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函数与方程较难题(详细答案)


函数与方程较难题(详细答案)

1.设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax 2 ? bx(a, b ? R, a ? 0) ,若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) x

图象有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 B. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 【答案】 :B 【解析】 :令 f ( x) ? g ( x) 可得 设 y? ?

1 ? ax ? b 。 x2

1 , y ?? ? ax ? b x2

不妨设 x1 ? x 2 ,结合图形可知, 当 a ? 0 时如右图,此时 x1 ? x2 , 即 ? x1 ? x2 ? 0 ,此时 x1 ? x2 ? 0 , y 2 ?

1 1 ? ? ? ? y1 ,即 y1 ? y2 ? 0 ;同理可 x2 x1

由图形经过推理可得当 a ? 0 时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

y

y

x1

x2

x

x1

x2

y ?? ? ax ? b (x a ? 0)

【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合,考查数形结合思想、分类 讨论思想,函数与方程思想等,难度很大,不易入手,具有很强的区分度

? 2x3 ?1 ? , x ? ? ,1?, ? ? ? x ?1 ?2 ? 2.已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 6 ?? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ?. ? ? ? 6 ? 2? ? 3
若存在 x1 , x2 ? ?0,1?,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实 数 a 的取值范围是

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A. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

B. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1? 2

?1 ? ? ?

【答案】A 【解析】记函数 f ( x ) 的值域为 A ,函数 g ( x) 的值域为 B ,由题 A 1、当 x ? ?

B ??

4 x 2 +6 x 2 1 ?1 ? >0, 故 f ( x ) ? ( ,1] ,1? 时, f ?( x) ? 2 6 ?2 ? ? x ? 1?
1

当 x ? ?0, ? 时, f ( x) ? [0, ] 6 2 因此 A ? [0,1] 2、当 x ??0,1? 时, 3、若 A

? 1? ? ?

1 3 x) ? [0, ] ,于是 B =[2 ? 2a,2 ? a] 6 6 6 2 2 3 1 4 B =? ,则 2 ? 2a >1 或 2 ? a <0 ,解得 a < 或 a > 2 2 3 x ? [0, ] ? sin (


?

?

?

于是答案选 A 3.若关于 x 的方程 x | x ? a |? a 有三个不相同的实根,则实数 a 的取值范围为( A. (4, ??) C. (?4, 4) 【答案】D 【解析】 4.函数 f ( x) ? ln x ? e 的零点所在的区间是
x

B. (??, ?4) D. (??, ?4)

(4, ??)

(A)( 0, )

1 e

(B)( ,1 )

1 e

(C)( 1, e )

(D)( e, ? )

【答案】A 【解析】由于函数在(0,+∞)单调递增且连续,根据零点判定定理只要满足 f(a)f (b)<0 即为满足条件的区间 解:由于函数在(0,+∞)单调递增且连续

1 1 1 e e 2 f( 2 )=e e -2<0,f( )=ln +e =e -1>0,f(1)=e>0 e e e 1 故满足条件的区间为(0, e )
故选 A. 5.方程 2 x ? x 2 ? A、0 【答案】 A 【解析】

1

1

1

2 的正根个数为( x
B、1

) C、2 D、3

本题学生很容易去分母得 2 x 2 ? x 3 ? 2 ,然后解方程,不易实现目标。
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事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出 y ? 2 x ? x 2 , y ? 第一象限没有交点。故选 A。

2 的图象,容易发现在 x

6 .设 A ? {1,2,?,10} ,若“方程 x ? bx ? c ? 0 满足 b, c ? A ,且方程至少有一根
2

a? A” ,就称该方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为
(A)8 【答案】C (B)10 (C)12 (D)14

【解析】由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为 ? 1 时,有 9 个 满足题意的“漂亮方程” ,当一根为 ? 2 时,有 3 个满足题意的“漂亮方程” 。共有 12 个,故选 C。 7.已知 a , b 是方程 log 3 x 3 ? log 27 (3 x) ? ? A.

10 27

B.

4 81

4 的两个根,则 a ? b ? 3 10 28 C. D. 81 81





【答案】C 【解析】 原方程变形为 令 1 ? log3 x ? t , 则

log3 3 log3 (3x) 1 ? log 3 x 4 1 4 ? ? ? ,即 ? ?? . log3 (3x) log3 27 3 1 ? log3 x 3 3

1 t 4 ? ? ? , 解 得 t1 ? ?1, t2 ? ?3 . 所 以 1 ? l o 3gx ? ? 或 1 t 3 3 1 1 10 1 ? log3 x ? ?3 ,所以方程的两根分别为 和 ,所以 a ? b ? . 故选(C). 9 81 81
) =( ) f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008

8.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

【答案】 ? 22008 ? 2007 . 【解析】[解法一] 由题设条件知 f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x))

? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2x ?4 ? 63 ? 2x ? 3 ? 2 x ,
因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x ,故

f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ?

? f (2) ? f (0) ? f (0)

? 3 ? (22006 ? 22004 ?
? 3? 41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1 ? 22008 ? 2007 .

? 22 ? 1) ? f (0)

[解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ,则

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2x?2 ? 2x ? 3 ? 2x ? 3 ? 2x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2x?6 ? 2x ? 63 ? 2x ? 63 ? 2x ? 0 ,
即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数,

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所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007

评卷人

得分 二、新添加的题型

9. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 , 当 x ? [0 , 若在区间 (?1, 1] 时,f ( x) ? x , 1] f ( x ? 1)
1 3

上方程 f ( x) ? mx ? m ? 0 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是( ) A. [0 , ) 【答案】D 【解析】 试题分析:方程 f ( x) ? mx ? m ? 0 有两个不同的根 ? f ( x) ? m( x ? 1) 有两个不同的 根 ? y ? f ( x ) 与函数 y ? m( x ? 1) 的图象有两个不同的交点,当 x ? ( ?1,0) 时,

1 2

B. [ , ? ?)

1 2

C. [0 , )

D. (0 , ]

1 2

x ? 1 ? (0,1)



f ( x) ? 1 ?

1 1 1 ? ,? f ( x ) ? ?1 f ( x ? 1) x ? 1 x ?1







? x, x ? [0,1] ? 在同一坐标系内作出 y ? f ( x), x ? (? 1,1] 与 y ? m( x ? 1) 的 f ( x) ? ? 1 ? 1, x ? ( ? 1,0) ? ? x ?1
图象,由图象可知,当两个 函数图象有两个不同公共点时, m 的取值范围为 (0, ] 。

1 2

y

o

x

考点:分段函数、函数零点,数形结合思想。 10. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax( x ? R) (1)若函数 f ( x) 无零点,求实数 a 的取值范围;
2 (2)若存在两个实数 x1 , x 2 且 x1 ? x 2 ,满足 f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0 ,求证 x1 x2 ? e .

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【答案】 (1) a ? 【解析】

1 ; (2)详见解析. e ln x ,因 x

试题分析: (1)根据题意可知, f ( x) 无零点等价于不存在实数 a ,使得 a ? 此考虑通过求导来求函数 g ( x) ? 调递增,在 (e, ??) 上单调递减,

ln x 1 ? ln x 的值域: g '( x) ? ,∴ g ( x) 在 (0, e) 上单 x x2

1 ,而当 x ? 0? 时, g ( x) ? ?? ,当 x ??? 时, g ( x) ? 0 , , e 1 1 ∴ g ( x) 的值域为 ( ?? , ],从而实数 a 的取值范围是 a ? ; ( 2 )由题意可知 , e e
∴ g ( x) max ? g (e) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? ln( x1x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ,
从 而 问 题 等 价 于 求 证 函 数 f ( x) 图 象 关 于 直 线 x ?

1 的不对称性,即等价于求证 a

1 2 时, f ( x ) ? f ( ? x) ,通过构造辅助函数通过求导即可得证. a a ln x 1 ? ln x 试题解析: (1)令 g ( x) ? ,∴ g '( x) ? ,∴ g ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 x x2 1 ? ∴ g ( x) max ? g (e) ? , 而当 x ? 0 时,g ( x) ? ?? , 当x? (e, ??) 上单调递减, ? ? e 1 1 时,g ( x) ? 0 , , ∴ g ( x) 的值域为 ( ?? , ] , ∴实数 a 的取值范围是 a ? ; (2) 由 (1) e e 1 可知, 0 ? a ? ,∵ f ( x) ? ln x ? ax , e 1 1 1 1 ? ax ∴ f '( x ) ? ? a ? ,∴ f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增, ( , ??) 上单调递减,∴不 a a x x 1 妨设 0 ? x1 ? , a 1 2 2 1 x2 ? ? ) f ( ? x) f ?( ? x) l ?n ( ? a1 ? x) , 2 ? 2 ( 0 , 令 g( x 设 x? a a a x a 2 ?1 ? t t ( ? ,1 ) ax 2 2 4 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? ln( ? 1) ? 2ax ? 2 ? ln t ? ?2 ∴ , 令 a ax t ?1 4 h( ? t ) ? l t, n ? 2 t ?1 0? x?

1 4 (t ? 2)2 ? ? 0 ,∴ h(t ) 在 (1, ??) 上单调递增,∴ h(t ) ? h(1) ? 0 , ∴ h '(t ) ? ? t (t ? 1)2 (t ? 1)t
即 当

0? x?

1 a





f( x ?) x)

2 f (? a

x ? ),

2 0 f ( x) ? f ( ? x) a





f ( 2 x? )
∴ x2 ?

2 f 1( ?x ) a

? f, (1

2 2 ? x1 , x1 ? x2 ? , 又 ∵ ln x1 ? ax1 , ln x1 ? ax1 , ln x2 ? ax2 , ∴ a a
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ln( x1x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ,
∴ x1 x2 ? e 2 . 考点:导数的运用. 11.函数 f ? x ? ? log 2 ( x ? 4) ? 3 的零点有
x

A.0 B.1 【答案】C 【解析】

C.2

D.3

试题分析:在同一个坐标系中,画出函数 y ? 3x 与函数 y ? log2 ?x ? 4? 的图象,则图象 的交点个数,就是函数 f ? x ? ? log2 ( x ? 4) ? 3 的零点的个数,由图象知,函数图象交
x

点为 2 个,故函数的零点为 2 个,故答案为 C

考点:函数零点个数的判断

b 满足 x ? 10x ? 4 , 12. 若 a 满足 x ? lg x ? 4 , 函数 f ( x) ? ?
则关于 x 的方程 f ( x) ? x 解的个数是( A.1 【答案】C 【解析】 B.2 C.3 )

? x 2 ? (a ? b) x ? 2,x ? 0 , 2 , x ? 0 ?

D.4

x 10 x ? 4 ? x , 试题分析: 由已知得, 在同一坐标系中作出 y ? 10 ,y ? lg x lg x ? 4 ? x , x 以及 y ? 4 ? x 的图象,其中 y ? 10 , y ? lg x 的图象关于 y ? x 对称,直线 y ? x 与

,所以 a ? b ? 4 , y ? 4 ? x 的交点为(2,2)

? x 2 ? 4 x ? 2,x ? 0 x ? ?1 或 ? 2 ; x2 ? 4 x ? 2 ? x , , 当 x ? 0 时, 当x ? 0, f ( x) ? ? x?0 ? 2,
x ? 2 ,所以方程 f ( x) ? x 解的个数是 3 个.
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4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

O
–1 –2 –3 –4

1

2

3

4

x

考点:1、指数函数、对数函数的图象;2、分段函数. 13.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x 3 中有 三个是增函数;②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数, 则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1, 0 )对称;④已知函数 f ( x) ? ?
1

?3x ?2 ,

x ? 2,

?log3 ( x ? 1), x ? 2,

则方程

f ( x) ?

1 有 2 个实数根,其中正确命题的个数为 ( 2
(B)3 (C)2

) (D)1

(A)4 【答案】B 【解析】

试题分析:对 于 ① ,四 个 函 数 中 y ? x ?1 在 区 间 ( 0 ,?? ) 上 为 减 函 数 , y ? ( x ? 1)2 在 区 间 ( 0 ,?? ) 上 先 减 后 增 ,可 得 有 2 个 函 数 满 足 增 函 数 条 件 ,故 ① 不 正 确 ;对 于 ② , 由 log ? log ? 3 , 0 得 lo g 3 x 是增函数, 3 n ? lo g 3 m ? 0 由函数 y ? lo g m 3 n 可 得 0 ? n ? m ? 1 ,故 ② 正 确 ;对 于 ③ ,因 为 f ( x) 是 奇 函 数 ,得 y ? f ?x ? 图 象 关 于 原 点 对 称 , 将 函 数 图 象 向 右 平 移 1 个 单 位 , 得 y ? f ?x ? 1? 的 图 象 关 于

?3x ?2 , x ? 2, A(1, 0 ) 对 称 , 得 ③ 正 确 ; 对 于 ④ , 函 数 f ( x) ? ? ,可得当 ?log3 ( x ? 1), x ? 2, 1 1 x ? 2?l o 3 g2 或 x ? 3 ? 1 时 满 足 f ( x ) ? , 即 方 程 f ( x ) ? 有 2 个 实 数 根 , 2 2
可得④正确其中的真命题是②③④,共 3 个 . 考点:命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 . 14.若直线 l : y ? ? 范围是()

1 x | 4 ? x 2 | 有且仅有三个交点,则 m 的取值 ? m 与曲线 C : y ? 2 2

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A. ( 2 ? 1, 2 ? 1) C. (1, 2 ? 1) 【答案】B. 【解析】

B. (1, 2 ) D. (2, 2 ? 1)

试题分析:由题意得,曲线 C 是由椭圆上半部分 部分组成,且双曲线的渐近线方程为 y ? ?

x2 x2 ? y 2 ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1 上半 4 4

1 1 x ,与直线 l : y ? ? x ? m 平行;当直线 2 2 l 过右顶点时,直线 l 与曲线 C 有两个交点,此时, m ? 1 ;当直线 l 与椭圆相切时,直

线 l 与曲线 C 有两个交点,此时 m ? 2 ;由图像可知, m ? (1, 2 ) 时,直线 l 与曲线 C 有三个交点.

考点:直线与圆锥曲线的位置关系. 15 . 已 知 命 题 p: 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 根 ; 命 题 q : 方 程
2

4x2 ? 4 ? m ? 2? x ? 1 ? 0 无实根.若 p ? q 为真, p ? q 为假,试求实数 m 的取值范围.
【答案】 m ? 3或1 ? m ? 2 【解析】试题分析:根据 p ? q 为真, p ? q 为假,可知 p 与 q 一真一假,可先求出两 个命题分别为真的 m 的取值范围,然后再找出 p 与 q 一真一假对应的 m 的范围.

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? 试题解析:命题 p: ? ?m ? 0 得 m>2 ? 1 ? 0 ? 2 命题 q:△=16(m-2) -16<0,得 1<m<3 所以 p 真 q 假时,有 m≥3 当 p 假 q 真实,有 1<m≤2
综合得: m ? 3或1 ? m ? 2 为所求 考点:命题及其真假,一元二次方程根的判定. x 2 16.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +(x-1) -2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关 【答案】B x 2 【解析】试题分析:设 g(x)=2a-a ,h(x)=(x-1) ,
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)

注意到 g(x)的图象恒过定点(1,a),画出他们的图象 无论 a>1 还是 0<a<1,g(x)与 h(x)的图象都必定有两个公共点 y a>1 0<a<1 0 1 x

考点:函数图象及其性质,零点的个数 17.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投 资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50%,可能的最大亏损分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求 确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才 能使可能的盈利最大? 【答案】投资甲项目 4 万元,乙项目 6 万元. 【解析】 试题分析:(1)含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变 量,用这两个变量建立可行域和目标函数,解题时要注意题目中的各种制约的关系,列 出全面的制约条件和正确的目标函数; (2)平面区域的画法:线定界、点定线(注意实 虚线) ;(3)求最值:求二元一次函数 z ? ax ? by 的最值,将函数 z ? ax ? by 转化为直 线的点斜式 y ? ?

z a z x ? ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值,最优解在 b b b

顶点或边界取得. 试题解析:解:设分别向甲、乙两组项目投资 x 万元, y 万元,利润为 z 万元 由题意知

? x ? y ? 10 ? ?0.3 x ? 0.1 y ? 18 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数 z ? x ? 0.5 y 作出可行域 作出可行域

作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行直线 l0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z

z?R, 与可行域相交, 其中有一条直线经过可行域上的点 M 点, 且与直线 x ? 0.5 y ? 0
的距离

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最大,这里 M 是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0. y ? 1.8

解方程组 ?

? x ? y ? 10 ,解得 x ? 4, y ? 6 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8

此时 z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元)? 7 ? 0 ? 当 x ? 4, y ? 6 时 z 最大 答:投资人投资甲项目 4 万元,乙项目 6 万元,获得利润最大 考点:利用线性规划求目标函数的最值. a 18.幂函数 y=x ,当 a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线 α (如图).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=x ,y β =x 的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,α β =( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定

【答案】A 【解析】 试题分析:由|BM|=|MN|=|NA|,点 A(1,0) ,B(0,1)知,M(
? 所 以 ( ) =

1 2 2 1 , ) ,N( , ), 3 3 3 3

1 3

2 2 ? 1 2 1 , ( ) = , 所 以 ? = log 1 , ? = log 2 , 所 以 3 3 3 3 3 3 3

1 3 2 2 1 3 =1,故选 A. ?? = log 1 log 2 = log 1 ? 2 3 3 3 3 3 3 log 1 3 3 log 1
考点:函数与方程的综合运用,幂函数的实际应用,对数与指数的互化,对数换底公式 19. 已知 f(x) 是以 2 为周期的偶函数, 当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x , 那么在区间 [?1, 3] 内,关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 )有 4 个不同的根,则 k 的取值 范围是( A. ( ? ) B. (? , 0)

1 , 0) 4

1 3

C. (? , 0)

1 2

D . ( ?1, 0)

【答案】B 【 解 析 】 由 已 知 , 函 数 f(x) 在 区 间 [? 1 , 3] 的图象如图所示,关于 x 的方程

f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 )表示过定点 (?1,1) 的直线,为使关于 x 的方程

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f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 )有 4 个不同的根,即直线 y ? kx ? k ? 1 与函数
的图象有 4 个不同的交点. f(x) 结合图象可知,当直线 y ? kx ? k ? 1 介于过点 (?1,1) ,(2, 0) 的直线 y ? ? 线 y ? 1 之间时,符合条件,故选 B .

1 2 x ? 和直 3 3

考点:函 数 的 奇 偶 性 、 周 期 性 , 函 数 与 方 程 , 直 线 的 斜 率 , 直 线 方 程 . 20.已知函数 f ( x) ? x ?

k (k ? 0) , g ( x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? ax ? 1(a, b ? R) , (1)若 x

2 2 (2)设函数 y ? g ( x) 有零点,求 a ? b 的最小值. | f ( x) | 的最小值为 2,求 k 值;

【答案】 (1)1;(2) 【解析】

4 . 5

试题分析: (1)本小题可利用对勾函数 y ? ax ?

b (a>0,b>0)的性质:当 x ? 0 时,在 x

x=

b 4 3 2 时, 取最小值 2 ab 完成求值; (2) 本小题等价于方程 x ? ax ? bx ? ax ? 1 ? 0 a
1 2 ,问题可化为方程 t ? at ? b ? 2 ? 0 x

2 2 有实根时求 a ? b 的最小值问题,令 t ? x ?

( | t |? 2 )有实根问题.

k (k ? 0) 为对勾函数,而 | f ( x) | 为偶函数,所以 x k 只需把问题转化为考虑 x ? 0 时, f ( x) ? x ? (k ? 0) 有最小值为 2,求 k 值问题,令 x k f ( x)' ? 0 ,可得 x ? k ,代入 f ( x) ? x ? (k ? 0) 中,有 2 k ? 2 ,得 k ? 1 . x 1 4 3 2 (2)等价于方程 x ? ax ? bx ? ax ? 1 ? 0 有实根,x=0 显然不是根.令 t ? x ? , x x 1 2 2 2 为 实 数 , 则 | t |? 2 , 同 时 有 : t ? 2 ? x ? 2 , 方 程 两 边 同 时 除 以 x , 得 : x 1 1 x 2 ? 2 ? a( x ? ) ? b ? 0 , 即 t 2 ? at ? b ? 2 ? 0 , 此 方 程 有 根 | t ? | 2, 令 x x
试题解析: (1)因为函数 f ( x) ? x ?
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m(t ) ? t 2 ? at ? b ? 2

, 有 根 则 ? = a2

-4(b-2) ? 0 , 若 根 都 在 (-2,2), 则 有

=2-2a+b>0, m(2) =2+2a+b>0, 即 ?1 ? m(? 2 )

b b b ? a ? 1 ? , 也可表为 | a |?| 1? | ,故 2 2 2

?a 2 ? 4 ? b ? 2 ? b2 ? 2 a ? 1 ? b ? , 即 , m(t ) ? t 2 ? at ? b ? 2 有 | t |? 2 的根的范围是: ? b 4 ?| a |?|1 ? | ? 2
故 a 2 ? b2 ? 1 ? b ? 值

5b2 5 2 4 4 4 2 ? (b ? )2 ? ? , 当 b= ? 时, a= 时, a 2 ? b 2 取得最小 5 5 4 4 5 5 5

4 . 5
2 2

2 2 a ?b ? (另解: 由于 t ? at ? b ? 2 ? 0 , 则 at ? b ? t ? 2 ? 0 , 从而,

(t 2 ? 2) 2 ,| t |? 2 1? t2
, 从 而



u ? 1? t2 ? 5







a 2 ? b2 ?

(u ? 3)2 9 ? u ? ? 6, u ? 5 u u

4 9 4 a 2 ? b 2 ? 5 ? ? 6 ? .当且仅当 t ? ?2 取等号.故 a 2 ? b 2 的最小值为 . 5 5 5
考点:对勾函数性质,函数的零点,一元二次方程根的分布问题. 21.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费 品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 无后,逐步偿还转让费(不计息) .在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需要各种 开支 2 000 元.

(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最 大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 【答案】(1) 19.5 元,450 元; (2)20 年. 【解析】 试题分析:(1) 首先应用待定系数法根据已知图形求出月销量 Q(百件)与销售价格 P (元)的关系式,显然是一个分段函数;再将些函数代入该店月利润余额为 L(元)(由题 意可得得 L=Q(P-14)×100-3600-2000),从而月利润余额是关于价格 P 的一个分段函 数;每一段又都是一个关于 P 的二次函数,利用配方法求出各段的最大,取两个最大值中 的最大者即为所求;此问题注意统一单位;(2)设最早可望在 n 年后脱贫,由(1)可知月 利润扣除职工最低生活费的余额最大值, 则可计算得每年的余额值乘以 n 后大于或等于 债务:50000+58000 即可,解此不等式可得问题答案.注意要将数学解答的结果还原成
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实际应用问题的答案. 试题解析:设该店月利润余额为 L,则由题设得 L=Q(P-14)×100-3600-2000, 由销量图易得



?- 2 P ? 50 ? Q =? 3 ? P ? 40 ? ? 2
代入①式得 L=

(14 ? P ? 20), (20<P ? 26), (14 ? P ? 20), (20<P ? 26),
1250 元, 3

( ) ( P ? 14) ? 100 ? 5600 ? - 2 P ? 50 ? ? 3 (? P ? 40)(P ? 14) ? 100 ? 5600 ? ? 2

(1)当 14 ? P ? 20 时, Lmax =450 元,此时 P ? 19 .5 元,当 20<P≤26 时,Lmax= 此时 P=

61 元。故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元, 3
n≥20

(2)设可在 n 年内脱贫, 依题意有 12n ? 450 ? 50000? 58000? 0, 解得

即最早可望在 20 年后脱贫 考点:1.分段函数;2.二次函数;3.不等式. 22.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用 一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的

1 , 用水越多洗掉的农药量也越多, 但总还有农 2

药残留在蔬菜上.设用 x 单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前 残留的农药量之比为函数 f ? x ? . ⑴试规定 f ? 0 ? 的值,并解释其实际意义; ⑵试根据假定写出函数 f ? x ? 应满足的条件和具有的性质; ⑶设 f ( x) ?

1 ,现有 a ? a ? 0? 单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 1? x2

两份后清洗两次.试问用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由. 【答案】⑴ f (0) ? 1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药将保持原样;⑵函数 f ? x ? 应满 足的条件: f (0) ? 1 , f (1) ?

1 ; 具有的性质: 在 [0,??) 上单调递减, 且 0 ? f ( x) ? 1; 2

⑶当 a ? 2 2 时,清洗两次后残留的农药量较少;当 a ? 2 2 时,两种清洗方法具有 相同的效果;当 0 ? a ? 2 2 时,清洗一次后残留的农药量较少. 【解析】 试题分析:(1) f (0) ? 1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药将保持原样;⑵函数 f ? x ?

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应 满 足 的 条 件 : f (0) ? 1 , f (1) ?

1 ; 具 有 的 性 质 : 在 [0,??) 上 单 调 递 减 , 且 2

0 ? f ( x) ? 1;⑶由 f ( x) ?

1 ,若用 a ? a ? 0? 单位量的水,清洗一次,则清洗后蔬 1? x2 1 ;若用 1? a2

菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为: p1 ? f (a ) ?

a ? a ? 0? 单位量的水,平均分成两份后清洗两次,则清洗后蔬菜上残留的农药量与本
次清洗前残留的农药量之比为: p2 ? f ( ) ? f ( ) ?

a 2

a 2

1 1 16 ,然 ? ? 2 2 a a 1 ? ( ) 2 1 ? ( ) 2 (a ? 4) 2 2

后用比差法比较 p1 , p2 的大小即可. 试题解析:(1) f (0) ? 1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药将保持原样;⑵函数 f ? x ? 应 满 足 的 条 件 : f (0) ? 1 , f (1) ?

1 ; 具 有 的 性 质 : 在 [0,??) 上 单 调 递 减 , 且 2 1 ,若用 a ? a ? 0? 单 1? x2

0 ? f ( x) ? 1;⑶设清洗前蔬菜上的农药量为 1,由 f ( x) ?

位量的水, 清洗一次, 则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为:

p1 ? f (a) ?

1 ;若用 a ? a ? 0? 单位量的水,平均分成两份后清洗两次,则清洗后 1? a2

蔬 菜 上 残 留 的 农 药 量 与 本 次 清 洗 前 残 留 的 农 药 量 之 比 为 :

a a 1 1 16 ,然后用比差法比较 p1 , p2 的大小: p2 ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? 2 2 2 1 ? ( a ) 2 1 ? ( a ) 2 (a ? 4) 2 2 2
p1 ? p2 ? 1 16 a 2 (a 2 ? 8) . ? ? 1 ? a 2 (a 2 ? 4) 2 (a 2 ? 1)(a 2 ? 4) 2

当 a ? 2 2 时, p1 ? p2 ,因此把 a 单位的水平均分成 2 份后,清洗两次,残留的 农药量较少; 当 a ? 2 2 时, p1 ? p2 ,因此两种清洗方法具有相同的效果; 当 0 ? a ? 2 2 时, p1 ? p2 ,因此清洗一次后残留的农药量较少. 考点:1.函数的应用;2.比较大小:作差法;3.分类讨论. 23.某渔业公司年初用 49 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 6 万元,以后每年都 增加 2 万元,每年捕鱼收益 25 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以 18 万元出售该渔船;②总 纯收入获利最大时,以 9 万元出售该渔船.问哪种方案最合算?
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【答案】 (1)渔业公司第 3 年开始获利. (2)方案①较合算. 【解析】 试题分析: ( 1 )由 题 意 列 出 获 利 y 与 年 份 n 的 函 数 关 系 ,然 后 求 解 不 等 式 得 到 n 的范围,根据 n 是正的自然数求得 n 的值; ( 2) 用 获 利 除 以 年 份 得 到 年 平 均 获 利 , 利 用 不 等 式 求 出 最 大 值 , 求 出 获 得 的总利润,利用配方法求出获得利润的最大值,求出总获利,比较后即可得 到答案. 试题解析: (1)第 n 年开始获利,设获利为 y 万元,则 y=25n-[6n+

n(n ? 1) ×2]-49=-n2+20n-49 2 分 2
4分

由 y=-n2+20n-49>0 得 10- 51 <n<10+ 51 又∵n∈N*,∴n=3,4 ∴n=3 时,即该渔业公司第 3 年开始获利. 5 分 (2)方案①:年平均获利为

49 y 49 =-n- +20≤-2 n +20=6(万元) n n n

7分

当 n=7 时,年平均获利最大,若此时卖出,共获利 6×7+18=60(万元) 8分 2 2 方案②:y=-n +20n-49=-(n-10) +51 当且仅当 n=10 时,即该渔业公司第 10 年总额最大,若此时卖出,共获利 51+9=60 万元 11 分 因为两种方案获利相等,但方案②所需的时间长,所以方案①较合算. 12 分 考点:函 数 模 型 的 选 择 及 应 用 ; 简 单 的 建 模 思 想 ; 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ; 配 方 法. 24.某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一 水塘(如图中阴影部分) ,水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m ,
AB ? 40m ,且 ?EFG 中, ?EGF ? 90 ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全

同时考虑美观, 健身广场周围准备加设一个保护栏. 设计时经过点 G 作一直线交 AB , DF 于 M , N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场,设 DN ? x(m) . (1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.

5?60 ? x ? 【答案】 (1) y ? 2400? ; (2)当 x ? 20 时,到的市民健身广场面积最大, 40 ? x
2

最大面积为 2000m 2 . 【解析】 试题分析: (1)根据题意分析可考虑作 GH ? HF ,垂足为 H ,从而可将五边形的面 积转化为梯形 MTDN 与矩形 MBCT 的面积之和,由 ?NHG ∽ ?NAM 结合条件,可
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将梯形 MTDN 的上底,下底与高以及矩形 MBCT 的长和宽都用含 x 的代数式表示出

5?60 ? x ? 来, 从而可得: y ? ? 2400? , 再由 AF ? AN ,可得 x ? ? 0,30? ; (2)由 (1) 40 ? x
2

及条件可知,问题就等价于求函数 y ? 2400? 其变形后可得:

5?60 ? x ? 在 (??,30] 上的最大值,而将 40 ? x
2

5?60 ? x ? 400 400 ? ? y ? 2400? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ? 2400- ( 5 2 (40- x) ? ? 40) ? 2000 40 ? x 40 ? x 40 - x ? ?
2

, 当且仅当 x ? 20 时, “=”成立,从而当 x ? 20 时,到的市民健身广场面积最大,最大 2 面积为 2000m . 试题解析: (1)如图,作 GH ? HF ,垂足为 H , NH NA ∵ DN ? x ,∴ NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,又由 ?NHG ∽ ?NAM ,∴ , ? HG AM ∵
40 ? x 60 ? x 600 ? 10x ,∴ AM ? , ? 10 AM 40 ? x

2分

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T , 则S
MBCDW

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2

所 7分



y?(

? 0 x 0 1 0 ? 4 0 ? ? )? 4 ?0 x 6

?x 1? ( x 6 0 5 ) ?60 (? x 6? 0 0 , ? 2400? 6 0 2 ?x 4 0 40 ? x
2

1

0

)

由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? ;
E A G M T H F N D

8分

B

C

(2) 由 (1) 得:y ? 2400? 分 ∴当且仅当 40 ? x ?

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? , 40 ? x 40 ? x ? ?
2

10

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000 , 40 ? x

13 分 14 分

即当 DN ? 20m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 . 考点:1.函数的运用;2.基本不等式求最值. 25.已知函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 ,那么在下列区间中含有函数 f ( x) 零点的为(
x

1 2

1

)

A. (0, )

1 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( ,1)
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1 2

D. (1, 2)

【答案】B 【解析】

试题分析:由 题 意 知 :



,由 零 点 判 定 定 理 知 在 区 间 ( , ) 内 原 函数有零点. 故选 B 考点:零 点 判 定 定 理 . 26 . 若 关 于 ________. 【答案】 [?3,0) 【解析】 试题分析:设 y ? 5
? x?1

1 1 3 2

x 的 方 程 25? x?1 ? 4 ? 5? x?1 ? m ? 0 有 实 根 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为

,将原来的问题转化为二次函数在区间 (0,1] 内有零点的问题解

决,利用函数的零点存在性定理即得不等关系,从而解决问题. 考点:函数与方程的综合运用. 27.若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x) ? ln x ? 2 x ? 8 的零点之差的绝对值不超过 0.5 , 则

f ( x) 可以是(
A. f ( x) ? 3x ? 6 C. f ( x) ? e
x ?1

) B. f ( x) ? ( x ? 4)
2

?1

D. f ( x) ? ln( x ? )

5 2

【答案】D 【解析】 试题分析:如图所示,

g ( x) 的零点位于 (3, 4) 之间,A 的零点为 x ? 2 ,B 的零点为 x ? 4 ,C 的零点为 x ? 1 ,

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D 的零点为 x ?

5 7 ,所以满足零点之差的绝对值不超过 0.5 的函数为 f ( x) ? ln( x ? ) . 2 2

考点:函数的零点. 28.已知函数 f(x)= ?

? x ? 1, x ? 0 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

若关于 x 的方程 f (x)-af(x)=0 恰有 5 个不

2

同的实数解,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,3) 【答案】A 2 【解析】 设 t=f(x), 则方程为 t -at=0, 解得 t=0 或 t=a, 即 f(x)=0 或 f(x)=a. 如 2 图,作出函数 f(x)的图象,由函数图象,可知 f(x)=0 的解有两个,故要使方程 f (x) -af(x)=0 恰有 5 个不同的解,则方程 f(x)=a 的解必有三个,此时 0<a<1.所以 a 的 取值范围是(0,1).

29.已知 x0 是 f(x)=( A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 【答案】C

1 x 1 ) + 的一个零点,x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0),则( 2 x
B.f(x1)>0,f(x2)>0 D.f(x1)<0,f(x2)>0

)

1 x 1 ) ,y=- 的图象,如图所示,由图象可知 2 x 1 x 1 1 x 1 当 x∈(-∞,x0)时,( ) >- ,当 x∈(x0,0)时,( ) <- ,所以当 x1∈(-∞, 2 x 2 x
【解析】在同一坐标系下作出函数 y=( x0),x2∈(x0,0)时,有 f(x1)>0,f(x2)<0,选 C.

30.已知二次函数 f(x)=x +2bx+c(b、c∈R). (1)若 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤1},求实数 b、c 的值;
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2

(2)若 f(x)满足 f(1)=0, 且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(- 3,-2),(0,1)内,求实数 b 的取值范围. 【答案】 (1)b=0,c=-1 (2)

1 7 <b< 5 5
2

【解析】解:(1)依题意,x1=-1,x2=1 是方程 x +2bx+c=0 的两个根. 由韦达定理,得 ?

? x1 ? x2 ? ?2b ??2b ? 0 即? ? x1 x2 ? c ?c ? ?1

所以 b=0,c=-1. (2)由题知,f(1)=1+2b+c=0,所以 c=-1-2b. 2 2 记 g(x)=f(x)+x+b=x +(2b+1)x+b+c=x +(2b+1)x-b-1,

? g ? ?3? ? 5 ? 7b ? 0 ? ? g ? ?2 ? ? 1 ? 5b ? 0 则? , ? g ? ?1? ? ?1 ? b ? 0 ?g 0 ? b ?1 ? 0 ? ? ?
解得

1 7 <b< , 5 5 1 7 <b< . 5 5

所以实数 b 的取值范围为

2 31 .若函数 f(x) = |x| + a ? x - 2 (a>0) 没有零点,则实数 a 的取值范围为

________. 【答案】(0,1)∪(2,+∞) 【解析】 在平面直角坐标系中画出函数 y= a ? x
2

(a>0)的图象(其图象是以原点为圆

心、 2 为半径的圆,且不在 x 轴下方的部分)与 y= 2 -|x|的图象.观察图形可知, 要使这两个函数的图象没有公共点,则原点到直线 y= 2 - x 的距离大于 a ,或

a > 2 .又原点到直线 y= 2 -x 的距离等于 1,所以有 0< a <1,或 a > 2 ,
由此解得 0<a<1 或 a>2.所以,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(2,+∞).

32.函数 f(x)=lnx-x-a 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
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)

C.[-1,+∞) D.(-1,+∞) 【答案】B 【解析】函数 f(x)=lnx-x-a 的零点,即为关于 x 的方程 lnx-x-a=0 的实根,将 方程 lnx-x-a=0,化为方程 lnx=x+a,令 y1=lnx,y2=x+a,由导数知识可知, 直线 y2=x+a 与曲线 y1=lnx 相切时有 a=-1,若关于 x 的方程 lnx-x-a=0 有两个 不同的实根,则实数 a 的取值范围是(-∞,-1).故选 B.

33.方程 lnx=6-2x 的根必定属于区间( A.(-2,1) B.(

)

5 ,4) 2

C.(1,

7 ) 4

D.(

7 5 , ) 4 2

【答案】B 【解析】令 f(x)=lnx+2x-6 f(

5 5 )=ln -1<0, 2 2 7 7 7 )=ln + -6<0 4 4 2

f(4)=ln4+8-6=ln4+2>0, f(

5 ,4).故选 B. 2 1 1 34.给出定义:若 m- <x≤m+ (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2
∴lnx=6-2x 的根必定属于区间( 记作{x}=m, 在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x-{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)

1 1 1 ];②函数 y=f(x)在[- , ]上是增函数;③函数 y 2 2 2 k =f(x)是周期函数,最小正周期为 1;④函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对 2
的定义域为 R,值域为[0, 称.其中正确命题的序号是________. 【答案】①③④ 【解析】m=1 时,x∈(

1 3 3 5 , ],f(x)=|x-1|=f1(x),m=2 时,x∈( , ],f(x) 2 2 2 2

=|x-2|=f2(x),显然,f2(x)的图象是由 f1(x)的图象右移 1 个单位而得,一般地,m =k 时, x∈(

2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3 , ], f(x)=|x-k|=fk(x), m=k+1 时, x∈( , ], 2 2 2 2

f(x)=|x-k-1|=fk+1(x), fk+1(x)的图象是由 fk(x)的图象右移 1 个单位而得, 于是可 画出 f(x)的图象如下:

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35.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]的图象如下图所示:

则方程 f[g(x)]=0 有且仅有________个根,方程 f[f(x)]=0 有且仅有________个根. 【答案】6 5 【解析】由图可知 f(x)=0 有三个根,设为 x1,x2,x3,-2<x1<-1,x2=0,1<x3<2. 令 g(x)=x1,由 g(x)图象可知方程 g(x)=x1 有两个根,令 g(x)=0 得两个根,令 g(x) =x3 得两个根,∴f[g(x)]=0 有 6 个根,同理可看出 f[f(x)]=0 有 5 个根. 36.已知函数 f(x)=|ax-2|+bln x(x>0,实数 a,b 为常数). (1)若 a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求 b 的取值范围; (2)若 a≥2,b=1,求方程 f(x)= 【答案】 (1)[2,+∞). (2)0 【解析】解:(1)当 a=1 时, f(x)=|x-2|+bln x

1 在(0,1]上解的个数. x

①当 0<x<2 时,f(x)=-x+2+bln x, f′(x)=-1+

b . x b ≥0 恒成立,即 b≥x 恒成立. x

由条件得-1+ 所以 b≥2;

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②当 x≥2 时,f(x)=x-2+bln x, f′(x)=1+

b . x b ≥0 恒成立,即 b≥-x 恒成立. x

由条件得 1+

所以 b≥-2. 因为函数 f(x)的图像在(0,+∞)上不间断,综合①②得 b 的取值范围是[2,+∞). (2)令 g(x)=|ax-2|+ln x-

1 ,即 x

当 0<x<

2 时, a 1 , x

g(x)=-ax+2+ln x-

g′(x)=-a+

1 1 + 2 . x x

因为 0<x<

2 1 a ,所以 > , a x 2 a a2 a ? a ? 2? + = ≥0, 2 4 4

则 g′(x)>-a+

即 g′(x)>0,所以 g(x)在 ? 0,

? ?

2? ? 上是单调增函数; a?

当 x>

2 1 时,g(x)=ax-2+ln x- , a x 1 1 + 2 >0, x x

g′(x)=a+

所以 g(x)在 ?

?2 ? , ?? ? 上是单调增函数. ?a ?

因为函数 g(x)的图像在(0,+∞)上不间断,所以 g(x)在(0,+∞)上是单调增函数. 因为 g ?

2 a ?2? ? =ln a - 2 , ?a?

试卷第 22 页,总 61 页

而 a≥2,所以 ln

2 ?2? ≤0,则 g ? ? <0, a ?a?

g(1)=|a-2|-1=a-3. ①当 a≥3 时,因为 g(1)≥0,所以 g(x)=0 在(0,1]上有唯一解,即方程 f(x)= 个数为 1; ②当 2≤a<3 时,因为 g(1)<0,所以 g(x)=0 在(0,1]上无解,即方程 f(x)= 数为 0.

1 解的 x

1 解的个 x

?? 1 ? x 3 ? ? ? ,x ? 2 37.已知函数 f(x)= ?? ,若函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点, ?2? 4 ?log x, 0 ? x ? 2 ? 2
则实数 k 的取值范围是________. 【答案】 ?

?3 ? ,1? ?4 ?

【解析】画出函数 f(x)的图像如图.要使函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同零点,只需 y =f(x)与 y=k 的图像有两个不同交点,由图易知 k∈ ?

?3 ? ,1? . ?4 ?

38.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于 x 的方 程 f(x)= ?

? 1 ?x ? 在 x∈[0,4]上解的个数是________. ? 10 ?

【答案】4 【解析】由 f(x-1)=f(x+1)可知 T=2. ∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数,∴可得图像如图.

∴f(x)= ?

? 1 ?x ? 在 x∈[0,4]上解的个数是 4 个. ? 10 ?

?x ? ?2 ? 1, x ? 0 39.已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)= ? ,若方程 f(x)=x+a 有两 ? ?f ? x ? 1? , x ? 0

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个不同实根,则 a 的取值范围为________. 【答案】(-∞,1) -x 【解析】x≤0 时,f(x)=2 -1,0<x≤1 时, -1<x-1≤0, -(x-1) f(x)=f(x-1)=2 -1. 故 x>0 时,f(x)是周期函数, 如图所示.

若方程 f(x)=x+a 有两个不同的实数根,则函数 f(x)的图像与直线 y=x+a 有两个不 同交点,故 a<1, 即 a 的取值范围是(-∞,1). 40.已知方程 ? ? = x 3 的解 x0∈ ? 【答案】2

?1?x ?2?

1

? 1 1? , ? ,则正整数 n=________. ? n ?1 n ?
1

?1?x 【解析】在同一直角坐标系中画出函数 y= ? ? ,y= x 3 的图像,如图所示.由图可得 ?2? ?1?x ? 1 ? ? 1 ?2 ? 1 ?3 x0∈(0,1),设 f(x)= ? ? - x 3 ,因为 f ? ? = ? ? - ? ? <0, ?2? ?2? ?2? ? 2? ? 1 ? ? 1 ?3 ? 1 ?3 f ? ? = ? ? - ? ? >0,故 n=2. ?3? ?3? ? 2 ?
1 1

1

1

1

? 5|x ?1 ? 1, x ? 0, 41 . 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ? 2 若关于 x 的方程 ? x ? 4 x ? 4, x ? 0,
f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 有 7 个不同的实数解,则 m=(
(A)2 【答案】A 【解析】 (B)4 或 6 (C)2 或 6 (D)6 ).

试题分析: ? 题中原方程 f ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m ? 0 有 7 个不同的实数根,
2 2

? 即要求对应于 f ?x ? 等于某个常数有 3 个不同实数解和 4 个不同的实数解,
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? 故先根据题意作出 f ?x ? 的简图:
由图可知,只有当 f ?x ? ? 4 时,它有三个根. 故关于 x 的方程 f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 有一个实数根 4.

? 4 2 ? 4 - 4?2m ? 1? ? m 2 ? 0 ,
? m ? 2 ,或 m ? 6 , m?6
时 , 方 程

f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 ? f 2 ?x? ? 13 f ?x? ? 36 ? 0 ? f ?x? ? 4 或 f ?x ? ? 9 ,
有 5 个不同的实数根,所以 m ? 2 .

考点:函数与方程的综合运用 42.用 min{a,b)表示 a,b 两数中的最小值.若函数 f ( x) ? min{| x |,| x ? t |} ? 三个零点,则 t 的值为( ). (A)-2 (B)2 (C)2 或-2 【答案】D 【解析】 试题分析:此题可以考虑数形结合:

1 恰有 2

(D)1 或-l

做出 y ? min{x , x ? t } 的图象,当 y ? 零点, x ? x ? t ? 故选 D. 考点:函数的零点

1 过两函数交点时,恰有三个交点,即有三个 2

1 1 1 1 时, x ? ? , ? ? t ? ,得到 t ? 0,(舍)或 t ? ?1 ,或 t ? 1 , 2 2 2 2

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43.已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx,(k ? R) 为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f ( x) ? log4 (a ? 2x ? a) 有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)-

1 , (2){a|a>1 或 a=-2-2 2 } 2

【解析】 试题分析: (1)根据偶函数性质列等量关系:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即 log4(4 -x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,即(2k+1)x=0,∴k=- 次方程.由

x x x ? ?4 ? 1? ? a ? 2 ? a ? ? 2 令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题 ? x a ? 2 ? a ? 0 ? ?

1 .(2)先将方程转化为一元二 2 1 2x - a) , 即 f ( x) ? log4 (a ? 2x ? a) 得 log4(4x + 1) - x = log4 (a· 2

?? ? a 2 ? 4 ?1 ? a ? ? 0 ? 意. ①当 a=1 时, t=-1, 不合题意, 舍去. ②有一正一负根,? , 1 ?0 ?t1t2 ? 1? a ?
a>1. ③有两根相等,a=-2( 2 +1). 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,

1 . 6分 2 1 (2)依题意令 log4(4x+1)- x=log4 (a· 2x-a), 2
即(2k+1)x=0,∴k=-
x x x ? ?4 ? 1 ? ? a ? 2 ? a ? ? 2 即? x ? ?a ? 2 ? a ? 0

8分

令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题意. ①当 a=1 时,t=-1,不合题意,舍去. 9分 ②上式有一正一负根 t1,t2,

?? ? a 2 ? 4 ?1 ? a ? ? 0 ? 即? ,得 a>1. 1 ?0 ?t1t2 ? 1? a ?
此时,a· 2x-a=

4x ? 1 >0, ∴a>1. ------11 分 2x

③上式有两根相等,即 Δ=0?a=±2 2 -2,此时 t=

a , 2 ? a ? 1?

若 a=2( 2 -1),则有 t=

a <0,此时方程(1-a)t2+at+1=0 无正根, 2 ? a ? 1?

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故 a=2( 2 -1)舍去; 若 a=-2( 2 +1),则有 t=

13 分

? a ? a >0,且 a· 2x-a=a(t-1)=a ? ? 1? = 2 ? a ? 1? ? 2 ? a ? 1? ?
15 分

a ?2 ? a? >0,因此 a=-2( 2 +1). 2 ? a ? 1?

综上所述,a 的取值范围为{a|a>1 或 a=-2-2 2 }. 考点:偶函数,二次方程根与系数关系 44.函数 f ( x) ? A. 2 【答案】B 【解析】

16 分

1 ? 2sin ? x ? ?2 ? x ? 4 ? 所有零点之和等于 ( x ?1
B. 4 C. 6 D. 8

).

试题分析:令函数 y1 ?

1 与 y2 ? 2sin ? x 的图象有公共的对称中心(1,0),作出 x ?1

两个函数的图象, 当 1<x ? 4 时, y1 ?

1 , 3 5 ) 上是单调增且为正数函数, 2

而函数 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象,在(2,

y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象,在(
∴函数 y2 在 x=

5 ,3) 上是单调减且为正数, 2

5 2 处取最大值为 2≥ , 2 3

而函数 y2 在(1,2)、(3,4)上为负数与 y1 的图象没有交点, 所以两个函数图象在(1,4)上有两个交点(图中 C、D), 根据它们有公共的对称中心(1,0),可得在区间(-2,1)上也有两个交点(图中 A、 B), 并且: xA ? xD ? xB ? xC ? 2 ,故所求的横坐标之和为 4, 故答案为:4. 考点:正弦函数的图象特征;函数的零点与方程的根的关系. 45. (2011?山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容 器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
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立方米,

且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费 用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

【答案】 (1)y=2π ? (2)



(0,2]

【解析】 (1)由体积 V= ∴y=2π rl×3+4π r ×c =6π r× +4cπ r
2 2

,解得 l=



=2π ?



又 l≥2r,即

≥2r,解得 0<r≤2

∴其定义域为(0,2]. (2)由(1)得,y′=8π (c﹣2)r﹣ ,

= 由于 c>3,所以 c﹣2>0 当r﹣ 令
3

,0<r≤2

=0 时,则 r= =m, (m>0)

所以 y′=

①当 0<m<2 即 c> 时, 当 r=m 时,y′=0 当 r∈(0,m)时,y′<0
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当 r∈(m,2)时,y′>0 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减. 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 当 c> 时,建造费用最小时 r= 46.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 中, a 为奇数, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数. 求证: f ( x) ? 0 无整数根。 【答案】详见解析. 【解析】
2 试题分析: 采用反证法, 假设 f ( x) ? 0 有整数根 n , 则 an ? bn ? c ? 0 , 进而 f (0), f (1)

均为奇数,即

c 为奇数, a?b 为偶数,即可得到 b 也为奇数,即可得到

an2 ? bn ? n(an ? b) 为奇数,即 n 与 an ? b 均为奇数,这与 a , b 为奇数, n 为奇数
时, an ? b 为偶数矛盾,故命题得证.
2 证明:假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an ? bn ? c ? 0

(2 分)

而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数, (4 分) , ∵ a 为奇数,∴ b 也为奇数
2

(6 分) (9 分)

∵ c 为奇数,∴ an ? bn ? n(an ? b) 为奇数;∴ n 与 an ? b 均为奇数 ∵ a , b 为奇数, n 为奇数,∴ an ? b 又为偶数 ∴ f ( x) ? 0 无整数根 (12 分) 矛盾 (11 分)

考点:函数与方程的综合运用. 47.已知函数 f ? x ? ? ? 点个数为___________. 【答案】 3 . 【解析】函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象,如图:

?4 x ? 4, x ? 1, ? g ? x ? ? ln x ,则函数 y ? f ? x? ? g ? x? 的零 2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 1,

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由图可以看出,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点有 3 个. 考点:分段函数,函数的零点,函数的图象. 48.若函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x∈[0,1]时, f ( x) ? x ,若在区间(-1, f ( x ? 1)

1]上, 方程 f ( x) ? mx ? 2m ? 0 有两个实数解,则实数 m 的取值范围是 A.0<m≤ C.

1 3

B.0<m< D.

1 3

1 <m≤l 3 【答案】 A

1 <m<1 3

【解析】 g ( x) ? f ( x) ? mx ? 2m 有两个零点,即曲线 y ? f ( x), y ? mx ? 2m 有两个交 点. 令 x ? (?1, 0) ,则 x ? 1? (0,1) ,所以 f ( x ? 1) ?

1 1 ? x ? 1, f ( x) ? ?1 . f ( x) ? 1 x ?1

在同一坐标系中,画出 y ? f ( x), y ? mx ? 2m 的图象(如图所示) :直线 y ? mx ? 2m 过定点 (?2, 0) ,所以, m 满足 0 ? m ?

1 ? (?1) 1 , 即0 ? m ? ,选 A . 3 1 ? (?2)

考点:分段函数,函数的图象,函数的零点.

?a 2 ? ab ,a ?b ? 49 . 对 于 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ”: a ? b ? ? 2 , 设 ? ?b ? ab, a ? b

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f ? x ? ? ? 2x ?1? ? ? x ?1? ,且关于 x 的方程为 f ? x? ? m? m? R? 恰有三个互不相等的
实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是___________. 【答案】 ( 【解析】 试 题

1? 3 , 0) 16
分 析 : 由 定 义 运 算 “*” 可 知

1 1 ? 2( x ? ) 2 ? 2 ? ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ? 4 8 x?0 f ( x) ? ? ? , ,画出该函 ? 2 2 x ? 1 ? x ? 1 x ? 0 1 1 ( x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 ? ? ? ?( x ? ) ? ? ? 2 4
数的图像
y

m x1 0 x2 x=0.5 x3 x

如图所示 x2 ? x3 ? 1 ,从而可得 0 ? x2 x3 ? ( 不同的解,所以 x1 ? (

x2 ? x3 2 1 ) ? ,又因为 f ( x) ? m 要有三个 2 4

1? 3 1? 3 , 0) ,所以 ? x1 x2 x3 ? 0 ,所以 x1 x2 x3 的取值范围是 4 16

1? 3 ( , 0) . 16
考点:1.函数的零点;2.新定义新运算;3.基本不等式. 50.已知函数 f ( x ) ?| x | ?

m ? 1 ( x ? 0) . x

(1)当 m ? 2 时,判断 f ( x) 在 (??, 0) 的单调性,并用定义证明. (2)若对任意 x ? R ,不等式 f (2 ) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围;
x

(3)讨论 f ( x) 零点的个数. 【答案】(1)详见解析;(2) m ?

1 ;(3)详见解析. 4

【解析】 试题分析:(1)首先去掉绝对值,用定义证明; (2) f (2 ) ? 0 恒成立,转换为 m ? 2 ? (2 )
x x x 2

恒成立,求 y ? 2 x ? 2 x

? ? 的最大值;
2

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(3)将 f ?x ? ? 0 转化为 m ? ? x | x | ? x( x ? 0) , 即求 y ? m ,与 y ? ?x x ? x 的交点情况, 进行讨论. 试题解析:解析: (1)当 m ? 2 ,且 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 证明:设 x1 ? x2 ? 0 ,则

2 ? 1 是单调递减的. x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ?

2 2 ? 1 ? (? x2 ? ? 1) x1 x2

? ( x2 ? x1 ) ? (

2( x2 ? x1 ) 2 2 2 ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 x1 x2

又 x1 ? x2 ? 0 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 , 所以 ( x2 ? x1 )(1 ?

2 )?0 x1 x2

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故当 m ? 2 时, f ( x) ? ? x ?

2 ? 1 在 (??, 0) 上单调递减的. x

x (2)由 f (2 ) ? 0 得 | 2 | ?
x

m ?1 ? 0 , 2x
x x 2

变形为 (2 ) ? 2 ? m ? 0 ,即 m ? 2 ? (2 )
x 2 x

而 2 ? (2 ) ? ?(2 ? ) ?
x x 2 x 2

1 2

1 , 4

当2 ?
x

1 1 x x 2 即 x ? ?1 时 (2 ? (2 ) ) max ? , 2 4 1 . 4

所以 m ?

(3)由 f ( x) ? 0 可得 x | x | ? x ? m ? 0( x ? 0) ,变为 m ? ? x | x | ? x( x ? 0) 令 g ( x) ? x ? x | x |? ?
2 ? ? ? x ? x, x ? 0 2 ? ? x ? x, x ? 0

作 y ? g ( x) 的图像及直线 y ? m ,由图像可得: 当m ?

1 1 或 m ? ? 时, f ( x) 有 1 个零点. 4 4
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当m ?

1 1 或 m ? 0 或 m ? ? 时, f ( x) 有 2 个零点; 4 4 1 1 或 ? ? m ? 0 时, f ( x) 有 3 个零点. 4 4

当0 ? m ?

考点:1.定义法证明函数单调性;2.不等式恒成立;3.函数图像.

3 2 1 f ( x) ? ln( x ? ) ? , g ( x) ? 2 ?a 2 x x ?1 51.已知函数
(1)求函数 f ( x) 的单调区间. (2)若方程 g ( x) ? ln(x ? 1) 有 4 个不同的实根,求 a 的范围?
2

f ( x) ? b ln x 有两个不相等的实根?如果存 x b (3)是否存在正数 .. ,使得关于 的方程
在,求 b b 满足的条件,如果不存在,说明理由. 【答案】 (1)增区间为 (? 不存在,理由见详解. 【解析】 试题分析: (1)首先求导函数 f ?( x ) ,然后通过判断 f ?( x ) 的符号可求得单调区间; (2)
2 构造函数 h( x) ? ln( x ? 1) ?

3 , ?1), (3, ??) ,减区间为 (?1, 0), (0,3) ; (2) a ? 1 ; (3) 2

1 ,然后利用导数研究函数的取值变化,确定图象的 x ?1
2

位置,由图象可直观得到函 a 的取值范围; ( 3)

f / ( x) ?
试题解析: (1)根据 f ( x) 定义域后,求导得到

( x ? 1)(x ? 3) 3 x2 (x ? ) 2 ,

3 (? ,?1), (3,??) 根据导数和 0 的关系得到在 2 是函数 f ( x) 的增区间;在 (?1,0), (0,3) 是
函数 f ( x) 减区间.

(2) (2)令

h( x) ? ln(x 2 ? 1) ?

1 1 1 h / ( x) ? 2 x[ 2 ? 2 ] x ? 1 ( x ? 1) 2 , x 2 ?1 ,求导得

里面有一个零点 x ? 0 和两个断点 x ? ?1 ,所以初步可以得到函数在区间 (0,1), (1,??) 单调增;在区间 (??,?1), (?1,0) 单调减. 当 x 从负半轴方向趋近于-1 时, h( x) ? ??, 当 x 从正半轴方向趋近于-1 时, h( x) ? ??,

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而且 x ? ?? 时, h( x) ? ?? , 而且可以很容易得到 h( x) ? h(? x) ,函数为偶函数,而且 h(0) ? 1 , 另半边的图像就容易模拟得到了, 所以 g ( x) ? ln(x ? 1) 有 4 个不同的实根, 结合图像
2

得到 a ? h(0) ? 1. (本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明;而且必须说明在断点处的趋势,否则 扣 2 到 3 分) (3)结论:这样的正数 b 不存在. 假设存在满足条件的 b ,使得方程 f ( x) ? b ln x 存在两个不相等的实根 x1 和 x2 ,然 后代入方程,根据其结构利用第(1)问的结论判断出 f ( x ) 在 (1, ??) 上的取值及单调 性,然后结合假设导出矛盾,作出判断. 假设存在正数 b ,使得方程 f ( x) ? b ln x 存在两个不相等的实根 x1 和 x2 ,则

3 2 ? ?ln(x1 ? 2 ) ? x ? b ln x1 ?? (1) ? 1 ? ?ln(x ? 3 ) ? 2 ? b ln x ?? (2) 2 2 ? 2 x2 ?
根据定义域知道 x1 和 x2 都是正数. 根据第 1 问知道,当 x ? 0 时,函数的最小值 f min ( x) ? f (3) ? (ln ) ? 所以 f ( x1 ) ? ln(x1 ? ) ?

9 2

2 ?0 , 3

3 2

2 3 2 ? 0 , f ( x2 ) ? ln(x2 ? ) ? ? 0 x1 2 x2

因为 b ? 0 ,等式两边同号,所以, ln x1 ? 0, ln x2 ? 0, 所以 x1 ? 1, x2 ? 1, 不妨设 x2 ? x1 ? 1,

3 2 3 2 ln(x1 ? ) ? ln(x2 ? ) ? 2 x1 2 x2 ? 由(1) (2)可得 , ln x1 ln x2 3 2 3 2 ln(x1 ? ) ? ln(x2 ? ) ? 2 x1 2 x2 ?1 ? ?1, 所以 ln x1 ln x2 ln(1 ?
所以

3 2 3 2 )? ln(1 ? )? 2 x1 x1 2 x2 x2 ? ?? (*). ln x1 ln x2

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因为很容易证明到函数 y ? ln(1 ?

3 2 ) ? 在 (1,??) 为恒大于 0 且为减函数 2x x

3 )? 2 x1 所以(*)方程显然不成立,因为 3 ln(1 ? )? 2 x2 ln(1 ?

2 x1 ln x1 左边大于 1,右边小于 1. ? 2 ln x2 x2

所以原假设:存在正数 b ,使得方程 f ( x) ? b ln x 存在两个不相等的实根 x1 和 x2 错 误(本题其他证法,请酌情给分) 考点:1、导数与函数的单调性关系;2、探索性问题;3、函数与方程根的关系. 52.已知函数 f ( x ) ? ? 取值范围是 A. (??, ?1) 【答案】D 【解析】 B. (??, 0) C. (?1, 0) D. [?1, 0)

?e x ? a , x ? 0 ? 2 x ? 1, x ? 0

(a ? R ) ,若函数 f ( x) 在 R 上有两个零点,则 a 的

a ? y ? 1? a , 试题分析:x ? 0 时, 要使函数 f ( x ) 在 R 上有两个零点, 必须 ?
所以 ?1 ? a ? 0 .
y

?a ? 0 , 1 ? a ? 0 ?

x O

考点:函数及其零点. 53.已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0) ,且函数 y ? f ( x ) ? x 恰有 3 个不同的零 ? f ( x ? 1)( x ? 0)
) C. [ ?1,?? ) D. [ ?2,?? )

点,则实数 a 的取值范围是( A. (0,?? ) B. [ ?1,0) 【答案】C 【解析】

) 试题分析: y ? ? x2 ? 2x ? a ? ?( x ? 1)2 ? 1 ? a ,其顶点为 A(?1,1 ? a) ,点 C (0,1 ? a
在 函 数 图 象 上 , 而 点 B ( 0,a )不 在 函 数 图 象 上 . 结 合 图 形 可 知 , 当 a ? ?1 , 函 数

y ? f ( x ) ? x 恰有 3 个不同的零点.

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y

y

2 1 –4 –3 –2 –1 O –1 a –2 –3 1 2 3 4 –4
x

2
A

1
C O x

–3

–2

–1 –1 –2 –3
B

1

2

3

4

考点:函数及其零点. –4 –4 x 的方程 x2 + 2alog2(x2+ 2)+ a2 - 3= 54 .已知关于 0 有唯一解,则实数 a 的值为 –5 ________. –5 【答案】1 2 2 2 【解析】设 f(x)=x +2alog2(x +2)+a -3,由 f(-x)=f(x),知 f(x)是偶函数.若 2 方程 f(x)=0 有唯一解,则 f(0)=0,代入得 a=1 或 a=-3.令 t=x ,则 f(x)=g(t) 2 =t+2alog2(t+2)+a -3.当 a=1 时,g(t)=t+2log2(t+2)-2,由于 g(t)≥g(0) =0,当且仅当 x=0 时取等号,符合条件;当 a=-3 时,g(t)=t-6log2(t+2)+6, 由 g(30)=30-6×5+6>0, g(14)=14-6×4+6<0, 知 f(x)至少有三个根, 不符合. 所 以,符合条件的实数 a 的值为 1. 2 55.(1)已知 α 、β 是方程 x +(2m-1)x+4-2m=0 的两个实根,且 α <2<β ,求 m 的 2 取值范围;(2)若方程 x +ax+2=0 的两根都小于-1,求 a 的取值范围. 【答案】 (1)m<-3(2)2 2 ≤a<3 【解析】(1)设 f(x)=x +(2m-1)x+4-2m. ∵α 、β 是方程 f(x)=0 的两个根,且 α <2<β , 2 ∴f(2)<0,即 2 +2(2m-1)+4-2m<0,得 m<-3.
2

? ? (- f 1) ? 0, ? 2 2 (2)设 f(x)=x +ax+2,f(-1)=1-a+2, Δ =a -8.由题意,得 ? ? ? 0, ∴2 2 ? a ?- ? -1, ? 2
y = f(x)

≤a<3 y =2f(x) x 56.已知 f(x)=2 ,g(x)=3-x ,试判断函数 y=f(x)-g(x)的零点个数. 【答案】两个 x 2 【解析】 在同一坐标系内作出函数 f(x)=2 与 g(x)=3-x 的图象, 两图象有两个交点, ∴函数 y=f(x)-g(x)有两个零点. 2 57.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x ,

函数 g(x)= ?

x x ? 0), ?lg ( ? 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数 1 - ( x ? 0 ) ? ? x

为( ) A.6 B.7 C.8 D.9, 【答案】C 【解析】因为函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),所以函数 y=f(x)(x∈R)是 2 周期为 2 的周期函数,又因为 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x ,所以作出函数 f(x)(x∈R) 和 g(x)的图像,如图所示.
试卷第 36 页,总 61 页

由图知函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 8. 58.我们把形如 y=

b (a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故 x ?a

生动地称为“囧函数”,若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|的交点个数 为 n,则 n=________. 【答案】4

? 1 ( x ? 0且x ? 1), ? 1 ? x-1 【解析】由题意知,当 a=1,b=1 时,y= =? 在同一 1 x ?1 ? - ( x ? 0且x ? -1) ? ? x+1
坐标系中画出“囧函数”与函数 y=lg|x|的图象如图所示, 易知它们有 4 个交点. .

59.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=-f(x),且 x∈[-1,1]时 f(x)=1-x .函数

2

g(x)= ?

? lgx ( x ? 0), ? 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,4]内的零点的个数( 1 - ( x ? 0) ? ? x

).

A.7 B.8 , C.9 D.10 【答案】A 【解析】由 f(x+1)=-f(x),可得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数 f(x)的周 期为 2, 求 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,4]内的零点, 即求 f(x)=g(x)在区间[-5,4] 上图象交点的个数.画出函数 f(x)与 g(x)的图象,如图,由图可知两图象在[-5,4] 之间有 7 个交点,所以所求函数有 7 个零点,选 A.

60. 已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数, 当 x∈[0,1]时, f(x)= x , 那么在区间(-1,3)
试卷第 37 页,总 61 页

内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k(k∈R)有 4 个根,则 k 的取值范围是( A.0<k≤

).

1 3 或 k= 4 6

B.0<k≤

1 4

C.0<k<

1 3 或 k= 4 6

D.0<k<

1 4

【答案】B 【解析】因为直线 y=kx+k 过定点(-1,0),画出函数 f(x)在区间(-1,3)的图象,要 使方程 f(x)=kx+k(k∈R)有 4 个根, 即直线 y=kx+k 和函数 f(x)在区间(-1,3)的图 象有 4 个交点,显然当 0<k≤

1 时满足条件,假若当直线 y=kx+k 和函数 f(x)的图象 4

在区间(2,3)上相切时也满足条件, 但是这是不可能的, 因为联立 ?

? ? y= x-2, 2 得 ky -y ? ? y=kx+k

+3k=0,令 Δ =0 得 k= 所以 0<k≤

3 3 3 或 k=- (舍去),当 k= 时,解得 x=5?(2,3), 6 6 6

1 ., 4

61.已知 f ?x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中 b 是常数.

?

(1) )当 b ? 1 时, y ? f ? x ? 是奇函数; (2)当 b ? 4 时, y ? f ?x ? 的图像上不存在两点 A 、 B ,使得直线 AB 平行于 x 轴. 【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)奇函数的问题,可以根据奇函数的定义,利用 f ( x) ? f (? x) ? 0 来解决, 当然如果你代数式变形的能力较强,可以直接求 f (? x) 然后化简变形为 ? f ( x) ,从而 获得证明; (2)要证明函数 y ? f ?x ? 的图像上不存在两点 A、 B, 使得直线 AB 平行于 x 轴, 即 方 程 f ( x) ? a 不 可 能 有 两 个 或 以 上 的 解 , 最 多 只 有 一 个 解 ,

l g ( x24?

?4 x 2? a )

? 4x2 ? 4? x 2?

a

10



4x2 ? 4 ? (10a ? 2 x)2 ? x ?

102 a ? 4 , 因此原方程最多只有一解, 或者用反证法证明, 4 ?10a

设存在,即有两个 xA , xB ,且 xA ? xB ,使 f ( xA) ? f ( xB) ,然后推理得到矛盾的结论, 从而完成证明. 试题解析: (1)由题意,函数定义域 R , 对定义域任意 x ,有: 1分

试卷第 38 页,总 61 页

f ? ? x ? ? lg

?

4 x 2 ? 1 ? 2 x ? lg

?

1 4x ?1 ? 2x
2

? ? lg

?

4 x2 ? 1 ? 2 x

?

4分

所以 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,即 y ? f ? x ? 是奇函数. (2)假设存在不同的 A, B 两点,使得 AB 平行 x 轴,则

6分

lg

?

4xA2 ? 4 ? 2 xA ? lg

? ?

4 xB 2 ? 4 ? 2 xB

?

9分

x A 2 ? 1 ? xB 2 ? 1 ? x A ? x B
化简得: xA ? xB ? 2xA xB ? 0 ,即 xA ? xB ,与 A、B 不同矛盾。
2 2

13 分 14 分

? y ? f ?x? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行
考点:(1)函数的奇偶性;(2)函数的单调性与方程的解. 62 . 已知函数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关于 x 的方程 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b? 0 x x


( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是 【答案】 (?4, ?2)

【解析】 试 题分 析: 研究 方程 根的 个数 主要 从函 数图 像进 行分 析 . 因为

f (? x) ?| ? x ?

1 1 | ? | ?x ? |? f ( x) , 所 以 函 数 f ( x) 为 偶 函 数 , 只 需 研 究 ?x ?x 2 ;当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x . 要使方程 x

(0, ??) 上图像,当 x ? 1 时, f ( x) ?

2 恰有 6 个不同实数解, 需使方程 t ? at ? b ? 0 f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0( a, b ? R )

( a, b ? R )恰有 2 个不同实数解,其中一根为 2 ,另一根在区间 (0,2) 内,所以

b ? ?4 ? 2a,0 ? ?a ? 2 ? 2 ,即 a 的取值范围是 (?4, ?2) .
考点:函数图像与性质,函数与方程

1 63.若函数 y ? ( ) 1? x ? m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是( 2 A. m ? ?1 B. ?1 ? m ? 0 C. m ? 1 D. 0 ? m ? 1 【答案】B 【解析】

)

1 试 题 分 析 : 因 为 函 数 y ? ( ) 1? x ? m 的 图 像 与 x 轴 有 公 共 点 , 即 等 价 于 方 程 2

1 1? x 1 1? x ( ) ? m ? 0 .及等价于函数 y ? ( ) 与函数 y ? ?m 由公共点.因为通过作出函数 2 2
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1 x 1 1? x y ? ( ) , 然 后 通 过 向 右 平 移 一 个 单 位 即 可 得 0 ? ( ) ?1 . 所 以 2 2

0 ? ?m ? 1 ?? , ?1 m ? .故选 0 B.
考点: 1.函数与方程的相互转化关系.2.含绝对值的指数函数图像的画法.3.数形结合的 数学系想. 64.对于函数 y ? f ( x) 的定义域为 D,如果存在区间 [ m, n] ? D 同时满足下列条件: ① f ( x) 在 [m,n] 是单调的;②当定义域为 [m,n] 时 , f ( x) 的值域也是 [m,n], 则称区间 [m,n]是该函数的“H 区间”.若函数 f ( x) ? ? 的取值范围是____________. 【答案】 ( ,1] 【解析】 试 题 分 析 : 当 x ? 0 时 , f ( x) ? a ln x ? x, f '( x) ?
?a ln x ? x ( x ? 0) 存在“H 区间”,则正数 a ? ? x ? a ( x ? 0)

3 4

(2e, e 2 ]
a a?x , f '( x) ? 0 , 得 ?1 ? x x

a?x ? 0, 得0 ? x ? a , 此时函数 f ( x ) 为单调递增, 当 x ? n 时, 取得最大值, 当x?m x
时,取得最小值,即 ? 两解,作出 y ?
22 20

2x ? a ln n ? n ? n ,即方程 a ln x ? x ? x 有两解,即方程 a ? 有 ln x ?a ln m ? m ? m

2x 2x 的图像,由图像及函数的导数可知,当 x ? 1 时, y ? 在x?e ln x ln x 2a 2x 2a 2 时取得最小值 2e ,在 x ? a 时, ,故方程 a ? 有两解, a ? ,即 a ? e , ln a ln x ln a
18

故 a 的取值范围为 (2e, e ] ;
16 14

2

f ? x? =
12

2?x ln?x?

10

8

6

4

2

10

5

5

10

15

20

2

当 x ? a 时,函数 f ( x ) 为单调递减,则当 x ? m 时,取得最大值,当 x ? n 时,取得最 小值,即 ?

?a ln m ? m ? n ,两式相减得, a ln m ? a ln n ? 0 ,即 m ? n ,不符合; ? a ln n ? n ? m

当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 为单调递减,则当 x ? m 时,取得最大值,当 x ? n 时,取得最

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18

? ? ?m ? a ? n 小值,即 ? ,两式相减可以得到 ?m ? ?n ? 1 ,回带到方程组的第一个 ? n ? a ? m ? ?
16 14 12 式子得到 1 ? ?n ? a ? n ,整理得到 1 ? ?n ? n ? a ,由图像可知,方程有两个解,

则 a ? ( ,1]

3 4

10

8

6

f ? x? = x

x+1
4

2

15

10

5

5

10

15

20

2

综上所述,正数 a 的取值范围是 ( ,1] 考点:新定义,方程的解.
4

3 4

(2e, e 2 ] .

6 65.某厂生产某种产品 x (百台) ,总成本为 C ? x ? (万元) ,其中固定成本为 2 万元,

1 2 1 ? ?4 x ? x ? , 0 ? x ? 4, 每生产 1 百台, 成本增加 1 万元, 销售收入 R ? x ? ? ? (万元) , 2 2 ? x ? 4. ?7.5,
假定该产品产销平衡。 (1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内? (2)该厂年产多少台时,可使利润最大? (3)求该厂利润最大时产品的售价。 【答案】 (1) 1 ? x ? 5.5 ; (2)当年产 300 台时,可使利润最大; (3) 233 元/台. 【解析】 试题分析: ( 1 ) 该 厂 不 亏 本 即 销售收入 ? 总成本 ? 0 ; (2)利润最大即

销售收入 ? 总成本 的最大值,因是分段函数,需求得每段的最大值,然后最大的所
求; (3)有

销售收入 可得产品的售价. 销售台数

试题解析:由题意得,成本函数为 C ? x ? ? 2 ? x ,从而利润函数

?3x ? 0.5 x 2 ? 2.5, 0 ? x ? 4, 。 L ? x? ? R ? x? ? C ? x? ? ? 5.5 ? x , x ? 4. ?
(1)要使不亏本,只要 L ? x ? ? 0 ,

2分

2 当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 3x ? 0.5x ? 2.5 ? 0 ?1 ? x ? 4 , 4 分

试卷第 41 页,总 61 页

当 x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 5.5 ? x ? 0 ? 4 ? x ? 5.5 , 综上, ?4 , 6分 答:若要该厂不亏本,产量 x 应控制在 100 台到 550 台之间。 7 分 (2)当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? ?0.5 ? x ? 3? ? 2 ,
2

故当 x ? 3 时, L ? x ?max ? 2 (万元) 当 x ? 4 时, L ? x ? ? 1.5 ? 2 , 10 分

9分

综上,当年产 300 台时,可使利润最大。

11 分

(3)由(2)知 x ? 3 ,时,利润最大,此时的售价为

P?

R ? 3? ? 2.33 (万元/百台)=233 元/台。 14 分 3

考点:1.函数的应用;2.解一元二次不等式和求一元二次函数最值. 66 . 己 知 函 数 f(x)= x 3 ? a , a ? R 在 [-1 , 1] 上 的 最 大 值 为 M(a) , 则 函 数 g(x)=M(x)- x 2 ? 1 的零点个数为 A. 1 个 【答案】C 【解析】 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

试题分析:当 a ? 0 时, M (a) ? 1 ? a ;当 a ? 0 时, M (a) ? 1 ? a ;





?1 ? x ? x 2 ? 1x ? ? g ( x) ? ? 1 ? x ? x2 ?1 x ? 0 ? ?

0
, 当

t?0













y ? x 2 ? 1 . y ? 1 ? x( x ? 0), y ? 1 ? x( x ? 0) 的图象如图所示:由图可知,有 g ( x) 三个
零点,选 D.
y 4 3 2 1 x –3 –2 –1 O –1 1 2 3

考点:1、函数的最值;2、函数的零点.
–2 –3

?1 ? x ? 1, x ? 1 67. 已知函数 f ( x) ? ? 4 , 则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同实数根时, 实数 a –4 ? ?ln x, x ? 1
的取值范围是( A. (0, ) ) (注: e 为自然对数的底数)

1 e

B. [ , )

1 1 4 e

C. (0, )

1 4

D. [ , e)

1 4

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【答案】B 【解析】 试题分析:∵方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同实数根,∴ y ? f ( x) 与 y ? ax 有 2 个交点,
' ∵ a 表示直线 y ? ax 的斜率,∴ y ?

1 1 ,设切点为 ( x0 , y0 ) , k ? ,所以切线方程 x x0

为 y ? y0 ?

1 1 ( x ? x0 ) ,而切线过原点,所以 y0 ? 1 , x0 ? e , k ? ,所以直线 l1 的 e x0

1 1 1 ,直线 l2 与 y ? x ? 1 平行,所以直线 l2 的斜率为 ,所以实数 a 的取值范围 e 4 4 1 1 是[ , ) . 4 e
斜率为

考点:1.分段函数图象;2.利用导数求曲线的切线方程;3.图象的交点问题.

?1 ? x ? 1, x ? 1 68.已知函数 f ( x) ? ?10 ,则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同实数根时,实数 ? ?ln x ? 1, x ? 1

a 的取值范围是(
A. (?1, 0] 【答案】C 【解析】

) (注: e 为自然对数的底数)

B. (?1,

1 ) 10

C. (?1, 0] [

1 1 , ) 10 e 2

D. (?1,

1 ) e2

试题分析:∵方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同实数根,∴ y ? f ( x) 与 y ? ax 有 2 个交点, ∵ a 表示直线 y ? ax 的斜率,∴ y ?
'

1 1 ,设切点为 ( x0 , y0 ) , k ? ,所以切线方程 x x0

为 y ? y0 ?

1 1 ( x ? x0 ) ,而切线过原点,所以 y0 ? 1 , x0 ? e2 ,k ? 2 ,所以直线 l1 的 e x0

斜率为

1 1 1 x ? 1 平行,所以直线 l2 的斜率为 ,所以当直线在 l1 和 l2 ,直线 l2 与 y ? 2 e 10 10

试卷第 43 页,总 61 页

之间时,符合题意,所以实数 a 的取值范围是 [

1 1 , ) ,还有一部分是在 l3 的位置向下 10 e 2

旋转一直到转平为止都符合题意,这时实数 a 的取值范围是 (?1, 0] ,所以综上所述,实 数 a 的取值范围是 (?1, 0] [

1 1 , ). 10 e 2

考点:1.分段函数图象;2.利用导数求曲线的切线方程;3.图象的交点问题. 69.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:①

f ( x) 在 [a , b] 上是单调函数; ② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] , 则称区间 [a , b]
是函数 f ( x) 的“和谐区间” .下列结论错误的是(
2 A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”



B.函数 f ( x) ? e ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

C.函数 f ( x ) ?

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1
2

D.函数 f ( x) ? loga ? a x ? ? ( a ? 0 , a ? 1 )不存在“和谐区间” 【答案】D 【解析】 试题分析:根据“和谐区间”的定义,我们只要寻找到符合条件的区间 [a , b] 即可,对
2 x 函数 f ( x) ? x ( x ? 0 ) , “和谐区间” [a , b] ? [0, 2] ,函数 f ( x) ? e 是增函数,若
a ? ?e ? 2a x [ a , b ] 存在“和谐区间” ,则 ? b ,因此方程 e ? 2 x 至少有两个不等实根,考 ? ?e ? 2b

? ?

1? 8?

虑函数 h( x) ? e ? 2 x ,由 h '( x) ? e ? 2 ? 0 ,得 x ? ln 2 ,可得 h( x) 在 x ? ln 2 时取
x x

得最小值,而 h(ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,即 h( x) 的最小值为正, h( x) ? e ? 2 x ? 0 无实
x

根,题设要求的 a , b 不存在,因此函数 f ( x) ? e ( x ? R )不存在“和谐区间” , 函
x

试卷第 44 页,总 61 页

数 f ( x) ?

4x ( x ? 0 )的“和谐区间”为 [0,1] ,当然此时根据选择题的设置方法, x ?1
2

知道应该选 D, 事实上, f ( x) ? loga ? a x ? ? 在其定义域内是单调增函数, “和谐区间”

? ?

1? 8?

1 2 1 2 [a , b] 为 [log a ( ? ,log a ( ? )] ,故 D 中的命题是错误的. 2 4 2 4
考点:新定义的理解,函数的单调性,方程的解. 70 . 若 关 于 x 的 方 程 是 .

x ? kx2 有 四 个 不 同 的 实 数 解 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 x?4

( , +? ) 【答案】
【解析】 试题分析:易知方程

1 4

x 1 ? kx2 有一根为 0,当 x ? 0 时,原方程化为 ? k x ,则 x?4 x?4

1 1 的图像,因为方程 ? k x 有 3 个不 x?4 x?4 1 同实数解, 易知 k ? 0 .由图可知 k ? 0 时, 方程 ? k x 只有 1 个实数解.所以 k ? 0 . x?4 1 1 由图易知当 x ? 0 时,方程 ? k x 总有一个根;当 x ? 0 时,由 ?k x 得 x?4 x?4 1 1 1 ? ?kx ? kx2 ? 4kx ? 1 ? 0 ,令 ? ? 16k 2 ? 4k ? 0 ? k ? , (k ? 0) .所以 k ? 时, 4 4 x?4 1 在 x ? 0 的范围内,方程 ? k x 有两个相等的实数根.由图可知,若要方程 x?4 1 1 1 ( , +? ) . ? k x 有 3 个不同实数解,则 k ? .即实数 k 的取值范围是 4 x?4 4
该方程有 3 个不同实数解.作出函数 y ?

考点:方程的根与函数的零点、函数的图像 71.已知函数 f(x)=4 x ? 4ax,当x ? 0,1 时,关于x的不等式 f ( x) ? 1 的 解集为空
3

? ?

集,则满足条件的实数 a 的值为 【答案】

.

3 4
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【解析】 3 试题分析:因 为 函 数 f( x ) =4x -4ax ,当 x ∈ [0 , 1] 时 ,关 于 x 的 不 等 式 |f( x ) | > 1 的 解 集 为 空 集 ? 当 x ∈ [0 , 1] 时 ,使 得 |f( x ) | ≤ 1 恒 成 立 , ? x ∈ [0 , 1] 时 , -1 ≤ 4x -4ax ≤ 1 恒 成 立 , ? x ∈ [0 , 1] 时 , ?
3

?4 x 3 ? 4ax ? 1 ? 0
3 ?4 x ? 4ax ? 1 ? 0

? 恒 成 立 ,当

x=0 时 ,由 上 式 可 以 知 道 :无 论 a 取 何 实 数 都 使 该 式 ① 恒 成 立 ;当 x ∈( 0 , 1]

1 1 1 ? 2 2 ?a ? x ? 4 x ? x ? 8 x ? 8 x 时 ,由 ① 可 以 等 价 于 x ∈( 0 ,1] 的 一 切 数 值 均 使 得 ? 1 ? a ? x2 ? 4x ? 1 1 3 ? ? 2 ?a ? ( x ? 8 x ? 8 x ) min ?a ? 4 3 恒成立,即 ? ,解得: ? 即: a ? . 1 3 4 ? a ? ( x 2 ? ) max ?a ? 4x 4 ? ?
考点:1.考 查 函 数 在 定 义 域 内 恒 成 立 问 题 的 等 价 转 化 ;2.利 用 均 值 不 等 式 及 函 数的单调性求函数的最值 72.已知函数 f ( x) ? x2 ?16 x ? q ? 3 : (1)若函数在区间 ??1,1? 上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问:是否存在常数 t (t ? 0) ,当 x ??t,10? 时, f ( x ) 的值域为区间 D ,且 D 的长度 为 12 ? t . 【答案】(1) [?20,12] ;(2)存在,见解析. 【解析】 试题分析: (1) 先由函数对称轴为 x ? 8 得函数在 ??1,1? 上单调减, 要使函数在 ??1,1? 存

?t ? 8 ? 在零点, 则需满足 f (?1) ? f (1) ? 0 , 解得 ?20 ? q ? 12 ; (2)当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时,f ( x ) ?t ? 0 ?
的值域为

? f (8), f (t)? , 由 f ?t ? ? f ?8? ? 12 ? t

,得 t?

1 5? 1 7 合题意;当 2

?t ? 8 ? ?8 ? t ? 10 ? 8 时, f ( x) 的值域为 ? f (8), f (10)? ,由 f ?10? ? f ?8? ? 12 ? t ,得不合题 ?t ? 0 ?
意;当 8 ? t ? 10 时, f ( x ) 的值域为 ? f (t ), f (10)? ,用上面的方法得 t ? 8 或 t ? 9 合题 意. 试题解析:⑴ ∵二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3 的对称轴是 x ? 8
2

∴函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上单调递减

试卷第 46 页,总 61 页

∴要函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点须满足 f (?1) ? f (1) ? 0 即 (1 ? 16 ? q ? 3) ? (1 ? 16 ? q ? 3) ? 0 解得 ?20 ? q ? 12 ,所以 q ? [?20,12] .

?t ? 8 ? ⑵ 当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时 , 即 0 ? t ? 6 时 , f ( x ) 的 值 域 为 : ? f ( 8 ) ,f t ( ) 即 ?, ?t ? 0 ?
2 ? ? q ? 61, t ? 16t ? q ? 3? ?

∴ t 2 ?16t ? q ? 3 ? (q ? 61) ? t 2 ?16t ? 64 ? 12 ? t ∴ t 2 ? 15t ? 52 ? 0 ∴t ?

15 ? 17 2

经检验 t ?

15 ? 17 不合题意,舍去。 2

?t ? 8 ? 当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时 , 即 6 ? t ? 8 时 , f ( x ) 的 值 域 为 : ? f ( 8 )f, ?t ? 0 ?

(? 1, 0 )即

?q ? 61, q ? 57?
∴ q ? 57 ? (q ? 61) ? 4 ? 12 ? t , ∴ t ? 8 经检验 t ? 8 不合题意,舍去。 当 10 ? t ? 8 时, f ( x ) 的值域为: ? f (t ), f (10)? ,即 ∴ q ? 57 ? (t ?16t ? q ? 3) ? ?t ? 16t ? 60 ? 12 ? t
2 2
2 ∴ t ? 17t ? 72 ? 0
2 ? ?t ? 16t ? q ? 3, q ? 57 ? ?

∴t ? 8 或t ? 9

经检验 t ? 8 或 t ? 9 或 t ?

15 ? 17 满足题意。 2

所以存在常数 t (t ? 0) , 当 x ??t, 1 0 ? 时, f ( x) 的值域为区间 D ,且 D 的长度为12 ? t . 考点:零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想. 73.对于定义域为 I 的函数 y ? f ? x ? ,如果存在区间 ? m, n? ? I ,同时满足: ① f ? x ? 在 ?m, n? 内是单调函数;②当定义域是 ?m, n? , f ? x ? 值域也是 ?m, n? ,则称

?m, n? 是函数 y ? f ? x?
的“好区间”.
试卷第 47 页,总 61 页

(1)设 g ? x ? ? log

a

?a

x

? 2 a? ? log

a

,判断 g ? x ? 是否 ? a 3? a ?(其中 a ? 0 且 a ? 1 )
x

存在“好区间” ,并 说明理由; (2)已知函数 P ? x ?

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

?t ? R, t ? 0? 有“好区间”?m, n? ,当 t 变化时,求
2 3 . 3

n ? m 的最大值.
【答案】 (1) g ? x ? 不存在“好区间” ; (2) n ? m 的最大值为 【解析】 试题分析: ( 1)先求出 g ( x) 的定义域 . 可知要对 a 分情况讨论,当 a ? 1 时,定义域

D ? (loga (3a), ??) , g ? x ? 在 D ? (loga (3a), ??) 内是增函数;当 0 ? a ? 1 时,定义
域 D ? (??,loga (3a)) , g ? x ? 在 D ? (loga (3a), ??) 内 还 是 增 函 数 . 从 而 得 出

? g (m) ? m , 即 方 程 f ( x) ? x 在 定 义 域 D 内 有 两 个 不 等 的 实 数 根 , 即 ? g ( n ) ? n ?
则 (a x ? 2a)(a x ? 3a) ? a x 在定义域 D 内有两个不等的实数根.再用换元法,设 t ? a x , 相当于 (t ? 2a)(t ? 3a) ? t 两个不等的实数根,即 t 2 ? (5a ? 1)t ? 6a2 ? 0 在 (3a, ??) 内 有 两 个 不 等 的 实 数 根 , 通 过 研 究 二 次 函 数 p(t ) ? t ? (5a ? 1)t ? 6a , 发 现
2 2

所以函数 g ? x ? 不存在 t 2 ? (5a ? 1)t ? 6a2 ? 0 在 (3a, ??) 内有两个不等的实数根无解, “好区间” ; (2) 函数 P ? x ?

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

?t ? R, t ? 0? 有“好区间”?m, n? ,由于 P ? x ?

定 义 域 为 {x x ? 0 } , ?[m, n] ? (??, 0) 或 [m, n] ? (0, ??) , 易 知 函 数

? p(m) ? m 在 ?m, n? 上单调递增,? ? ,所以 m, n 是方程 p( x) ? x , P ? x? ? t ?1 ? 1 2 t t x ? p(n) ? n
2 2 2 即方程 t x ? t ? t x ? 1 ? 0 有同号的相异实数根,然后再用判别式求出 t 的范围,再

?

?

用韦达定理用 t 表示出 n ? m ,结合 t 的范围即可求出 n ? m 的最大值. 试题解析: (1)由 ?
x ? ? a ? 2a ? 0 ? a x ? 3a . x ? ?a ? 3a ? 0

2分

①当 a ? 1 时,x ? log a (3a) , 此时定义域 D ? (loga (3a), ??) ,?x1 , x2 ? D ,x1 ? x2 ,

a x1 ? a x2 ,? 0 ? a x1 ? 2a ? a x2 ? 2a , 0 ? a x1 ? 3a ? a x2 ? 3a ,

试卷第 48 页,总 61 页

?loga (a x1 ? 2a) ? loga (a x2 ? 2a) , loga (a x1 ? 3a) ? loga (a x2 ? 3a) ,

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
? g ( x) 在 D ? (loga (3a), ??) 内是增函数;
4分

②当 0 ? a ? 1 时, x ? log a (3a) ,此时定义域 D ? (??,loga (3a)) , 同理可证 g ( x) 在 D ? (??,loga (3a)) 内是增函数; 6分

? g (m) ? m ? g ( x) 存在“好区间” ?m, n? ? ?m, n ? D(m ? n) , ? ? g (n) ? n

? 关于 x 的方程 f ( x) ? x 在定义域 D 内有两个不等的实数根.
即 (a x ? 2a)(a x ? 3a) ? a x 在定义域 D 内有两个不等的实数根.(*)
x 设 t ? a ,则(*) ? (t ? 2a)(t ? 3a) ? t ,

即 t 2 ? (5a ? 1)t ? 6a2 ? 0 在 (3a, ??) 内有两个不等的实数根,

? a ? 0, a ? 1, ? ? ? (5a ? 1) 2 ? 24a 2 ? 0 ? ? 设 p(t ) ? t 2 ? (5a ? 1)t ? 6a 2 ,则 ? 5a ? 1 无解. ? 2 ? 3a, ? 2 2 ? ? p (3a ) ? 9a ? (5a ? 1)3a ? 6a ? 0
所以函数 g ? x ? 不存在“好区间”. (2)由题设,函数 P ? x ? 8分

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

?t ? R, t ? 0? 有“好区间” ?m, n? ,

在 ?m, n? 上单调递增, ?[m, n] ? (??, 0) 或 [m, n] ? (0, ??) ,函数 P ? x ? ? t ? 1 ? 1 t t2x

? p(m) ? m 2 2 2 ,所以 m, n 是方程 p( x) ? x ,即方程 t x ? ? t ? t ? x ? 1 ? 0 有同号的相 ?? p ( n ) ? n ?
异实数根. 12 分

mn ?

1 ? 0 , m, n 同号,?? ? (t 2 ? t )2 ? 4t 2 ? 0 ? t ? 1 或 t ? ?3 . 2 t

1 1 4 ? n ? m ? (n ? m)2 ? 4mn ? ?3( ? )2 ? , t ? (??, ?3) (1, ??) . t 3 3
当 t ? 3 , n ? m 取得最大值

2 3 . 3

16 分

考点:1.函数的单调性;2.二次函数根的分布;3.韦达定理.

试卷第 49 页,总 61 页

1 74.设函数 y ? x 与 y ? 2
3

??

x?2

的图象的交点为 ? x0 , y0 ? ,且 x0 ? ? m, m ? 1? , m ? Z ,

则m= 【答案】1 【解析】

.

3 1 试题分析:令 f ( x) ? x ?

? 2?

x?2

,易知函数 y ? x3 在 R 上单调递增, y ?

??
1 2

x?2

在R

上单调递减,所以 y ? ?

??
1 2

x?2

在 R 上单调递增.所以 f ( x ) 在 R 上单调递增.又函数

y ? x3 与 y ? 1 2
1 又 f (1) ? 1 ?

??

x?2

的图象的交点为 ? x0 , y0 ? ,所以 f ( x0 ) ? 0 ,即 x0 为 f ( x ) 的零点.

?2?

1? 2

? ?1 ? 0 , f (2) ? 8 ? 1 2

??

2? 2

? 7 ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增,所

以 x0 ? (1, 2) ,所以 m ? 1 . 考点:方程的根与函数的零点、函数的单调性 评卷人 得分 三、解答题 75. (本题 16 分)已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x) ? e x ,其中 e 是自然数的底数, a ? R , 当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; 若当 x ?[?1,1] 时,不等式 f ( x) ? (2ax ? 1) ? e x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围;
x 当 a ? 0 时,试判断:是否存在整数 k,使得方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? e ? x ? 2 在 [k , k ? 1]

上有解?若存在,请写出所有可能的 k 的值;若不存在,说明理由。 【答案】 (1) {x 0 ? x ? ? } ; (2) ? 【解析】

1 a

2 ?a?0; (3)存在唯一的整数 k ? 0 。 3

(ax2 ? x) ? ex ? 0, 因为 e x ? 0 所以 ax 2 ? x ? 0 , a ? 0 取根的中间;
f ( x) ? (2ax ? 1) ? ex ? 0 即不等式 ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,分类讨论:

a ? 0, a ? 0, 且 a ? 0 时, ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0
数形结合: 如图: 若 a ? 0 , x0 ? ?

2a ? 1 1 ? ?1 ? ? ?1 2a 2a
试卷第 50 页,总 61 页

, 若 a ? 0 ,如图:

方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? e ? x ? 2 在 [k , k ? 1]
x

上有解,需判断函数在 [k , k ? 1] 上的单调性,数形结合。
2 (1) (ax ? x) ? e ? 0, 即 ax ? x ? 0 ,由于 a ? 0 ,所以 ax( x ? ) ? 0

2

x

1 a

所以解集为 {x 0 ? x ? ? } ; 当 x ?[?1,1] 时,即不等式 ax ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,
2

1 a

①若 a ? 0 ,则 x ? 1 ? 0 ,该不等式满足在 x ?[?1,1] 时恒成立; ②由于 ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 4a ? 1 ? 0 ,
2 2

所以 g ( x) ? ax ? (2a ?1) x ?1 有两个零点,
2

? ? a ? 0, ? 若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ? 2a ? 1 ?? ? ?1 ? 2a

?a ? 0 ? 即 ?a ? 0 ,此时 a 无解; ? 2a ? 1 ? 2a ?

试卷第 51 页,总 61 页

? ?a ? 0 ? a ? 0, ? 2 ? ③若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ,即 ? a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 , 3 ? g (1) ? 0 ? 2 ? ?a ? ? 3 ?
综上所述,a 的取值范围是 ?
x

2 ?a?0。 3
x

方程即为 e ? x ? 2 ? 0 ,设 h( x) ? e ? x ? 2 , 由于 y ? e 和 y ? x ? 2 均为增函数,则 h( x) 也是增函数,
x

又因为 h(0) ? e ? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 , h(1) ? e ? 1 ? 2 ? e ?1 ? 0 ,
0 1

所以该函数的零点在区间 (0,1) 上,又由于函数为增函数,所以该函数有且仅 有 一个零点,所以方程 e ? x ? 2 ? 0 有且仅有一个根,且在 (0,1) 内,所以存在
x

唯 一的整数 k ? 0 。 76. :已知函数 f ? x ? ? a
| x|

?

2 ax

? a ? 0, a ? 1? ,

(1)若 a ? 1 ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (2)设函数 g ? x ? ? f ? ? x ? , x ? ??2, ?? ? , g ? x ? 满足如下性质:若存在最大(小)值, 则最大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围. 【答案】 :略
x 【解析】 :解:(1)令 a ? t , x ? 0 ,因为 a ? 1 ,所以 t ? 1 ,所以关于 x 的方程 f ? x ? ? m

有两个不同的正数解等价于关于 t 的方程 t ? 于

2 ? m 有相异的且均大于 1 的两根,即 关 t
1 的 两

t 的 方 程 t 2 ? mt ? 2 ? 0 有 相 异 的 且 均 大 于

根,????????????????????2 分

? ? ? m 2 ? 8 ? 0, ? ?m 所以 ? ? 1, ,?????????????????????????4 分 ?2 2 ? ?1 ? m ? 2 ? 0
解得 2 2 ? m ? 3 ,故实数 m 的取值范围为区间 (2 2,3) .??????????? 6 分 (2) g ( x) ? a| x| ? 2a x , x ?[?2, ??) ①当 a ? 1 时,
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a) x ? 0 时, a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ?[3, ??) , b)
?2 ? x ? 0




2

1 ? ax ? 1 2 a

?x g ( x ? a) ? ax

, 2





g '( x) ? ?a ln a ? 2a ln a ?
x

?x

2?ax ? ?1 ax

ln a ??8 分

ⅰ当

1 1 ? 即 1 ? a ? 4 2 时, 对 ?x ? (?2,0) ,g '( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 [?2,0) 上递增, 2 a 2

所以 g ( x) ?[a2 ? 分 ⅱ当

2 2 ,3) ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合??10 2 a a

1 1 1 1 ? 即 a ? 4 2 时,由 g '( x) ? 0 得 x ? ? log a 2 ,且当 ?2 ? x ? ? loga 2 时, a2 2 2 2

1 1 g '( x) ? 0 ,当 ? log a 2 ? x ? 0 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [?2, ? loga 2] 上递减,在 2 2
1 ? 1 ? [? log a 2,0] 上递增,所以 g ( x)min ? g ? ? log a 2 ? ? 2 2 ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 2 ? 2 ?
2 2 与 a 无关,符合要求.???12 分
②当 0 ? a ? 1 时, a) x ? 0 时, 0 ? a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ? (0,3] b) ?2 ? x ? 0 时, 1 ? a x ?

1 , g ( x) ? a? x ? 2a x , a2
x

所以 g '( x) ? ?a ln a ? 2a ln a ? 所以 g ( x) ? (3, a2 ? 14 分

?x

2?ax ? ?1
2

ax

ln a ? 0 , g ( x) 在 [?2,0) 上递减,

2 2 ] ,综合 a) b) g ( x) 有最大值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合??? 2 a a

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ? 4 2 .??????????????????16 分 77.如关于 x 的方程 loga ?x ? 3? ? loga ?x ? 2? ? 1 ? loga ?x ? 1??a ? 0, a ? 1? 有解,求 实数 a 的取值范围。 【答案】 0 ? a ? 【解析】

7 ? 2 10 9

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? x ? 3 ? a ? x ? 1?? x ? 2 ? ? x?3 ? x?3 1 1 a? 2 ? ? x ? x ? 2 x ? 3 ? 10 ? 7 2 10 ? 7 x?3 7 ? 2 10 ?0 ? a ? 9
78 . 已 知 关 于 的方程 的极值。 【答案】答案见解析 【解析】求 的极值,即应用方程根与系数的关系和判别式,求二 为 方 程 的 两 根 两根为 ,试求

次 函 数 的 条 件 极 值 的 问 题 。 即



, 又

79. m 为何值时,关于 x 的方程

的两根:

(1)为正数根;(2)为异号根且负根绝对值大于正根;(3)都大于 1;(4)一根大 于 2,一根小于 2;(5)两根在 0,2 之间。 【答案】答案见解析 【解析】关于方程根的讨论,结合二次函数图象与 轴的交点位置的充要条件即可求: 即设方程两根为 则

1)



(2)



(3)



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(4)



(5)



80.设 f ( x ) ? 3ax 2 ? 2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , (Ⅰ) a>0 且-2< (Ⅱ)方程

f (1 ) ? 0 ,求证:

a <-1; b

f ( x ) ? 0 在(0,1)内有两个实根.

【答案】答案见解析 【解析】证明: (I)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a
2

b 3ac ? b 2 , ), (II)抛物线 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (? 3a 3a
在 ?2 ?

b 1 1 b 2 ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . a 3 3 3a 3

又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (?

b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, 3a 3a
b b ) 与 ( ? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a

所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ?

故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根. 81.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个实
2

数根为 x1 和 x2 . (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 【答案】答案见解析 【解析】解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1 ,则 g ( x) ? 0 的二根为 x1 和 x2 .
2

试卷第 55 页,总 61 页

由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得

? g (2) ? 0 , ? ? g (4) ? 0



?4a ? 2b ? 1 ? 0 , ? ?16a ? 4b ? 3 ? 0
b 3 ? 3 ? 3? ? ? 0, ? ? 2a 4a ? ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a ?



b ? 1 ,所以, x0 ? ?1 ; 2a b ?1 2 4 2 ) ? , 可得 (2)由 ( x1 ? x 2 ) ? ( a a 1 又 x1 x 2 ? ? 0 ,所以 x1 , x 2 同号. a
两式相加得 ∴ x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 等价于 ?

2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 .

? ? ?0 ? x1 ? 2 ? x 2 ? x 2 ? ?2 ? x1 ? 0 或? , 2 2 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1



? g ( 2) ? 0 ? ? ? g ( 0) ? 0 ? 2 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1
b? 1 7 或b ? . 4 4

? g ( ?2 ) ? 0 ? ? 或 ? g ( 0) ? 0 ? 2 ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) ? 1

解之得

2 82.设二次函数 f ? x? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足

0 ? x1 ? x 2 ?

x1 1 . 且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明: x 0 ? . a 2
2

【答案】答案见解析 【解析】解:由题意 f ?x? ? x ? ax ? (b ? 1) x ? c .它的对称轴方程为 x 由方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足 0 ? x1 ? x 2 ?

? b ?1 ? 2a

1 , 可得 a

b ?1 1 b ?1 b ?1 ? x2 ? , 且 ? x1 ? x 2 ? , ? 2a a ? 2a ? 2a b ?1 b ?1 1 b ?1 b ? x1 ? x 2 ? ? ? ∴ ,即 ? ? x1 , ? 2a ? 2a a ? 2a a 0 ? x1 ?
而 x ? ? b ,故 0

2a

x0 ?

x1 . 2
p q r ? ? =0,其中 m>0,求证: m ? 2 m ?1 m

83.二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足 (1)pf(

m )<0; m ?1

(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解.
试卷第 56 页,总 61 页

【答案】答案见解析 【解析】证明:(1) pf (

m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

? pm[

pm q r pm p ? ? ] ? pm[ ? ] 2 2 m ?1 m m?2 ( m ? 1) ( m ? 1) m( m ? 2) ? ( m ? 1) 2 ] ( m ? 1) 2 ( m ? 2)

? p 2 m[

? pm 2

?1 m ,由于 f(x)是二次函数,故 p≠0,又 m>0,所以,pf( )<0. 2 ( m ? 1) ( m ? 2) m ?1

(2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当 p<0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(

m )<0 m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解. m ?1 m ?1
②当 p<0 时同理可证. 84.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 【答案】答案见解析 【解析】解:(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0) 和(1,2)内,画出示意图,得

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? ? ? ? 1 ? ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

5 1 ?m?? . 6 2

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ?? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? (这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0, 1)内通过) ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?
试卷第 57 页,总 61 页

85.设二次函数 f ? x? ? ax 2 ? bx ? c? a ? 0? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足

0 ? x1 ? x 2 ?

1 . 当 x ? 0, x1 时,证明 x ? f ? x? ? x1 . a

?

?

【答案】答案见解析 【解析】证明:由题意可知

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) .

? 0 ? x ? x1 ? x 2 ?

1 ,∴ a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 , a

∴ 当 x ? 0, x1 时, f ( x) ? x . 又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )(ax ? ax2 ? 1) ,

?

?

x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0, ∴
综上可知,所给问题获证.

f ( x) ? x1 ,

86.试求满足方程 x ? 2 xy ? 126 y ? 2009 的所有整数对 ( x, y ) .
2 2

【答案】 ? x, y ? ? ?1,4? , ? 7,4? , ? ?1, ?4? , ? ?7, ?4? 【解析】 : 设整数对 ( x, y ) 满足方程 x ? 2xy ? 126 y ? 2009 ? 0
2 2

?(1) ,将其看作

2 2 2 2 关于 x 的一元二次方程,其判别式 ? ? 4 y ? 4 ? 126 y ? 2009 ? 500(4 ? y )? 36

?

?

的值 应为一完全平方数; 若 y ? 4 ,则 ? ? 0 ;
2 2

若 y ? 4 ,则 y 可取 0,1 , 2 , 3 ,
2 2 2 2 2 2

相应的 ? 值分别为 8036,7536,6036 和 3536 ,它们皆不为平方数; 因此,仅当
2 为完全平方数.若 y ? 4 ,方程( 1 )化为 y2 ? 42 时, ? ? 500? 42 ? y 2 ? ? 36 ? 6

x2 ? 8x ? 7 ? 0, 解得 x ? 1 或 x ? 7 ;
若 y ? ?4 ,方程(1)化为 x ? 8x ? 7 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? ?7 .
2

综上可知,满足原方程的全部整数对为: ? x, y ? ? ?1,4? , ? 7,4? , ? ?1, ?4? , ? ?7, ?4? .

评卷人

得分 四、填空题

87.函数 y ? f ( x)和y ? g ( x)在[?2,2] 的图象如下所示 , 方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有_ ▲_ 个根

试卷第 58 页,总 61 页

. 【答案】 6 【解析】 88.已知二元函数 f ( x, y) 满足下列关系: ① f ( x, x) ? x ② f (kx, ky) ? kf ( x, y) ( k 为非零常数) ③ f ( x1, y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? f ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ④ f ( x, y ) ? f ( y ,

2x ? y ) 3


则 f ( x, y) 关于 x, y 的解析式为 f ( x, y) ? 【答案】 【解析】

2 3 x? y 5 5

1
89. 设 f ( x ) ? x

1 1

1
.

?1 1 ( x ? R) ,则方程 f ( x) ? 0 的解集为 1

x
【答案】 { ? 1,1} 【解析】略

2

90.已知函数 y ? f ( x) 的定义域和值域都是 [?1 , 1] (其图像如下图所示) ,

函 数 g ( x) ? s ix, n x ? [?? , ? ] . 定 义 : 当

f ( x1 ) ? 0( x1 ? [?1,1]) 且

g ( x2 ) ? x1 ( x2 ? [?? , ? ])
时,称 x2 是方程 f ( g ( x)) ? 0 的一个实数根.则方程 f ( g ( x)) ? 0 的所有不同实数根的 个数是



试卷第 59 页,总 61 页

【答案】8 【解析】略 91. 设 p 是给定的奇质数, 正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数, 则 k=____________。
2

( p ? 1)2 【答案】 4
【解析】设

p ? p 2 ? 4n2 ,从而 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ? 2
2 * 2 2

p 2 ? 4n2 是平方数,设为 m2 , m ? N * , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p2
? p2 ? 1 m ? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4

?k ?

p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1)2 ? ,故k ? 。 (负值舍去) 2 4 4
t ? x2 ? 2 ,则这个方程有相异实根的个数情况是

92. 已知 t ? 0 ,关于 x 的方程 x ? _________________. 【答案】0 或 2 或 3 或 4 【解析】 令 C1 : y ? x ?

2 , C2 : y ? ? t ? x 2 , 利用数形结合知: 当 0 ? t ? 1或t ? 2

时,方程无实数根; 当 t ? 1 时,方程有 2 个实数根; 当 t ? 2 时,方程有 3 个实数根; 当 1 ? t ? 2 时,方程有 4 个实数根。 93. 若方程lgkx=2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么k的取值范围是____。 【答案】 k ? ? ??,0? 【

?4?.
解 析 】

?kx ? 0 ? 数形结合法由二次方程根的分布可知 ? x ? ?1 ? x2 ? 2 ? k x ? ? 1 ? ? ?

0

试卷第 60 页,总 61 页

??=k2 ? 4k ? 0 2 ? ? ?=k ? 4k ? 0 ? k ? 0, 或k ? 4 ? 2 1 ? k ? 4, ? ? ? ?? k ?2 ? x? ? ?1 ? ? f ? 0 ? ? 1 ? 0,? f ? ?1? ? k ? 0 ? ? 2

综合知k ? ? ??,0?

?4?.

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