当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三数学一轮复习 基础知识+小题全取+考点通关+课时检测7.2空间图形的基本关系与公理课件 新人教A版


[知识能否忆起] 一、空间图形的基本关系 1.点和直线的位置关系有两种: 点在直线上 和

点在直线外 .
2.点和平面的位置关系有两种: 点在平面内 和 点在平面外 .

3.空间两条直线的位置关系有三种:平行相交和 异面 . 4.空间直线和平面的位置关系有三种:直线在平 面内、直线和平面相交、 直线与平面平行.
<

br />5.空间两平面的位置关系有两种: 平行、相交 .

二、空间图形的公理及等角定理

文字语言 如果一条直线上的 公 两点 在一个平面内, 理 那么这条直线上所有 1 的点都在这个平面内 (即直线 在平面内 )
经过不在同一条直线上 公 的三点,有且只有 一 理 个平面(即可以确定一个 2 平面)

图形语言

符号语言
若A∈l,B∈l, A∈α,B∈α, 则 l? α 若A、B、C三点 不共线,则有且 只有一个平面α, 使A∈α,B∈α, C∈α

文字语言 如果两个不重合的平 面有一个公共点 , 公理 有且只有 那么它们 3 一条通过这个点的公 共直线 公理 平行于同一条直线的 4 两条直线 平行 空间中,如果两个角 等角 的两条边 分别对应 定理 平行 ,那么这两个 角相等或互补

图形语言

符号语言 若A∈α,A∈β,则

α∩β=l,且A∈l

若a∥b,b∥c,则a∥c

若AO∥A′O′, BO∥ B′O′ ,则 ∠AOB=∠A′O′B′, ∠AOC=π- ∠A′O′B′

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)已知a,b是异面直线,直线c平行于直 线a,那么c与b A.异面 B.相交 ( )

C.不可能平行

D.不可能相交

解析:由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交 直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b.与a,b 是异面直线相矛盾. 答案:C

2.(2012· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面;

(

)

②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 C.2 B.1 D.3

解析:①④错误,②③正确.
答案:C

3.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC= ∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 A.AB∥CD B.AB与CD异面 C.AB与CD相交 ( )

D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析:若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三 角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若

不共面,则直线AB与CD是异面直线.
答案:D

4.已知平面α∩平面β=l,直线m?α,直线n?β,
m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为 ________. 解析:P是两个平面的公共点,故P应在平面α与β的交 线上,即P∈l. 答案:P∈l

5.下列命题中不正确的是________.(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两 条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两 条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可 能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它 们可以确定两个平面.

解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题②
错,因为两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线a和 b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可 能平行;命题④也正确,若c与两异面直线a,b都相交,由

公理3可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,
这样a,b,c共确定两个平面. 答案:①②

三个公理的作用 (1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;

③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.
(2)公理2的作用:确定平面的依据,它提供了把空间 问题转化为平面问题的条件. (3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两相交平 面的交线;③证明多点共线.

空间图形的公理及简单应用

[例1] (2012· 台州模拟)以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、 B、C、D、E共面; ③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 ( )

A.0

B.1

C.2
[自主解答]

D.3
①假设其中有三点共线,则该直线和

直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾, 故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两 平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则 结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四 边形的四条边可以不在一个平面内,如空间四边形.

[答案]

B

判断所给元素(点或直线)是否共面,关键是分析所给

元素是否具有确定唯一平面的条件,如不具备,则不在同
一个平面内,即不共面.

1.(1)(2012· 南通月考)在空间中,给出下列命题: ①若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点;

②若空间四个点中任意三点不共线,则这四个点不共面;
③两个不平行平面的交线只有一条. ④任意两条直线不能确定一个平面.

其中不正确的命题是________.(填写所有不正确的命题
的序号)

(2)(2012· 沈阳模拟)如图是正方体或四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是

(

)

解析:(1)由公理3得,若两个平面有一个公共点,则它们 相交于过这一点的一条直线,因此,有无数个公共点,① 正确;②不正确,如平行四边形的四个顶点中任意三点不

共线,但四点共面;③满足公理3,因此正确;如果两条
直线平行或相交,则可以确定一个平面,因此④是错误 的. (2)选项A、B、C图中四点一定共面,D中四点不共面. 答案:(1)②④ (2)D

异面直线的判定 [例2] (2012· 金华模拟)在图中,G,N,M,H分

别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH, MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案

的序号)

[自主解答]

图①中,直线GH∥MN;

图②中,G,H,N三点共面,但M?面GHN,
因此直线GH与MN异面; 图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 图④中,G,M,N共面,但H?面GMN, 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面.

[答案] ②④

1.异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直
线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件 出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两 条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. 2.客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平

面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.

2.已知m,n,l为不同的直线,α,β为不同的平面,有 下面四个命题: ①m,n为异面直线,过空间任一点P,一定能作一条

直线l与m,n都相交.
②m,n为异面直线,过空间任一点P,一定存在一个 与直线m,n都平行的平面. ③α⊥β,α∩β=l,m?α,n?β,m,n与l都斜交,则 m与n一定不垂直;

④m,n是α内两相交直线,则α与β相交的充要条件是m, n至少有一条与β相交.

则四个结论中正确的个数为
A.1 B.2

(

)

C.3 D.4 解析:①错误,因为过直线m存在一个与直线n平行的平 面,当点P在这个平面内且不在直线m上时,就不满足结 论;②错误,因为过直线m存在一个与直线n平行的平面, 当点P在这个平面内时, 就不满足结论;③正确,否则,

若m⊥n,在直线m上取一点作直线a⊥l,由α⊥β,得a⊥n.
从而有n⊥α,则n⊥l;④正确. 答案:B

共点、共线、共面问题的证明

[例 3]

(2012· 湘潭模拟)如图所示, 在正

方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 AB 的中点, F 为 A1A 的中点, 求证:CE,D1F,DA 三线共点.

[自主解答] 1 ∵EF綊 CD1, 2 ∴直线D1F和CE必相交. 设D1F∩CE=P, ∵P∈D1F且D1F? 平面AA1D1D, ∴P∈平面AA1D1D.

又P∈EC且CE? 平面ABCD, ∴P∈平面ABCD, 即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点. 而平面ABCD∩平面AA1D1D=AD. ∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA三线共点.

本例条件不变试证明E,C,D1,F四点共面.
证明:∵E,F分别是AB和AA1的中点, 1 ∴EF綊 A1B.又A1D1綊B1C1綊BC. 2 ∴四边形A1D1CB为平行四边形. ∴A1B∥CD1,从而EF∥CD1. ∴EF与CD1确定一个平面. ∴E,C,F,D1四点共面.

1.证明三点共线的方法有两种:一是这三点都是某两

个平面的公共点,于是这三点都在这两个平面的交线上;
二是选择其中两点确定一条直线,证明第三点也在这条直 线上. 2.证明三线共点的方法:先证明两条直线交于一点, 再证这一点也在第三条直线上.

3.证明一点在一条直线上通常是证明点是两个平面的
公共点,线是两个平面的交线,从而公共点在交线上.

3.如图,已知E、F分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和棱 CC1的中点.试证明E,B,F, D1四点共面.
证明:如图取BB1的中点M,连接A1M、MF. ∵M、F分别是BB1、CC1的中点, ∴MF綊B1C1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有A1D1綊B1C1,∴MF綊 A1D1,∴四边形A1MFD1是平行四边形,∴A1M綊D1F.又 E、M分别是AA1、BB1的中点,∴A1E綊BM, ∴四边形A1EBM为平行四边形, ∴EB綊A1M.故EB∥D1F. ∴E,B,F,D1四点共面.

[典例]

(2012· 浙江高考)设l是直线,α,β是两个不同的

平面
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β

(

)

C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

[常规解法]

设α∩β=a,若直线l∥a,且l?α,l?β,

则l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A错误;由于

l∥α,故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β,故
α⊥β,所以B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则 l⊥α,此时l在平面β内,因此C错误;已知α⊥β,若 α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因 此D错误.

[答案] B

(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观 模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减

少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.
(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定, 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.

[巧思妙解]

借助于长方体模型解决本题:

对于A,如图①,α与β可相交; 对于B,如图②,不论β在何位置,都有α⊥β; 对于C,如图③,l可与β平行或l?β内;

对于D,如图④,l⊥β或l?β或l∥β.

?针对训练

(2012· 大连二模)平面α外有两条直线m和n,如果m 和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列

四个命题:①m1⊥n1?m⊥n;②m⊥n?m1⊥n1;③m1
与n1相交?m与n相交或重合;④m1与n1平行?m与n平 行或重合. 其中不正确的命题个数是 . A.1 ( B.2 )

C.3

D.4

解析:如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面上

的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.
A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1, 故①不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1 ∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m与n还可以 异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可

以异面,④不正确.
答案:D

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2013· 黑龙江部分重点中学质检)已知平面 α⊥平面β,点A∈α,则过点A且垂直于平面β

的直线

(

)

A.只有一条,不一定在平面α内 B.有无数条,不一定在平面α内 C.只有一条,一定在平面α内 D.有无数条,一定在平面α内
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(四十三)”

解析:假设有无数条,过点A作平面α与β的交线的垂线 l,l1,则直线l,l1均垂直于平面β,所以l∥l1(垂直于同一 平面的两条直线相互平行).又直线l,l1有公共点A,因 此它们应重合,即过点A且垂直于平面β的直线只有一 条,必在平面α内.

答案:C

2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1 中,A1C与截面DBC1交于O点,AC, BD交于M点,求证:C1,O,M三点 共线. 证明:∵C1∈平面A1ACC1,
且C1∈平面DBC1. ∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点. 又∵M∈AC,∴M∈平面A1ACC1. ∵M∈BD,∴M∈平面DBC1,

∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点, ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线. ∵O为A1C与截面DBC1的交点, ∴O∈平面A1ACC1,O∈平面DBC1, 即O也是两平面的公共点, ∴O∈直线C1M,即C1,O,M三点共线.


相关文章:
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):7.2空间图形的基本关系与公理
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):7.2空间图形的基本关系与公理 隐藏>> 课时跟踪检测(四十三) 空间图形的基本关系与公理...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):7.3平 行 关 系
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):7....的图形的序号是___.(写出所有符合要 求的图形序号) 9.已知 m,n 是两条不...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9.5古 典 概 型
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9....选 A 把红球标记为红 1、红 2,白球标记为白 1、白 2,本试验的基本事件...
2014届高三数学一轮复习(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
2014届高三数学一轮复习(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(五十八) 分类加法...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):1.2命题、充分条件与必要条件
2014届高三数学:空间图形... 2014届高三数学一轮复习专...1/2 相关文档推荐...2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):1....
2014届高三数学(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):4.3平面向量的数量积与平面向量的应用举例
2014届高三数学(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):4.3平面向量的数量积与...=3, AB ·=1,则 BC=( A. 3 B. 7 ? ??? ??? ? ) C.2 2 D....
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.11变化率与导数、导数的计算
7下载券 2014届高三数学一轮复习... 51页 2下载券 2014届高三数学一轮复习....幻灯片 1 [知识能否忆起] 一、导数的基本概念 1.平均变化率: f?x2?-f?...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.8对数与对数函数
7页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议...2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.8...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):3.7正弦定理与余弦定理
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):3.7正弦定理与余弦定理 隐藏>> 课时跟踪检测(二十四) 正弦定理与余弦定理 1.在△ABC...
2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)空间向量与空间角
2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)空间向量与空间角...[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α ...
更多相关标签:

相关文章