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一类多项式光滑函数的逼近精度


第 30 卷第 8 期 2010 年 8 月 文章编号: 1001 - 9081 ( 2010 ) 08 - 2041 - 04

计算机应用 Journal of Computer Applications

Vol. 30 No. 8 Aug. 2010

一类多项式光滑函数的逼近精度
陈 勇, 余小平, 熊金志
? dgxiongjz@ 126. com? ( 东莞理工学院 计算机学院,广东 东莞 523808 )



要: 针对一类支持向量机的多项式光滑函数, 采用二分法求解它们尚未解决的逼近精度问题 。 为克服二分

法可能会漏根的缺点, 首先把多项式光滑函数的逼近精度问题表示为一个求逼近函数的最大值问题, 把这个逼近函 数分成 4 段, 分别求出每段的最大值, 然后得到逼近函数在整个 x 轴上的最大值。并以 1 阶和 2 阶多项式光滑函数为 用二分法解决了它们的逼近精度问题 。研究表明, 二分法是求解这类多项式光滑函数逼近精度的有效方法 。 例, 关键词: 二分法; 多项式光滑函数; 支持向量机; 逼近精度 中图分类号: TP18 文献标志码: A

Approximation accuracies of a class of polynomial smoothing functions
CHEN Yong? YU Xiaoping? XIONG Jinzhi
? Computer College? Dongguan University of Technology? Dongguan Guangdong 523808 ? China?

Abstract? In 2007? Xiong et al. proposed a class of polynomial smoothing functions? whose approximation accuracy is a problem that has not been solved. This paper applied dichotomy algorithm to solve the problem. To overcome the shortcoming that the root might be missed by dichotomy algorithm? the problem of approximation accuracy for smoothing function was firstly expressed by the problem of solving the maximum value of approximation function? and the approximation function was divided into 4 segments and the maximum value of the each segment was sought respectively? then the maximum value of approximation function was obtained in the whole x axis. Taking 1storder and 2ndorder smooth polynomial functions as examples? whose approximation accuracies were solved by the dichotomy algorithm. The results show that the dichotomy algorithm is a effective way to solve the approximation accuracy for this class of smoothing functions of support vector machine. Key words? dichotomy algorithm? polynomial smoothing function? Support Vector Machine ? SVM ? ? approximation accuracy

0

引言
支持向量机是数据挖掘的一种新技术, 由于其显著优点
[ 1 - 2]

多项式光滑函数, 得到了一类新的多项式光滑函数 。 以往 的研究工作只对少数几个多项式光滑函数的逼近精度用二分 法进行了求解, 而且没有给出具体步骤 。 无穷个多项式光滑 函数的逼近精度是否存在一个统一的求解方法, 还是一个尚 [ 6 - 7] 。本文试图把二分法推广到所有多项 待解决的公开问题 式光滑函数的逼近精度上 。 在科学研究与工程技术中常会遇到求解方程 f( x) = 0 的 对于高次的代数方程没有精确的求根公式, 对于超越方 问题, 程则更无法求其精确解 。二分法通过对方程的有根区间反复 进行二等分, 利用迭代求得根的近似值, 从理论上讲可以解决 方程的求根问题, 但这一算法在实际应用中存在可能漏根的 缺点。特别在求解方程的最大根时如果不注意克服这个缺 点, 则求得的结果可能就不是全局意义上的最大根 。 本文为 克服这个缺点, 在解决多项式光滑函数的逼近精度问题时, 首 先把多项式光滑函数的逼近精度问题表示为一个求逼近函数 的最大值问题, 再把逼近函数分成 4 段表示, 分别求出每段 的最大值, 然后得出逼近函数在整个 x 轴上的最大值, 即多项 式光滑函数的逼近精度 。

[ 6]

而得到广泛应用

, 但随着信息技术的迅猛发展, 数据规模

越来越大, 其分类速度慢的问题日益突出 。为解决这个问题, LEE 等人提出了一个研究支持向量机的新方向 — — —光滑支持 向量机
[ 3 - 4]

。这种模型采用快速的 NewtonArmijo 算法进行

求解, 因此可以提高分类速度 。但要得到这种模型, 必须用光 滑函数对原支持向量机模型进行光滑处理, 因此研究光滑函 数具有重要的理论意义 。 用光滑函数对原支持向量机模型进行光滑处理, 可以得 到支持向量机的光滑模型, 但这个光滑模型必须收敛于原支 否则没有意义。要证明光滑模型收敛, 又必须 持向量机模型, 用到光滑函数的逼近精度
[ 5]

。 因此, 光滑函数的逼近精度是

光滑函数应用于支持向量机必须解决的一个重要问题 。光滑 函数的逼近精度问题可以表示为光滑函数的平方减去正号函 这个差函数( 以下把这个差函数称为逼近函数) 的 数的平方, 最大值就是光滑函数的逼近误差, 称为光滑函数的逼近精度 。 2005 年, 袁玉波等人针对数学规划中正号函数 x + = max{ 0 , x} 不光滑的问题, 提出了一个多项式光滑函数
[ 5]

1
1. 1

二分法
基本思想 一般地, 对于函数连续 f( x) , 如果存在实数 c, 当x=c时

。2007 年,

6] 文献[ 在袁玉波等人的基础上提出了无穷个支持向量机的

收稿日期: 2010 - 02 - 24 ; 修回日期: 2010 - 04 - 12 。 基金项目: 广东省自然科学基金资助项目( 9151170003000017 ) ; 广东省科技计划项目( 2008B060600077 ; 2009B010800054 ) 。 作者简介: 陈勇( 1964 - ) , 男, 广东阳江人, 工程师, 硕士, 主要研究方向: 人工智能、 数据挖掘; 余小平( 1987 - ) , 男, 广东汕尾人, 主要研 究方向: 数据挖掘; 熊金志( 1964 - ) , 男, 江西省赣州人, 教授, 主要研究方向: 人工智能、 数据挖掘。

2042

计算机应用 F1 ( x , k ) = p2 k) - x2+ 1 ( x, = p2 k) 1 ( x,

第 30 卷

f( c) = 0 , 那么 把 x = c 称 为 函 数 f ( x ) 的 零 点, 该零点称为 f( x) = 0 的根。 给定精确度 ξ, 把 f( x) 的零点所在区间二等分, 即把零点 所在的区间收缩为原来的一半 。 该过程不断进行, 直到区间 的长度小于或者等于 ξ。此时可取区间的任意一点作为零点 的近似值。这就是二分法的基本思想 1. 2 基本步骤
[ 8]

[ 5] 2 由 p1 ( x,k) 的非负性和单调增性质 , 易知 p1 ( x,k) 也 最大 具有单调增性质。因此函数 F1 ( x,k ) 的最大值点为 0 ,

值为: F1 ( 0 , k ) = p2 k) = 1 ( 0, 4) 当 0 < x < F1 ( x , k) = 1 16 k2



对于函数 f( x) , 假设 a < b, 给定精确度 ξ。 1 ) 若 f( a) f( b) < 0 , a,b] 则[ 为有根区间。 2 ) 求区间( a,b) 的中点 c。 a) 如果 f( ( a + b) /2 ) = 0 , 该点就是零点, 即为方程的一 个根。 b) 如果 f( ( a + b) /2 ) < 0 , b ) 内有 则在区间( ( a + b ) /2 , 零点, 把( a + b) 2 的值赋给 a。 如果区间长度小于或等于 ξ, 那么函数结束迭代; 否则, 继续使用中点函数值判断 。 c) 如果 f( ( a + b) /2 ) > 0 , 则在区间( a,( a + b ) /2 ) 内有 零点, 把( a + b) /2 的值赋给 b。如果区间长度小于或等于 ξ, 那么函数结束迭代; 否则, 继续使用中点函数值判断 。 这样就可以求得函数零点的数值解 。

1 时, 则: k
4

1 [ ( kx + 1 ) 16 k2

- 16 k2 x2 ]

z ∈ ( 0, 1) , 做变量代换 z = kx , 则 F1 ( x,k) 表示为: 1 F1 ( z ) = [ ( z + 1 ) 4 - 16 z2 ] 16 k2 而 F1 ( z) 的导数为: 1 F1 ' ( z ) = 2 [ 2( z + 1) 8k
3

- 16 z]

显然 F1 ( z) 是可导函数, 求 F1 ( z ) 的最大值, 首先必须找 到 F1 ( z) 的导数的零点, 即 F1 ' ( z) = 0 。于是, 求函数 F1 ( z) 的 最大值问题就转化成了求方程 F1 ' ( z) = 0 的根的问题了 用 C 语言实现了用二分法求解导数 F1 ' ( z ) 的零点( 源代 码略) 。 运行结果: z = 0 . 236 。

2
2. 1

多项式光滑函数的逼近精度
一阶多项式光滑函数的逼近精度 支持向量机的 1 阶多项式光滑函数, 其形式如下 1 x≥ ? x, k
[ 6]



F1 ' ( z ) > 0 ; 当 z > 1 ) 区间, 在 ( 0, 易知当 z < 0. 236 时, F1 ' ( z) < 0 。 因此 z = 0 . 236 是 F1 ( z ) 的最大值点。 0. 236 时, x = 0 . 236 / k 是 F1 ( x,k) 的最大值点, 由变量代换 z = kx 知, 1 k) = ( k4 x4 + 4 k3 x3 - 10 k2 x2 + 4 kx + 1 ) , 代入 F1 ( x, 得 F1 16 k2 ( x,k) 的最大值 F1 ( 0 . 236 , k) = 0 . 090 9 / k2 。 F1 ( x,k ) 的最大值为 综合 1 ) ~ 4 ) 可知, 在整个 x 轴上, 0. 090 9 / k2 , 即: 1 阶多项式光滑函数的平方逼近正号函数平 2 方的逼近精度为 0. 090 9 / k 。 2. 2 二阶多项式光滑函数的逼近精度 二阶多项式光滑函数 p2 ( x , k) =
[ 6]

? p1 ( x , k) = ? 1 ( kx + 1 ) 2 ,- 1 < x < 1 4k k k ? ? ?0 ,
1 x ≤- k

?

( 1)

其中 k 为大于 0 的常数。在多项式光滑函数应用于支持向量 机的过程中, 有一个多项式光滑函数逼近正号函数的精度问 5] 2 。 k) - x2+ 的最大值问题 [ 题, 该问题可描述为一个求 p1 ( x, k) = p ( x, k) - x , 记 F1 ( x , 为表述方便, 称 F1 ( x,k ) 为逼 近函数。因此求多项式光滑函数逼近正号函数的精度问题, 就可转换成求 F1 ( x,k) 的最大值问题。 显然逼近函数 F1 ( x,k) 可分成 4 段表示: x≥ ?0 , k ? 1 ? 2 ( kx + 1 ) 4 - x2 , 0 < x < 1 ?16 k k F1 ( x , k) = ? 1 1 < x≤0 - ? 2 ( kx + 1 ) 4 , k 16 k ? ? 1 x ≤- ?0 , k 1
2 1 2 +

: 1

x≥ ? x, k ? ? 1 1 1 3 ? - 16 k( kx + 1 ) ( kx - 3 ) ,- k < x < k ? ? 1 x ≤- ?0 , k ( 2)

( 3)

其中 k 为大于 0 的常数。仿照上面求一阶多项式光滑函数的 逼近精度的基本思想和步骤, 把二阶多项式光滑函数逼近正 2 2 号函数的精度问题描述为求 p2 ( x,k) - x + 的最大值问题。 k ) = p2 k) - x2+ , 记 F2 ( x , 称 F2 ( x,k) 为逼近函数。也把 2 ( x, 逼近函数 F2 ( x,k) 分成 4 段表示: F2 ( x , k) = x≥ ?0 , k ? 1 ? 1 2 ( kx + 1 ) 6 ( kx - 3 ) 2 - x2 , 0 < x < ?256 k k ? 1 1 6 - < x≤0 ? 2 ( kx + 1 ) ( kx - 3 ) , k 256 k ? ? 1 x ≤- ?0 , k 1

其中 k 为大于 0 的常数。对于逼近函数 F1 ( x,k ) , 下面用二 分法求其最大值。该最大值称为多项式光滑函数 p1 ( x,k) 对 正号函数 x + 的逼近精度。下面对 F1 ( x,k) 在 x 轴上分 4 个 区间分别进行分析: 1 1) 当 x ≥ 时, 则由式( 2 ) 直接可得逼近函数 F1 ( x,k) k 的最大值为 0 。 2) 当 x ≤ - 1 时, 则由式( 2 ) 也直接可得逼近函数 F1 k

( 4)

( x,k) 的最大值为 0 。 1 3) 当 - < x ≤ 0 时, 此时 x + = 0 , 所以有: k

其中 k > 0 。 因此求二阶多项式光滑函数逼近正号函数的精 度问题, 就转换成了求 F2 ( x,k ) 的最大值问题。 下面对 F2

第8 期

陈勇等: 一类多项式光滑函数的逼近精度 p d ' ( 1 / k, k) = 1 , 项式光滑函数: 2, 3, …} { p d ( x, k) , d = 1 , 1 时, 由式( 4 ) 也直接可得逼近函数 F2 ( x, k p d ' ( - 1 / k, k) = 0

2043

( x,k) 分 4 个区间分别进行分析: 1 1) 当 x ≥ 时, 由式( 4 ) 直接可得逼近函数 F2 ( x,k) 的 k 最大值为 0 。 2) 当 x ≤ -

据此引理可求得支持向量机的一类具有 d 阶光滑的多 ( 8)

显然该类多项式光滑函数有无穷多个, 其中一阶多项式 光滑函数和二阶多项式光滑函数分别为式( 1 ) 和式( 3 ) , 下面 其中 k > 0 。 列出三阶至五阶多项式光滑函数的表达式, 三阶多项式光滑函数 p3 ( x , k) = x≥ ? x, k ? ? 1 ( kx + 1 ) 4 ( k2 x2 - 4 kx + 5 ) , ?32 k ? 1 1 - < x < ? k k ? ? 1 x ≤- ?0 , k 四阶多项式光滑函数 p4 ( x , k) = x≥ ? x, k ? ? - 1 ( kx + 1 ) 5 ( 5 k3 x3 - 25 k2 x2 + 47 kx - 35 ) , ? 256 k ( 10 ) ? 1 1 < x < - ? k k ? ? 1 x ≤- ?0 , k 五阶多项式光滑函数: p5 ( x , k) = x≥ ? x, k ? ? 1 ( kx + 1 ) 6 ( k4 x4 - 42 k3 x3 + 102 k2 x2 - 122 kx + 63 ) , ?512 k ? 1 1 < x < - ? k k ? ? 1 x ≤- ?0 , k ( 11 ) 显然, 这无穷多个多项式光滑函数有一个共同特征, 即都 是分段函数, 分为 4 段: 1 时, 都等于 0 ; k 1
[ 6] [ 6] [ 6]

k) 的最大值为 0 。 3) 当 - 1 < x ≤ 0 时, 此时 x + = 0 , 所以有: k
2 2 2 +

: 1

F2 ( x , k) = p ( x, k) - x

= p ( x, k)

2 2

[ 5] 2 由 p2 ( x,k) 的非负性和单调增性质 , 易知 p2 ( x,k) 也

具有单调增性质。因此函数 F2 ( x,k ) 的最大值点为 0 , 最大 值为: F2 ( 0 , k ) = p2 k) = 2 ( 0, 4) 当 0 < x < F2 ( x , k) = 3 256 k2

( 9)

1 时, 则: k
2

1 [ ( kx + 1 ) 6 ( kx - 3 ) 256 k2

- 256 k2 x2 ]

: 1

z ∈ ( 0, 1) , 作变量代换 z = kx , 则 F2 ( x,k) 表示为: F2 ( z ) = 1 [ ( z + 1) 6 ( z - 3) 256 k2
2

- 256 z2 ]

F2 ( z) 的导数为: F2 ' ( z ) = 1 [ 6( z + 1) 5 ( z - 3) 128 k2 256 z] =
2

+ ( z + 1) 6 ( z - 3) -

1 [ ( z + 1 ) 5 ( z - 3 ) ( z - 4 ) - 128 z] 64 k2

于是, 求函数 F2 ( z) 的最大值问题就转化成了求方程 F2 ' ( z) = 0 的根的问题了。仿照 2. 1 节用二分法求解这个方程, 求得 z = 0 . 189 。 F2 ' ( z ) > 0 ; 当 z > 1 ) 区间上, 在 ( 0, 易知当 z < 0. 189 时, 0. 189 时, F2 ' ( z) < 0 。因此 z = 0 . 189 是 F2 ( z ) 的最大值点, k) = 即 x = 0 . 189 / k 是 F2 ( x,k ) 的最 大 值 点, 代 入 F2 ( x , 1 ( kx + 1 ) 6 ( kx - 3 ) 256 k2
2

- x2 , 得 F2 ( x,k) 的最大值:

F2 ( 0 . 189 , k) = 0 . 05 / k2 F2 ( x,k ) 的最大值为 综合 1 ) ~ 4 ) 可知, 在整个 x 轴上,
2 0. 05 / k2 , 即: 2 阶多项式光滑函数的逼近精度为 0. 05 / k 。

2. 3

三阶及三阶以上多项式光滑函数的逼近精度 记: Ii =

∫( x

2



1 k2



i

dx, i = 0 , 1, 2, 3, …

( 5)

1) 当 x ≤ - 2) 当 x ≥ 3) 当 -

引理 1

[ 6]

任意给定一个正整数 d,存在一个支持向量

k) 。 在区间 ( - 1 / k, 机的 d 阶多项式光滑的光滑函数 p d ( x, 1 / k) 以外, k > 0, p d ( x, k) = x + , 在该区间上由下面递推公 式推出: I d -1 1 x( x - 2 ) k = 2d - 1
2 d -1

1 时, 都等于 x; k

1 1 < x < 时, 由递推式( 6 ) 和( 7 ) 给出。 k k

因此, 我们求这无穷多个多项式光滑函数的逼近精度都 - 2( d - 1) 3, 4, … I d -2 ; d = 2 , ( 2 d - 1 ) k2 ( 6) ( 7) 可像 2. 1 节和 2. 2 节求一阶和二阶多项式光滑函数的逼近精 度那样, 首先把任意一个多项式光滑函数的逼近精度表示为 把这个逼近函数分成 4 段后, 一个求逼近函数的最大值问题, 分别求出每段的最大值, 然后得到该多项式光滑函数的逼近 显然可以用二分法求出任意多 精度。按照这个思路和步骤, 四阶和 项式光滑函数的逼近精度 。 下面用二分法求出三阶 、 五阶多项式光滑函数的逼近精度, 求解过程省略。 表 1 列出 一阶至五阶多项式光滑函数的逼近精度 。

p d ( x, k) = a d I d -1 dx 分常数可由下列光滑性条件确定: p d ( 1 / k, k) = 1 / k, p d ( - 1 / k, k) = 0



其中: a d 是一个与 d 有关的积分常数。式( 2 ) 和式( 3 ) 中的积

2044
表1

计算机应用
一阶至五阶多项式光滑函数及其逼近精度 光滑阶数 1 2 3 4
6

第 30 卷

多项式光滑函数 1 ( kx + 1 ) 4k -
2

逼近精度 0 . 090 9 / k2 0 . 05 / k2 0 . 035 78 / k2 0 . 027 63 / k2 0 . 024 33 / k2

1 ( kx + 1 ) 3 ( kx - 3 ) 16 k

1 ( kx + 1 ) 4 ( k2 x2 - 4 kx + 5 ) 32 k - 1 ( kx + 1 ) 5 ( 5 k3 x3 - 25 k2 x2 + 47 kx - 35 ) 256 k

1 ( k4 x4 - 42 k3 x3 + 102 k2 x2 - 122 kx + 63 ) ( kx + 1 ) 512 k

5

3

结语
一般而言, 用任何方法求高次方程的根都可能出现漏根

参考文献:
? 1? ? 2? ? 3? 朱明. 数据挖掘 ? M? . 2 版. 合肥? 中国科学技术大学出版社 ? 2008. — —支持向量机 ? M? . 1 邓乃扬? 田英杰. 数据挖掘的新方法— 版. 北京? 科学出版社? 2004. LEE Y J? MANGASARIAN O L. SSVM? A smooth support vector machine for classification? J? . Computational Optimization and Applications? 2001? 22? 1? ? 5 - 21. LEE Y J? HSIEH W F? HUANG C M. ε SSVR? A smooth support vector machine for ε insensitive regression? J? . IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering? 2005? 17? 5? ? 5 - 22. 袁玉波? 严杰? 徐成贤. 多项式光滑的支撑向量机 ? J? . 计算机 学报? 2005? 28? 1? ? 9 - 17. 熊金志? 胡金莲? 袁华强? 等. 一类光滑支持向量机新函数的 研究? J? . 电子学报? 2007? 35? 2? ? 366 - 370. 熊金志? 袁华 强? 彭 宏. 多项 式光滑 的支持 向量机 一般 模 型 ? J? . 计算机研究与发展? 2008? 45? 8? ? 1346 - 1373. 李庆扬? 王能超? 易大义. 数值分析? M? . 4 版. 北京? 清华大学 出版社? 2004.

即可能求解不到方程的全部根, 以致无法得到方程的 的情况, 最优解, 二分法也存在可能漏根的缺点 。 为克服二分法的这 本文把多项式光滑函数逼近正号函数的精度问题表 个缺点, 示为一个逼近函数, 然后把这个逼近函数分成 4 段, 求出每 段的最大值, 最后得到这个逼近函数在整个 x 轴上的最大值, 这个最大值就是多项式光滑函数逼近正号函数的精度 。本文 运用二分法成功解决了 以一阶和二阶多项式光滑函数为例, 多项式光滑函数逼近正号函数的精度问题 。 研究结果还表 6] 明: 对文献[ 提出的无穷个多项式光滑函数, 都可按照本文 的思路和步骤, 用二分法解决其逼近精度问题 。 本文为求解 无穷多个多项式光滑函数的逼近精度问题提供了一个有效方 法, 也为多项式光滑函数应用于支持向量机的研究工作提供 了基本的理论支持。 ( 上接第 2033 页) R1 、 R2 得到第 1 步推理结果, 如可根据( intervalAfter inverseOf interval Before ) 以 及 本 体 文 件 中 的 定 义 ( taiyuanToXian intervalAfter tianjinToTaiyuan) 得到( tianjinToTaiyuan intervalBefore TaiyuanToXian) ; 然后根据第 1 步结论以及已有事实可得到第 2 步结论; 最后根据第 2 步中的结论以及 before 属性的传递性 即具有 before 关系的 7 个三元组, 推理结果合 得到最终结果, 理。 对推理机进行实验检验, 不仅为保证推理机正确运行, 且 通过分析推理结果也可验证时间本体和规则文件定义的合理 很可能是由 性。如当推理机内存溢出无法给出推理结果时, 于规则设计不合理而产生递归规则, 使得推理进行无限循环 。

? 4?

? 5? ? 6? ? 7? ? 8?

的关系, 具有强大的语义表达能力, 相应的推理机也可通过扩 展规则来表示不同领域的知识, 因而可广泛应用于多个领域 。 参考文献:
? 1? FENG P. Representing complex temporal phenomena for the semantic Web and natural language ? D? . Los Angeles? University of Sothern California? 2007. ? 2? HOBBS J R? FENG P. An ontology of time for the semantic Web ? J? . ACM Transactions on Asian Language Information Processing ? TALIP? ? 2004? 3? 1? ? 66 - 85. ? 3? ? 4? FENG P? HOBBS J R. Time ontology in OWL? EB / OL? . ? 2009 - 11 - 12? . http? / / www. w3. org / TR / OWLTime / . BAUKNIGHT D N? MILLER J R. Fourth party logistics? The evolution of supply chain outsourcing? EB / OL? . ? 2008 - 01 - 14 ? . http? / / www. infochain. org / quarterly / Smr99 / Fourth. html. ? 5? ? 6? ? 7? ALLEN J F. Maintaining knowledge about temporal intervals ? J? . Communications of the ACM? 1983? 26? 11? ? 832 - 843. 张师超? 基于间断区间的时态知识表示? J? . 软件学报? 1994? 5 ? 6? ? 13 - 18. MORRIS R A? AIKHATIB L. An intervalbased temporal relational calculus for events with gaps? J? . Journal of Experimental? 1991? 3 ? 2? ? 87 - 107. ? 8? JenaA semantic Web framework for Java? EB / OL? . ? 2008 - 06 - 10? . http? / / jena. sourceforge. net / .

3

结语
时间是自然界无所不在的客观属性, 且单个事件带间断

时区的情况广泛存在于和时间密切相关的信息中, 本文用文 6] Time, 的间断区间的时态理论来扩展 OWL更合理地在 献[ 解决了传统的本体工程仅能建立知 语义网中表示时态知识, 识的静态模型的问题, 并利用 Jena 良好的扩展性构造了相应 的推理引擎, 用此推理机对基于间断区间的时间本体进行推 不仅可挖掘时间知识间隐含的关系, 而且可验证时间知识 理, 定义的正确性。由于基于间断区间的时间本体不仅可表示间 断区间之间的关系, 而且可表示不同间断区间中时间段之间


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用列梅兹算法确定函数的最佳一致逼近多项式
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