 4 cot ? ? 6 ? 2 ? 4 cot ? ? 1 ? 4 cos ?
2

?

于是|FP|-|FP|cos2a= 4 csc ? ?1 ? cos 2? ? ? 4 csc ? ? 2sin ? ? 8 ,故为定值.
2 2 2

(5)消去法——合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算, 是革新、 创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设 而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 l : (1) l 与抛物线 y ? 8 x 有两个不同的交点 A
2

和 B; (2)线段 AB 被直线 l1 :x+5y-5=0 垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 l 的方 程. 【解析】假定在抛物线 y ? 8 x 上存在这样的两点 A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ? .则有:
2

? y12 ? 8 x1 ? y ? y2 ? ? 8 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? ? k AB ? 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? ? y2 ? 8 x2
∵线段 AB 被直线 l1 :x+5y-5=0 垂直平分,且 kl1 ? ? , k AB ? 5,即 ?

1 5

8 ?5 ? y1 ? y2 ?

8 ? y1 ? y2 ? . 5
设线段 AB 的中点为 M ? x0,y0 ?,则y0 ?

y1 ? y2 4 ? .代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是: 2 5
8

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AB 中点为 M ? 1, ? .故存在符合题设条件的直线,其方程为:

? 4? ? 5?

y?

4 ? 5 ? x ? 1?,即: x ? 5 y ? 21 ? 0 25 5

抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为 简,优化解题思路,提高思维能力。现举例说明如下。 一、求轨迹(或方程) 例 1. 已知动点 M 的坐标满足方程 点 M 的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 ,则动

二、求参数的值 例 2. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 到焦点距离为 5,求 m 的值。

三、求角 例 3. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在抛 物线准线上的射影分别为 ,则 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° __________。

例 4. 设 O 为抛物线的顶点,F 为抛物线的焦点且 PQ 为过焦点的弦, 若 五、求最值 例 5. 设 P 是抛物线 上的一个动点。 (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 小值; (2)若 B(3,2),求 六、证明 求证:以抛物线 相切。 过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线 的最小值。 的距离之和的最 , 。求△OPQ 的面积。

如图 2,面积为 18 的等腰直角三角形 OAB 的一条直角边 OA 在 x 轴上,二次函数 的图像过原点、A 点和斜边 OB 的中点 M。 (1)求出这个二次函数的解析式和对称轴。
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(2)在坐标轴上是否存一点 P,使△PMA 中 PA=PM,如果存在,写出 P 点的坐标,如果不存在,说 明理由。

如图 4,在同一直角坐标系内,如果 x 轴与一次函数 的图象以及分别过 C(1,0)、D(4, 0)两点且平行于 y 轴的两条直线所围成的图形 ABDC 的面积为 7。

图4 (1)求 K 的值; (2)求过 F、C、D 三点的抛物线的解析式; (3)线段 CD 上的一个动点 P 从点 D 出发,以 1 单位/秒的速度沿 DC 的方向移动(点 P 不重合于点 C),过 P 点作直线 PQ⊥CD 交 EF 于 Q。当 P 从点 D 出发 t 秒后,求四边形 PQFC 的面积 S 与 t 之间 的函数关系式,并确定 t 的取值范围。

已知抛物线 D:y =4x 的焦点与椭圆 Q:

2

x2 y2 6 ) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F1 重合,且点 P ( 2 , 2 2 a b

在椭圆 Q 上。 (Ⅰ)求椭圆 Q 的方程及其离心率; (Ⅱ)若倾斜角为 45°的直线 l 过椭圆 Q 的左焦点 F2,且与椭圆相交于 A,B 两点,求△ABF1 的面积。

y N

? 的直线 4 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最 大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积
如图所示,抛物线 y =4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为
2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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o M

B

A

x

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