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2017年河南单招数学模拟测试五(附答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年河南单招数学模拟测试五(附答案)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 M={y|y=x2,x∈R},N={y|y2≤2,y∈Z},则 M∩N=▲ . 1-i 2.在复平面内,复数 对应的点与原点之间的距离是 1+i





?1? 3.已知命题 p:函数 y=lgx 的定义域是 R,命题 q:函数 y=? ? 的值域是正实数集, ?3?
2

x

给出命题:①p 或 q;②p 且 q;③非 p;④非 q.其中真命题有



个.

4.已知数列{an}是等差数列,a4=7,S9=45,则过点 P(2,a3),Q(4,a6)的直线的斜 率 等于 ▲ . ▲ .

开始

5.右边的流程图最后输出的 n 的值是

n←1

?0≤x≤1, 6.若 x,y 满足约束条件?0≤y≤2, ?x-2y+1≤0,
则 z=2x-y+4 的取值范围是
3

n←n+1

2n>n2

Y ▲ .
输出 n 结束 (第 5 题图)

N

7.已知正四棱锥的体积是 48cm ,高为 4cm, 则该四棱锥的侧面积是 ▲ cm .
2

7 8.如图是 2008 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个 8 9

9 2564 8 3

(第(8)题 图)

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▲ .

最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为

9.当 A,B∈{1,2,3}时,在构成的不同直线 Ax-By=0 中,任取一条,其倾斜角小 于 45?的概率是 ▲ .

1 10.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,则不等式 2

f(log2x)<0 的解集为 x2 y2 a b





11.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点 F1,F2 分别在双曲线 2- 2=1 的左、右准线上,

x2 y2 b a

则椭圆的离心率 e=





?? ?? ?? ? ? 12.函数 y=tan( x- )的部分图像如图所示,则( OB - OA )? OB = 4 2





y A
13.在△ABC 中,D 为 BC 中点,?BAD=45?,?CAD=30?,AB= 2,则 AD= 1 B ▲ .

1 4 3 14.已知 O x,y 都在区间 (0,1]内,且 xy= ,若关于 x,y 的方程 + -t=0 A 3 x 4-x 3-y

C
有两组不同的解(x,y),则实数 t 的取值范围是
图)

▲ 13)题 . (第(

D

B

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分)
图) (第(12)题

2 ? ? 1 已知 0<?< <?<?,tan = ,cos(?-?)= .(1)求 sin? 的值;(2)求 2 2 2 10

? 的值.

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16.(本题满分 14 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 AA1C1C 为矩形,四边形 BB1C1C 为菱形.

AC∶AB∶CC1=3∶5∶4,D,E 分别为 A1B1,CC1 中点.
求证:(1)DE∥平面 AB1C; (2)BC1?平面 AB1C.

B1

B

D C1 A1 E C A

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17.(本题满分 14 分)

A 地产汽油,B 地需要汽油.运输工具沿直线 AB 从 A 地到 B 地运油,往返 A,B 一
1 趟所需的油耗等于从 A 地运出总油量的 .如果在线段 AB 之间的某地 C(不与 A,B 100 重合)建一油库,则可选择 C 作为中转站,即可由这种运输工具先将油从 A 地运到 C 地,然后再由同样的运输工具将油从 C 地运到 B 地.设 =x,往返 A,C 一趟所需的 油耗等于从 A 地运出总油量的 .往返 C,B 一趟所需的油耗等于从 C 地运出总油量 100 1-x B地收到的汽油量 的 .不计装卸中的损耗,定义:运油率 P= ,设从 A 地直接运油 100 A地运出的汽油量 到 B 地的运油率为 P1,从 A 地经过 C 中转再运油到 B 地的运油率为 P2. (1)比较 P1,P2 的大小; (2)当 C 地选在何处时,运油率 P2 最大?

AC AB

x

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18.(本题满分 16 分) 已知抛物线顶点在原点,准线方程为 x=-1.点 P 在抛物线上,以 P 圆心,P 到 抛物线焦点的距离为半径作圆,圆 P 存在内接矩形 ABCD,满足 AB=2CD,直线 AB 的斜 率为 2. (1)求抛物线的标准方程; (2)求直线 AB 在 y 轴上截距的最大值,并求此时圆 P 的方程. 1.

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19.(本题满分 16 分) 1-x 已知函数 f(x)=lnx+ ,其中 a 为大于零的常数.

ax

(1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内不是单调函数,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[e,e ]上的最小值.
2

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20.(本小题满分 16 分) 3n+5 2n 已知数列{an}中,a1=2,a2=3,an+2= an+1- an,其中 n∈N*.设数列 n+2 n+1 {bn}满足 bn=an+1-

an,n∈N*. n+1

n

(1)证明:数列{bn}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的通项公式; (n+2)bn+2 (3)令 cn= ,n∈N*,求证:c1+c2+…+cn<2. (nbn)(n+1)bn+1

21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请 . 在 答 题 纸 指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . . . . ..... A.选修 4—1:几何证明选讲 圆的两弦 AB、CD 交于点 F,从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P,再从 P 引这个 圆的切线,切点是 Q,求证:PF=PQ.

Q P A C F B

D

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B.选修 4—2:矩阵与变换

已知矩阵 M=? 得到的直线方程.

?1

?1 2? ?,N=? ?,求直线 y=2x+1 在矩阵 MN 的作用下变换所 ?0 -1? ?0 -3?

0?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 2 2 已知⊙C:?=cos?+sin?,直线 l:?= .求⊙C 上点到直线 l 距离的最 ? cos(?+ ) 4 小值.

D.选修 4—5:不等式选讲

已知关于 x 的不等式∣x+1∣+∣x-1∣≤ + + 对任意正实数 a,b,c 恒成立,求 实数 x 的取值范围.

b c a a b c

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在 答 题 纸 指定区域内 作 .. . . . ..... 答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢 欢、迎迎、妮妮。现有 8 个相同的盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福娃的数 量如下表: 福娃名称 数量 贝贝 1 晶晶 2 欢欢 3 迎迎 1 妮妮 1

从中随机地选取 5 只. (1)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (2)若完整地选取奥运会吉祥物记 100 分;若选出的 5 只中仅差一种记 80 分;差 两种记 60 分;以此类推.设 ? 表示所得的分数,求 ? 的分布列和期望值.

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23.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an+2,Sn+1)在直线 y=4x-5 上,其中 n∈N*, 令 bn=an+1-2an,且 a1=1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,求 f?(1)的表达式,并比较 f?(1)与 8n2- 4n 的大小.

参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

考单招上高职单招网---1.{0,1} 7.60 8.4 3+1 2 2.1 3 9. 7 3.2 10.(

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4.-3 11. 5.5 2- 2 2 6.[2,5] 12.4

2 , 2) 2

13.

12 59 14.( , ] 5 24

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 2 4 解:(1)tan?= = ,…………………………………………3 分 ? 3 1-tan2 2 sin? 4 所以 = ,又因为 sin2?+cos2?=1, cos? 3 4 解得 sin?= .………………………………………………………7 分 5 (2)因为 0<?< <?<?,所以 0<?-?<?. 2 因为 cos(?-?)= 2 7 2 ,所以 sin(?-?)= .……………………9 分 10 10 2tan

?

?

所以 sin?=sin[(?-?)+?] 7 2 3 2 4 2 =sin(?-?)cos?+cos(?-?)sin?= × + × = ,……12 分 10 5 10 5 2 因为 ?∈( ,?), 2 3? 所以 ?= .………………………………………………………14 分 4

?

16.(本题满分 14 分) 证明:(1)取 AB1 中点 F,连结 DF,CF.因为 D 为 A1B1 中点,

考单招上高职单招网---1 所以 DF∥ = 2AA1. 因为 E 为 CC1 中点,AA1∥ = CC1, 所以 CE∥ = DF.

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所以四边形 CFDE 为平行四边形. 所以 DE∥CF.…………………………………………………4 分 因为 CF? 平面 ABC,DE? / 平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC.…………………………………………7 分 (2) 因为 AA1C1C 为矩形,所以 AC?CC1. 因为 BB1C1C 为菱形,所以 CC1=CB.B1C?BC1.…………8 分 因为 AC∶AB∶CC1=3∶5∶4, 所以 AC∶AB∶BC=3∶5∶4, 所以 AC +BC =AB .……………………………………10 分
2 2 2

所以 AC?BC. 所以 AC?平面 BB1C1C.…………………………………12 分 所以 AC?BC1. 所以 BC1?平面 AB1C.……………………………………14 分

B1

B

D C1 A1 E C

F

A

考单招上高职单招网---17.(本题满分 14 分)

根据历年单招考试大纲出题

1 解:(1)设从 A 地运出的油量为 a,根据题设,直接运油到 B 地,往返油耗等于 a, 100 所以 B 地收到的油量为(1- 1 )a. 100

1 (1- )a 100 99 所以运油率 P1= = .……………………………………3 分 a 100 而从 A 地运出的油量为 a 时,C 地收到的油量为(1- 1-x x )(1- )a, 100 100

x
100

)a,

B 地收到的油量(1-

1-x x (1- )(1- )a 100 100 所以运油率 P2=

a

1-x x 99 x x =(1- )(1- )=( + )(1- ).…………………………7 分 100 100 100 100 100 1 所以 P2-P1= x(1-x),因为 0<x<1, 10000 所以 P2-P1>0,即 P2>P1.…………………………………………9 分

x x ? ? 99 + +1- ?2 ? 100 100 100 99 x x 199?2 ? =? (2)因为 P2=( + )(1- )≤? ? ? . 100 100 100 ? 2 ? ?200?
99 x x 1 当且仅当 + =1- ,即 x= 时,取“=”. 100 100 100 2 所以当 C 地为 AB 中点时,运油率 P2 有最大值.……………………………………14 分 18.(本题满分 16 分) 解:(1)因为抛物线顶点在原点,准线方程为 x=-1, 所以抛物线开口向右,且- =-1,所以 p=2. 2

p

考单招上高职单招网---2

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所以所求的抛物线方程为 y =4x.…………………………………………4 分 (2)设 P(x0,y0),则 y02=4x0,半径 r=PF=x0+1, 圆 P 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(x0+1)2,……………………………6 分 设 AB 的方程为 y=2x+b,由 AB=2CD 得, 圆心 P 到直线 AB 的距离 2d= 所以 5d2=r2,即 5d=r. ∣2x0-y0+b∣ 因为 r=|x0+1|,d= , 5 代入得∣2x0-y0+b∣=∣x0+1∣.…………………………………8 分 即 2x0-y0+b=x0+1 或 2x0-y0+b=-x0-1. 所以 x0-y0+b-1=0 或 3x0-y0+b+1=0. 1 2 2 因为 y0 =4x0,所以 x0= y0 , 4 1 2 3 2 代入得 y0 -y0+(b-1)=0 或 y0 -y0+(b+1)=0.……………………10 分 4 4 1 方程 y02-y0+(b-1)=0 关于 y0 有解 ?1-(b-1)≥0,b≤2. 4 3 2 方程 y02-y0+(b+1)=0.关于 y0 有解 ?1-3(b+1)≥0,b≤- .…12 分 4 3 综上所述,b 的最大值为 2.……………………………………………14 分 此时,y0=2,x0=1,r=x0+1=2, 所以圆 P 的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.……………………………16 分 19.(本题满分 16 分) 解:f?(x)=

r2-d2,……………………………6 分

ax-1 (x>0) 2 分 ax2

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x

1 (1)由已知,得 f?(x)在[1,+∞)上有解,即 a= 在(1,+∞)上有解,

1 又? 当 x∈(1,+∞)时, <1,

x

所以 a<1.又 a>0,所以 a 的取值范围是(0,1).………………………………6 分 1 (2)①当 a≥ 时, e 因为 f?(x)>0 在(e,e2)上恒成立,这时 f(x)在[e,e2]上为增函数, 1-e 所以当 x=e 时,f(x)min=f(e)=1+ ……………………………………………… 8 分

ae

1 ②当 0<a≤ 2时, e 因为 f?(x)<0 在(e,e2)上恒成立, 这时 f(x)在[e,e ]上为减函数,
2

1-e2 所以,当 x=e 时,f(x)min=f(e )=2- 2 ,…………………………………………10 分 ae
2 2

1 1 1 ③当 2<a< 时,令 f?(x)=0 得,x= ∈(e,e2), e e a 1 又因为对于 x∈(e, )有 f?(x)<0,

a

1 对于 x∈( ,e2)有 f?(x)>0,

a

1 1 1 1 所以当 x= 时,f(x)min=f( )=ln +1- .………………………………………14 分

a

a

a

a

考单招上高职单招网---综上,f(x)在[e,e ]上的最小值为
2

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f(x)min

e 1 ,当a≥ 时, ?1+1- ? 1 ae 1 1e 1 =?ln +1- ,当 <a< 时,………………………………………16 分 a a e e 1-e 1 ? ?2- ae ,当0<a<e 时.
2 2 2 2

20.(本题满分 16 分) 解:(1)由条件得 an+2=(2+

n+1

2n )an+1- an, n+2 n+1

所以 an+2-

n+1 n an+1=2(an+1- an), n+2 n+1

1 即 bn+1=2bn,又 b1=a2- a1=2,所以 bn≠0, 2 从而

bn+1 =2 对 n∈N*成立, bn

所以数列{bn}是首项为 b1=2,公比 q=2 的等比数列, 所以 bn=2 .…………………………………………………6 分
n

(2)由(1)得 an+1— 所以 2a2-a1=2?21, 3a3-2a2=3?22, 4a4-3a3=4?23, …………,

n

n+1

an=2n.所以(n+1)an+1-nan=(n+1)?2n,………………8 分

nan-(n-1)an-1=n?2n-1,
相加得 nan-a1=2?21+3?22+4?23+…+n?2n-1,

考单招上高职单招网---所以 2(nan-a1)=
2 3

根据历年单招考试大纲出题
n
1

2?2 +3?2 +…+(n-1)?2 - +n?2 .
n

两式相减得:-(nan-a1)=2(21+22+…+2n-1)-n?2n=2n+1-4-n?2n,所以 2 + +6 (n-2)2 +6 an=2 - = .…………………………………………………………11 分
n
1

n

n

n

n

1 1 (3)因为 cn= = =4[ n- ],…………13 n n+1 n?2 (n+1)?2n+1 (nbn)(n+1)bn+1 (n?2 )?(n+1)?2 分 所以 Sn=c1+c2+…+cn 1 1 1 1 1 1 1 1 =4[ 1- 2+ 2- 3+ 3- 4+…+ n- ] 1?2 2?2 2?2 3?2 3?2 4?2 n?2 (n+1)?2n+1 1 1 2 =4[ - ]=2- <2.…………………………………………………16 分 n+1 2 (n+1)?2 (n+2)?2n

(n+2)bn+2

(n+2)?2n+2

1.(几何证明选讲)(本题满分 10 分) 证明:证明:因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?ADF=?ABC. 因为 PF∥BC,所以 ?AFP=?ABC.所以 ?AFP=?FQP. 因为 ?APF=?FPA,所以△APF∽△FPQ.所以 = .………………5 分 所以 PF2=PA?PD.因为 PQ 与圆相切,所以 PQ2=PA?PD. 所以 PF2=PQ2.所以 PF=PQ.……………………………………………10 分

PF PD PA PF

2.(矩阵与变换)(本题满分 10 分)

解:∵MN=?

?1

2? ?1 ?? ?=? ?0 -1??0 -3? ?0

0??1

2? ?, 3?

设直线 y=2x+1 上一点(x0,y0)在 MN 作用下变为(x?,y?),则

考单招上高职单招网---?1 ? ?0
2??x0?

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?x?=x0+2y0, ?x0+2y0? ?x?? ?x?? ?? ?=? ?,即? ?=? ?,即? 3??y0? ?y?? ? 3y0 ? ?y?? ?y?=3y0.
0

2 ? ?x =x?-3y?, 从而可得? ……………………………………5 分 1 ?y =3y?. ?
0

1 2 ∵y0=2x0+1,代入得 y?=2(x?- y?)+1, 3 3 5 化简得 2x?- y?+1=0,即 6x?-5y?+3=0. 3 即变换后的直线方程是 6x-5y+3=0.…………………………10 分

3.(坐标系与参数方程)(本题满分 10 分) 解:⊙O 的直角坐标方程是 x2+y2-x-y=0, 1 1 1 即(x- )2+(y- )2= .………………………………………………3 分 2 2 2 直线 l 的极坐标方程为 ?(cos?-sin?)=4, 直线 l 的直角坐标方程为 x-y-4=0.………………………………6 分 1 2 1 2 设 M( + cos?, + sin?)为⊙C 上任意一点,M 点到直线 l 的距离 2 2 2 2 1 2 1 2 ? ∣ + cos?-( + sin?)-4∣ 4-cos(?+ ) 2 2 2 2 4 d= = , 2 2 3 ? 当 ?= 时,dmin= .…………………………………………………10 分 4 2 4.(不等式选讲)(本题满分 10 分)

解:因为 + + ≥3

b c a a b c

3

bca ? ? =3,………………………………………4 分 abc

考单招上高职单招网---所以∣x+1∣+∣x-1∣≤3,

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x∈[- , ].…………………………………………………………10 分

3 3 2 2

5.(本题满分 10 分) 解:解:(1)选取的 5 只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率
1 1 C2 ? C3 6 3 ………………………………………………3 分 P? ? ? 5 56 28 C8

(2)ξ 的取值为 100,80,60,40.…………………………………4 分

P(? ? 100) ?

1 1 C2 ? C3 3 ? 5 28 C8

2 1 3 2 C32 (C 2 ? C32 ? C 2 ? C32 ) ? C3 ? (C 2 ? C32 ) 31 P(? ? 80) ? ? 56 C85

P(? ? 60) ?

1 2 1 3 3 C3 (C 2 ? C32 ? C 2 ? C3 ) ? C32 ? C3 18 9 ? ? 5 56 28 C8

P(? ? 40) ?
ξ 的分布列为 ξ
P

2 3 C2 ? C3 1 ……………………………………………………8 分 ? 5 56 C8

100

80

60

40

3 28

31 56

9 28

1 56

……………………………………………………………………………………9 分 Eξ =

300 2480 540 40 ? ? ? ? 75 …………………………………………10 分 28 56 28 56

6.(本题满分 10 分) 解:(1)∵ S n?1 ? 4(an ? 2) ? 5 ,∴ S n?1 ? 4an ? 3 .

考单招上高职单招网---∴ S n ? 4an?1 ? 3 ( n ? 2 ). ∴ an?1 ? 4an ? 4an?1 ( n ? 2 ).

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∴ an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) ( n ? 2 ). ∴

bn a ? 2a n ? n?1 ? 2 ( n ? 2 ). bn ?1 a n ? 2a n ?1

∴ 数列 ?bn ? 为等比数列,其公比为 q ? 2 ,首项 b1 ? a2 ? 2a1 , 而 a1 ? a2 ? 4a1 ? 3 ,且 a1 ? 1 ,∴ a 2 ? 6 . ∴ b1 ? 6 ? 2 ? 4 .
n?1 n?1 ∴ bn ? 4 ? 2 ? 2 .…………………………………………………………4 分.

(2)∵

f ( x) ? b1 x ? b2 x 2 ? b3 x 3 ? ? ? bn x n ,

2 n ?1 ∴ f ?( x) ? b1x ? 2b2 x ? 3b3 x ? ? ? nbn x .

∴ f ?(1) ? b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? nbn .
2 3 4 n ?1 ∴ f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,① 3 4 5 n?2 ∴ 2 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 .



2 3 4 n ?1 n?2 ①-②得 - f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2 ,

?

4(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?2 1? 2

? ?4(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?2 ,
∴ f ?(1) ? 4 ? (n ? 1) ? 2 n?2 .…………………………………………………6 分.
2 ∴ f ?(1) ? ( 8n ? 4n )= 4(n ? 1) ? 2 n ? 4(2n 2 ? n ? 1) = 4(n ? 1) 2 n ? (2n ? 1) . 2 当 n ? 1 时, f ' (1) = 8n ? 4n ; 2 2 当 n ? 2 时, f ' (1) -( 8n ? 4n )=4(4-5)=-4 ? 0 , f ' (1) ? 8n ? 4n ;

?

?

当 n ? 3 时, 4(n ? 1) ? 0 ,

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n n 0 1 n?1 n 且 2 ? (1 ? 1) ? Cn ? Cn ? ?Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 ,
n ∴ n ? 3 时,总有 2 ? 2n ? 1 .…………………………………………………10 分. 2 ∴ n ? 3 时,总有 f ' (1) ? 8n ? 4n .


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