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1.2.1等差数列(一)课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)


§2

等差数列

2.1 等差数列(一)
【课标要求】 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认识并 能运用. 【核心扫描】 1.等差数列的概念.(难点) 2.等差数列的通项公式及运用.(重点)

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学导引
1.等差数列的定义 2 同一 如果一个数列从第__项起,每一项与前一项的差是_____ 个常数 _______,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数为等 d 公差 差数列的_____,通常用字母__表示.
2.等差中项 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫作a与b的_________. 等差中项

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3.等差数列的单调性 等差数列的公差____时,数列为递增数列; ____时,数 d>0 d<0 列为递减数列; _____时,数列为常数列. d=0 4.等差数列的通项公式 a1 a1+(n-1)d 常数 an=___________,当d=0时,an=__,an是关于n的_____ dn+(a1-d) 一次 函数;当d≠0时,an=__________,an是关于n的_____函 d 数,点(n,an)分布在一条以___为斜率的直线上,是这条 直线上的一群孤立的点.

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想一想:求等差数列的通项公式除课本的归纳法外,你还知 道哪些方法? 提示 除课本上用归纳法得到通项公式外,还有以下几种方 法推出等差数列的通项公式,这些方法是解决问题的一些重 要的常规方法,要注意体会并逐步应用. ①累加法 因为{an}为等差数列,则有 an-an-1=d, an-1-an-2=d, an-2-an-3=d, …

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a2-a1=d. 将以上各等式相加,得an-a1=(n-1)d. 所以,an=a1+(n-1)d. ②迭代法 ∵{an}是等差数列,则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2 +2d=an-3+d+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d,∴an= a1+(n-1)d.

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名师点睛
1.等差数列的定义的理解 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中 “与前一项的差”相吻合. (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且 后项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必须 相邻. (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等 于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列. 2. 对等差中项的几点理解 a+b (1)a, b 成等差数列?A-a=b-A?A= A, . 2
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(2)如果an-an-1=an+1-an(n≥2),则数列{an}为等差数列,反之 亦然.所以2an=an-1+an+1(n≥2)?数列{an}为等差数列.这种 判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”. (3)在等差数列中,除首末两项外,任何一项都是前后两项的等 差中项. 等差数列通项公式的应用 3. 在等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中有4个变量an,a1,n, d,在这4个变量中可以“知三求一”.其作用为: (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项; (2)已知等差数列的任意两项,就可以求出首项和公差从而可求 等差数列中的任一项; (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项,也可判断 某数是否为数列中的项及是第几项.
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题型一

等差数列的判定与证明

【例1】 判断下列数列是否为等差数列. (1)an=3n+2; (2)an=n2+n. [思路探索] 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣 定义,利用an+1-an=d(d为常数,n≥1)或an-an-1=d(d 为常数,n≥2). 解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+), 由n的任意性知,这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是一 个常数,所以这个数列不是等差数列.
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规律方法 判定数列为等差数列的方法: (1)作为解答题,使用定义法. (2)作为选择题或填空题,可以使用与概念等价的条件进行 判定,如本题由通项公式可直接判定该数列为等差数列. 判断一个数列是否是等差数列的方法有: ①an+1-an=d(常数)(n∈N+)?{an}是等差数列. ②2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}是等差数列. ③an=kn+b(k、b是常数,n∈N+)?是等差数列.

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【训练1】 (1)已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p、q为 常数,且p≠0,那么数列{an}是否为等差数列?如果是,求其 首项与公差. (2)从(1)的数列{an}中取出项数为5的倍数的各项按原序组成新 的数列{a5k},k∈N+,试判断该数列是否为等差数列. 解 (1)取数列{an}的任意相邻两项an和an-1(n≥2), 则an-an-1=pn+q-[p(n-1)+q]=pn+q-pn+p-q=p. ∵p是一个与n无关的常数,∴{an}是等差数列,且公差为p. 在通项公式an=pn+q中,令n=1,可得首项a1=p+q. 于是{an}的首项为p+q,公差为p. (2){a5k}的第n+1项和第n项分别为a5(n+1),a5n, ∴a5(n+1)-a5n=p(5n+5)+q-[p(5n)+q]=5p, ∵5p为常数,∴数列{a5k}(k∈N+)是等差数列.
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题型二

等差中项问题

【例2】 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+, p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求p,q的值. [思路探索] 由x1,x4,x5成等差数列得出一个关于p,q的 等式,结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q. 解 由x1=3,得2p+q=3,① 又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+8q,② 由①②得q=1,p=1. 规律方法 若三数a,b,c成等差数列,则a+c=2b,即b 为a,c的等差中项,这个结论在已知等差数列的题中经常 用到.
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【训练2】 已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的 值分别为________,________,________.
解析 因为 8, a,2, b, c 是 等差数列,所以 ?a=5, ? ∴?b=-1, ? ?c=-4.

?8+2=2a, ? ?a+b=2×2, ? ?2+c=2b.

答案

5

-1

-4

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题型三 等差数列的通项公式及应用
【例3】(本题满分12分)已知单调递增等差数列{an}的前三项之 和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式. 审题指导 在应用等差数列的通项公式时要注意方程思想 的应用,其最终结果一般写成n的一次函数形式;另外,等 差数列的变形为am=an+(m-n)d(m,n∈N+),应注意掌 握. 【解题流程】

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[规范解答] 法一

?a1+a2+a3=21, ? 由题意可得? ?a1a2a3=231, ?

(2 分)

?3a1+3d=21, ? 则? ?a1?a1+d??a1+2d?=231, ? ?a =3, ? 1 解得? ?d=4, ? ?a =11, ? 1 或? ?d=-4. ?

(4 分)

(8 分)

因为数列{an}为单调递增数列, 因此舍去 a1=11,d=-4.(10 分) 从而等差数列{an}的通项公式为 an=4n-1.(12 分)

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法二

由于数列为等差数列,

因此可设前三项为 a-d,a,a+d,(2 分)
?a-d+a+a+d=21, ? 则? ??a-d?a?a+d?= 231, ? ?3a=21, ? 即? 2 2 ?a?a -d ?= 231, ?

(6 分)

?a=7, ? 解得? 2 ?d =16, ?

(8 分)

由于数列为单调递增数列,因此 d=4.(10 分) 从而等差数列{an}的通项公式为 an=4n-1.(12 分)

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【题后反思】 (1)等差数列的设项法: ①一般来说,成等差数列的三个数,可设为a-d,a,a+d. ②成等差数列的四个数,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d. ③五个可设为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d. (2)法二恰到好处地设定等差数列的项,为我们的解题带来了 极大的方便,特别是大大降低了运算量.

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a 【训练3】 已知等差数列{an}的公差为正数,且a3·7=-12, a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式. 解 设公差为d,
??a1+2d?· 1+6d?=-12, ?a ? 由已知,得? ?a1+3d+a1+5d=-4. ?

∴a1=-10,d=2,∴an=-10+(n-1)· 2=2n-12, ∴数列{an}的通项公式为an=2n-12.

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误区警示

忽视了数列的定义而致错

【示例】 若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,求证:数列 {an}为等差数列. [错解] 因为an=10+lg 2n=10+nlg 2. 所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2, 所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,故数列{an}为等差数列. 以特殊代替一般,用验证几个特例作为证明是 不正确的,必须用定义或定义等价的命题来证明.

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[正解] 因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2.所以数 列{an}为等差数列. 情况 要说明一个数列为等差数列,不能只验证有 限个相邻项之差相等,必须说明从第2项起,所有的项与其 前一项之差为同一个常数,即an-an-1=d(n≥2,n∈N+)恒 成立.

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