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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 简单的三角恒等变换学案 理 新人教A版


简单的三角恒等变换
导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与 差的三角公式进行简单的恒等变换.

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自主梳理 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =________________; (2)cos 2α =______________=________________-1=1-________________; kπ π π (3)tan 2α =________________________ (α ≠ + 且 α ≠kπ + ). 2 4 2 2.公式的逆向变换及有关变形 sin 2α (1)sin α cos α =____________________? cos α = ; 2sin α 2 2 (2)降幂公式:sin α =________________,cos α =________________; 升幂公式:1+cos α =________________,1-cos α =_____________; 2 2 变形:1±sin 2α =sin α +cos α ±2sin α cos α =________________________. 自我检测 1 . (2010? 陕 西 ) 函 数 f(x) = 2sin xcos x 是 ) A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 2 . 函 数 f(x) = cos 2x - 2sin x 的 最 小 值 和 最 大 值 分 别 为 ) A.-3,1 B.-2,2 3 3 C.-3, D.-2, 2 2 3 . 函 数 f(x) = sin xcos x 的 最 小 值 是 ) 1 1 A.-1 B.- C. D.1 2 2 4 . (2011? 清 远 月 考 ) 已 知 A 、 B 为 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 , 则 sin A?sin B ) 1 A.有最大值 ,最小值 0 2 1 B.有最小值 ,无最大值 2 C.既无最大值也无最小值 1 D.有最大值 ,无最小值 2

探究点一 三角函数式的化简 2 4 例 1 求函数 y=7-4sin xcos x+4cos x-4cos x 的最大值和最小值.

1

4cos x-2cos 2x-1 变式迁移 1 (2011?泰安模拟)已知函数 f(x)= . ?π ? ?π ? sin? +x?sin? -x? ?4 ? ?4 ? ? 11π ?的值; (1)求 f?- ? ? 12 ? 1 ? π? (2)当 x∈?0, ?时,求 g(x)= f(x)+sin 2x 的最大值和最小值. 4? 2 ?

4

探究点二 三角函数式的求值 π π 1 π π 2 例 2 已知 sin( +2α )?sin( -2α )= ,α ∈( , ),求 2sin α +tan α - 4 4 4 4 2 1 -1 的值. tan α

π α + 4 5 变式迁移 2 (1)已知 α 是第一象限角,且 cos α = ,求 13 α +4π π 3 π 3π π (2)已知 cos(α + )= , ≤α < ,求 cos(2α + )的值. 4 5 2 2 4

的值.

探究点三 三角恒等式的证明 例 3 (2011?苏北四市模拟)已知 sin(2α +β )=3sin β ,设 tan α =x,tan β =y, 记 y=f(x). (1)求证:tan(α +β )=2tan α ; (2)求 f(x)的解析表达式; (3)若角 α 是一个三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域.

变式迁移 3 求证: 1+cos x = . sin x

sin 2x x+cos x-

x-cos x+

2

转化与化归思想的应用 (12 分)(2010?江西)已知函数 f(x)= ?1+ 1 ?sin2x+msin?x+π ?sin?x-π ?. ? tan x? ? ? ? ? 4? 4? ? ? ? ? ? π 3π ? (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间? , ?上的取值范围; 4 ? ?8 3 (2)当 tan α =2 时,f(α )= ,求 m 的值. 5 【答题模板】 ? cos x?sin2x 解 (1)当 m=0 时,f(x)=?1+ ? ? sin x? 1-cos 2x+sin 2x 2 =sin x+sin xcos x= 2 π? ? 1? ? = ? 2sin?2x- ?+1?,[3 分] 4? ? 2? ? π ? 5π ? ?π 3π ? 由已知 x∈? , ?,得 2x- ∈?0, ?,[4 分] 4 ? 4 ? 4 ? ?8 π? ? 2 ? ? 所以 sin?2x- ?∈?- ,1?,[5 分] 4? ? 2 ? ? 例

? 1+ 2? 从而得 f(x)的值域为?0, ?.[6 分] 2 ? ?
(2)f(x)=sin x+sin xcos x- cos 2x 2 1-cos 2x 1 m = + sin 2x- cos 2x 2 2 2 1 1 = [sin 2x-(1+m)cos 2x]+ ,[8 分] 2 2 2sin α cos α 2tan α 4 由 tan α =2,得 sin 2α = 2 = = , 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5 2 2 2 cos α -sin α 1-tan α 3 cos 2α = 2 = =- .[10 分] 2 2 cos α +sin α 1+tan α 5 3 1?4 3 1 ? 所以 = ? + 1+m ?+ ,[11 分] 5 2?5 5 ? 2 解得 m=-2.[12 分] 【突破思维障碍】 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍 角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数 式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、 角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等. 1.求值中主要有三类求值问题: (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非 特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并 且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的
3
2

m

式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则: (1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元 素法,“1”的代换法等. (2)常用的拆角、拼角技巧如:2α =(α +β )+(α -β ),α =(α +β )-β ,α =(α β ? ? α ? α α α +β ? -β )+β , =?α - ?+?β - ?, 是 的二倍角等. 2? ? 2? 2 4 2 ? (3)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低 次,化多项式为单项式,化无理式为有理式. 消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、 结构等方面的差异.

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(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 . (2011? 平顶 山月 考 ) 已 知 0<α <π , 3sin 2α = sin α ,则 cos(α - π ) 等于 ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 3 3 6 6 π π? 2 1 ? ? ? 2 . 已 知 tan(α + β ) = , tan ?β - ? = , 那 么 tan ?α + ? 等 于 4? 4? 5 4 ? ? ) 13 13 3 1 A. B. C. D. 18 22 22 6 1 ? π ? 3.(2011?石家庄模拟)已知 cos 2α = (其中 α ∈?- ,0?),则 sin α 的值为 2 ? 4 ? ) 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 4 . ) 4 3 A.- 3 B.8 若

f(x) = 2tan

x -

2sin -1 2 sin cos 2 2

2

x

x

x





f ? ? 的 值 为 12

?π ? ? ?

(

C.4 3 D.-4 3 5.(2010?福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中,若 cos 2B+3cos(A+C) +2=0,则 sin B 的值是 ( ) 1 2 3 A. B. C. D.1 2 2 2 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 3 6.(2010?全国Ⅰ)已知 α 为第二象限的角,且 sin α = ,则 tan 2α =________. 5 2 7.函数 y=2cos x+sin 2x 的最小值是________.
4

cos 2α 2 8.若 =- ,则 cos α +sin α 的值为________. π 2 ? ? sin?α - ? 4? ? 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)化简:(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°; 3-4cos 2α +cos 4α (2) . 3+4cos 2α +cos 4α

?π ? 1 10.(12 分)(2011?南京模拟)设函数 f(x)= 3sin xcos x-cos xsin? +x?- . 2 ? ? 2 (1)求 f(x)的最小正周期; ? π? (2)当∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 2? ?

11.(14 分)(2010?北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin x-4cos x. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值.

2

答案 自主梳理 2 2 2 2 1.(1)2sin α cos α (2)cos α -sin α 2cos α 2sin α 2tan α 1 1-cos 2α 1+cos 2α 2α 2α (3) 2.(1) sin 2α (2) 2cos 2sin 2 1-tan α 2 2 2 2 2 2 (sin α ±cos α ) 自我检测 1.C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区 例 1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不 含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数, 重视复合函数中间变量的范围是关键. 2 4 解 y=7-4sin xcos x+4cos x-4cos x 2 2 =7-2sin 2x+4cos x(1-cos x) 2 2 =7-2sin 2x+4cos xsin x 2 2 =7-2sin 2x+sin 2x=(1-sin 2x) +6, 2 2 由于函数 z=(u-1) +6 在[-1,1]中的最大值为 zmax=(-1-1) +6=10,最小值为 zmin 2 =(1-1) +6=6, 故当 sin 2x=-1 时,y 取得最大值 10, 当 sin 2x=1 时,y 取得最小值 6. 变式迁移 1 解 (1)f(x)

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+cos 2x -2cos 2x-1 ?π ? ?π ? sin? +x?sin? -x? ?4 ? ?4 ? 2 cos 2x = π ? ? ?π ? sin? +x?cos? +x? ?4 ? ?4 ? 2 2 2cos 2x 2cos 2x = = =2cos 2x, π cos 2x ? ? sin? +2x? ?2 ? 11 π ? ?=2cos?-11π ?=2cos π = 3. ∴f?- ? ? 6 ? 6 ? 12 ? ? ? (2)g(x)=cos 2x+sin 2x π? ? = 2sin?2x+ ?. 4? ? π ?π 3π ? ? π? ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 4 4 ? 4 ?4 ? ? π ∴当 x= 时,g(x)max= 2, 8 当 x=0 时,g(x)min=1. 例 2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确; (2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为 弦函数. π π 解 由 sin( +2α )?sin( -2α ) 4 4 π π =sin( +2α )?cos( +2α ) 4 4 1 π 1 1 = sin( +4α )= cos 4α = , 2 2 2 4 1 π π 5π ∴cos 4α = ,又 α ∈( , ),故 α = , 2 4 2 12 1 2 ∴2sin α +tan α - -1 tan α 2 2 sin α -cos α =-cos 2α + sin α cos α -2cos 2α =-cos 2α + sin 2α 5π 2cos 6 5 3 5π =-cos - = . 6 5π 2 sin 6 5 变式迁移 2 解 (1)∵α 是第一象限角,cos α = , 13 12 ∴sin α = . 13 = π α + 4 α +4π 2 2 α +cos α cos 2α

2





6



2 2
2

α +cos α cos α -sin α
2

2 2 2 2 13 2 = = =- . cos α -sin α 5 12 14 - 13 13 π π π (2)cos(2α + )=cos 2α cos -sin 2α sin 4 4 4 2 (cos 2α -sin 2α ), 2 π 3 ∵ ≤α < π , 2 2 3π π 7 ∴ ≤α + < π . 4 4 4 π 3 又 cos(α + )= >0, 4 5 3 π 7 故可知 π <α + < π , 2 4 4 π 4 ∴sin(α + )=- , 4 5 π 从而 cos 2α =sin(2α + ) 2 π π =2sin(α + )cos(α + ) 4 4 4 3 24 =2?(- )? =- . 5 5 25 π sin 2α =-cos(2α + ) 2 π 2 =1-2cos (α + ) 4 3 2 7 =1-2?( ) = . 5 25 = π 2 2 24 7 ∴cos(2α + )= (cos 2α -sin 2α )= ?(- - ) 4 2 2 25 25 31 2 =- . 50 例 3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我 们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关 系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边 的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第(2)小题同样要从角的关系入手, 利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可. (1)证明 由 sin(2α +β )=3sin β ,得 sin[(α +β )+α ] =3sin[(α +β )-α ], 即 sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α =3sin(α +β )cos α -3cos(α +β )sin α , ∴sin(α +β )cos α =2cos(α +β )sin α , ∴tan(α +β )=2tan α .

7

tan α +tan β x+y (2)解 由(1)得 =2tan α ,即 =2x, 1-tan α tan β 1-xy ∴y= 2,即 f(x)= 2. 1+2x 1+2x (3)解 ∵角 α 是一个三角形的最小内角, π ∴0<α ≤ ,0<x≤ 3, 3 1 1 2 设 g(x)=2x+ ,则 g(x)=2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时取“=”). x x 2 2 ]. 4 变式迁移 3 证明 因为左边= 2sin xcos x [sin x+ x- x- x- 2sin xcos x = 2 sin x- x- 2 2sin xcos x = 2 2 sin x-cos x+2cos x-1 2sin xcos x sin x = = 2 -2cos x+2cos x 1-cos x sin x +cos x = -cos x +cos x sin x +cos x 1+cos x = = =右边. 2 sin x sin x 所以原等式成立. 课后练习区 1.D [∵0<α <π ,3sin 2α =sin α , 故函数 f(x)的值域为(0, 1 ∴6sin α cos α =sin α ,又∵sin α ≠0,∴cos α = , 6 1 cos(α -π )=cos(π -α )=-cos α =- .] 6 π π 2.C [因为 α + +β - =α +β , 4 4 π? π ? 所以 α + =(α +β )-?β - ?. 4? 4 ? π? π ?? ? ? ? 所以 tan?α + ?=tan? α +β -?β - ?? 4? 4 ?? ? ? ? π ? ? α +β -tan?β - ? 4? 3 ? = = .] ?β -π ? 22 1+ α +β ? ? 4? ? 1 2 3.B [∵ =cos 2α =1-2sin α , 2 1 ? π ? 2 ∴sin α = .又∵α ∈?- ,0?, 4 ? 4 ? 1 ∴sin α =- .] 2

x

x

8

1-2sin 2 2cos x 4.B [f(x)=2tan x+ =2tan x+ 1 sin x sin x 2 2 4 = = sin xcos x sin 2x 4 ?π ? ∴f? ?= =8.] π ?12? sin 6 2 5.C [由 cos 2B+3cos(A+C)+2=0 化简变形,得 2cos B-3cos B+1=0, 1 ∴cos B= 或 cos B=1(舍). 2 ∴sin B= 24 6.- 7 3 解析 因为 α 为第二象限的角,又 sin α = , 5 4 sin α 3 所以 cos α =- ,tan α = =- , 5 cos α 4 2tan α 24 所以 tan 2α = =- . 2 1-tan α 7 7.1- 2 2 解析 ∵y=2cos x+sin 2x=sin 2x+1+cos 2x π? ? =sin 2x+cos 2x+1= 2sin?2x+ ?+1, 4? ? π ∴当 sin(2x+ )=-1 时,函数取得最小值 1- 2. 4 1 8. 2 2 2 cos 2α cos α -sin α 解析 ∵ = π? 2 ? sin?α - ? α -cos α 4? 2 ? =- 2(sin α +cos α )=- 2 , 2 3 .] 2

2

x

1 ∴cos α +sin α = . 2 9.解 (1)∵sin 2α =2sin α cos α , sin 2α ∴cos α = , ????????????????????????????(2 2sin α 分) sin 40° sin 80° 1 sin 160° ∴原式= ? ? ? 2sin 20° 2sin 40° 2 2sin 80° - = 16sin 20° 1 .??????????????????????????(6 分) 16



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(2)原式= (9 分)

3-4cos 2α +2cos 2α -1 ????????????????????? 2 3+4cos 2α +2cos 2α -1
2

2

-cos 2α = = 2 +cos 2α 4 tan α .?????????????????????(12 分) ?π ? 1 10.解 f(x)= 3sin xcos x-cos xsin? +x?- ?2 ? 2 =

α 2 α

2

2 2



3 1 sin 2x- cos 2x-1 2 2 π? ? =sin?2x- ?-1.????????????????????????????(4 6? ? 分) 2π (1)T= =π , 故 f(x)的最小正周期为 π .??????????????????? 2 (6 分) π π π 5π (2)因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)有最大值 0, 6 2 3 ??????????????????????????????????? (10 分) π π 3 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)有最小值- . 6 6 2 ??????????????????????????????????? (12 分) π 2π π 2π 11.解 (1)f( )=2cos +sin -4cos 3 3 3 3 3 9 =- 1 + - 2 =- . ??????????????????????????? (4 4 4 分) 2 2 (2)f(x)=2(2cos x-1)+(1-cos x)-4cos x 2 =3cos x-4cos x-1 2 2 7 =3(cos x- ) - ,x∈R.???????????????????????? (10 3 3 分) 因为 cos x∈[-1,1], 所以,当 cos x=-1 时,f(x)取得最大值 6; 2 7 当 cos x= 时, f(x)取得最小值- .???????????????????(14 分) 3 3

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