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2.4.1等比数列学案


2.3.1 等比数列学案
复习: “等差数列的定义”“等差中项的定义”“通项公式及通项公式的探求方法” , , 。 1、引入: 观察下列数列,找出规律填空,并找出它们的共同特点: (1)1,2,4, ) ( ,16,?; (2)3,9, ) ( ,81,?; (3)1, 1/2,1/4, 1/8, ) ( ,?; 特点: a 2 ? a1q , a3 ? a 2 q ,

?, an ? an?1q 2、等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于 列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,常用字母 q 表示( q ? 0 ) ,那么这个数

符号语言:

a n?1 ?q an



an ? q(n ? 1) an?1

注意:任一项 an ? 0且q ? 0

1 例 1 数列﹛an﹜的通项公式为 an= ? 3n ,试问这个数列是等比数列吗?为什么? 2

练习 1:判断下列数列是否等比数列,不是等比数列说明理由,是等比数列的求出公比。 (1)1,-1/3,1/9,-1/27,? (2)1,2,4,8,12,16,20,? (3)an=2 3
n

3、等比数列的通项公式. 已知一个数列﹛an﹜是等比数列,首项为 a1,公比为 q,求 an.

1. 归纳法:
:由定义式可得 2. 方法(累乘法)

a2 =q a1 a3 =q a2
? ? (n-1)个 累乘得:

an an?1 a ? ? ...... ? 2 =qn-1 an?1 an?2 a1

an =q an ?1
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即 an=a1·q

n-1



等比数列的通项公式为:an=a1q (a1 ,q≠0)

n-1

3.如何借助函数分析等比数列的增减性? 4、等比数列通项公式的应用 例 2 已知等比数列的公比为 q ,第 m 项为 an,第 n 项为 an,试求第 n 项。

例3

已知等比数列中,第 5 项 20,第 15 项为 5,求第 20 项。

例 4.在 4 和

1 之间插入 3 个数,使这 5 个数成等比数列,求插入的 3 个数。 4

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跟踪练习: 1.某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的这种物质是原来的 84% , 这种物质的半衰期为 多长(精确到一年)?

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a n ?

1 a n ?1 (n ? 1) ,求 an 2

3.一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项.

5、等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使得 a , G , b 成

数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。即

G 2 ? a ? b (思考 a , b 的符号有什么特点?)
练习 2:①2,x,8 成等比数列则 x=? ②2 , x , 8 , -16 成等比数列,则 x=?

6、小结 1、内容:等比数列定义,等比中项,通项公式及推导 2、方法类比等差数列相关知识得到等比数列有关知识

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6、自我检测题

1.已知数列 a,a(1-a) a(1- a ) 2 ,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是( ). , A. a≠1 C. a≠0 B. a≠0 且 a≠1 D. a≠0 或 a≠1

2. 等比数列 ?an ? 中, a1 = 12 , a2 = 24 ,则 a3 =( ). A. 36 B. 48 C. 60 D . 72 ( D. ) 3.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2 , a8 ? 64 ,那么它的公比 q ? A. 4 B. 2 C.
5

1 2 4. 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(1 个分裂为 2 个) ,经过 3 小时,这种细菌 由一个可以分裂成??( ) A、511 个 B、512 个 C、1023 个 D、1024 个 9 1 2 5.等比数列中,首项为 ,末项为 ,公比为 ,则项数 n 等于 . 8 3 3

2

6.在等比数列 {an } 中,已知

a3 ? 9 , a6 ? 243,求 a5

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