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安徽省合肥八中2015届高三最后一卷数学文试题


合肥八中 2015 年高考模拟最后一卷

数学(文)试题
考试说明:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),试题分值:150 分,考试时间:120 分钟. 2.所有答案均要答在答题卷上,否则无效。考试结束后只交答题卷.

第Ⅰ卷

选择题 (共 50 分)

一、 选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项 符合题意。请把正确答案填在答题卷的答题栏内.) b ? 2i (b ? 1)i 是实数,则复数 z ? 1. i 是虚数单位, b ? R , 2 ? 在复平面内表示的点位于 b ? 2i
( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2 2. 集合 A ? x y ? lg(1 ? x) ,B ? a 关于 x 的方程 x ? 2 x ? a ? 0 有实数解}, 则A? B ?

?

?

?

( A. ?



) B. (??,1

C. ?0,1?

D. ?0,1? )

3.?,?,? 为平面,l 是直线,已知 ? ? ? ? l ,则“ ? ? ? , ? ? ? ”是“ l ? ? ”的( 条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知 x ? 3
0.5

B.必要不充分条件 D.既不充分不必要条件

7 1 , z ? log 2 ,则( ) 4 3 A. x ? y ? z B. z ? y ? x C. z ? x ? y 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( 1 1 A. 2 B. ?3 C. D. ? 3 2
, y ? log 2 6.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的体积为(

D. y ? z ? x )



A. ?

B. 4?

C.

4? 3
n

D.

2? 3
*

7.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 2 ? (?1) ? a , n ? N ,则实数 a 的值是(

)

A. ? 3

B. ? 2

C. ?1

D.0

8.O 为坐标原点,直线 l :

3x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点,点 A 在第一


象限, F 为抛物线的焦点,则 ?AOF 与 ?BOF 的面积之比为( A.

3 2

B.

1 3

C.2

D. 3

9.抛掷一颗骰子得到的点数记为 m ,对于函数 f ( x) ? sin ?x ,则“ y ? f ( x) 在 ?0, m?上至少 有 5 个零点”的概率是( ) C.

5 A. 6

1 B. 2

1 3

D.

2 3

10.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量 OA ? a , OB ? b ,其中 a ? (1,2),b ? (2,1) , 平面区域 D 由所有满足 OP ? ? a ? ?b , ( 0 ? ? ? ? ? 1 )的点 P( x, y ) 组成,点 P 使得

z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取得最大值 3,则
A. 3 ? 2 2 B.4 2 C.2

1 2 ? 的最小值是( a b
D. 3



第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题 (本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请把正确答案写在答题卷上。 )
11.命题“ ?x0 ? R ,使 x02 ?1 ? 0 ”的否定为 .

12 . 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 周 期 为 4 , 若 f ( x ? 1)为 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 则

f (7) + f (9) =______.
AB ? 3 , AC ? 2 , BC ? 4 , i s 13. 如图, 在△ABC 中, 点 D 在边 BC 上, , 则n ?BAD ? 30°

?C A D
A

的值为



B

D (第 13 题)

C

14.若函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 2a与g ? x ? ? x ?1 ? x ? a 有相同的最小值,则 a ? _______.
2
2 15.设有一组圆 Ck : ( x ? k ) 2 ? ( y ? k) ,下列命题正确的是__________(写 ? 4,(k ? R)

出所有正确结论编号) . ①不论 k 如何变化,圆心 C k 始终在一条定直线上 ②所有圆 C k 均不经过点(3,0)

③存在一条定直线始终与圆 C k 相切 ④当 k ? 0 时,若圆 C k 上至少有一点到直线 x ? y ? m ? 0 的距离为 1,则 m 的取值范围为

(3 2 ,??)
⑤若 k ? ?

? 2 3 2? ? ? 2 , 2 ? ,若圆 C k 上总存在两点到原点的距离为 1. ? ?

三、解答题(本题 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.把解题过程和步骤写在答题卷上.)
16. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行射击比赛,各射击 5 次,成绩(环数)如下表: 第1次 环数 甲 乙 4 5 5 6 7 7 9 8 10 9 第2次 第3次 第4次 第5次

(1)分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差,并由此分析两人的射击水平; (2)若分别对甲、乙两人各取一次成绩,求两人成绩之差不超过 2 环的概率.

17. (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? 2a ? 4b ? 5 ? 0
2 2

(1)若 C ?

?
3

,求 c 的值;

(2)若 sin A ? sin B ?

3 ,求 sin C 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x (a ? R) x2

(1)若 f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x ) 在 (0,1] 上的最大值.

19. (本小题满分 13 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? 侧面BB1C1C , AB ? BC ? 1 , BB1 ? 2 ,

3 (1)求证: C1B ? 平面ABC ;
(2)点 B1 到平面 ACC1 A1 的距离为 d1 ,点 A 1 到平面 ABC1 距离为 d2 ,求

?BCC1 ?

?

.

d1 . d2

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 an an?1 ? 2n , a1 ? 1 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, bn ?

1 b b S 2 n ,求所有的正整数 m ,使 m ?1 m ? 2 为整数. 3 bm

21. (本小题满分 13 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

1 ,且过点 2

3 (1, ) . 2
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭 圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标. y M P

A
O

B
x
l

m
答案 1.C 解析:由题意 b ? 1 , z ? 2.B

1 ? 2i 3 4 ? ? ? i ,对应的点位于第三象限,应选 C。 1 ? 2i 5 5

) 解析: 1 - x ? 0 ,得 x ? 1 ; ? ? 4 ? 4a ? 0, a ? 1 ,? A ? B ? (??,1 ,选 B.
3.C 解析:由 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,可推出 l ? ? ,反过来, 若 l ? ? , ? ? ? ? l ,根据面面垂直的判定定理,可知 ? ? ? , ? ? ? , 应选 C. 4.B 解析: x ? 5.D

3 3 ,0 ? y ? , z ? 0 ,应选 B。 2 2 1 1 2 3

- , ,2, - 3, ? ? ? ,周期为 4,则第 2010 项为 ? 解析:由题意知,S 值的变化规律为 - 3,
D. 6.C

1 ,选 2

解析:由三视图可知该几何体是三棱锥,且三棱锥的高为 1,底面为一个直角三角形,由于底 面斜边上的中线长为 1,则底面的外接圆半径为 1,顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆 心上,由于顶点到底面的距离,与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 R 为 1,则三

棱锥的外接球体积 V ? 7.B

4 4 ? ? 13 ? ? ,选 C. 3 3

解析:根据等比数列前 n 项和公式表达式的特点知, a 与 2 为一对相反数,选 B. 8.D 解析:由题意直线经过抛物线的焦点且倾斜角为 60 , ?AOF 与 ?BOF 的面积之比等于
?

p AF 1 ? cos? 1 ? cos60? ? ? ? 3 ,选 D. p BF 1 ? cos60 ? 1 ? cos?
9.B 解析:由题意 f ( x) ? sin ?x 的周期为 2, ?0, m?长度要不小于 2 个周期,所以 m ? 4 ,概率为

3 1 ? ,选 B. 6 2
10.A 解析:由满足的关系式得,P 点位于以 OA, OB 为邻边的平行四边形的一半区域内,可得当

P(3,3) 时

z

取 得 最 大 值 ,

3a ? 3b ? 6

, 由 基 本 不 等 式 得

b 2a 1 2 1 2 ? = ( ? )( a ? b) ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 b ? 2a 时“=”成立,选 A. a b a b a b
2 11. ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0

12.1 解析:由 f ( x - 1) 为奇函数,知 f (?1) ? 0 , f (7) + f (9) =

f (8 ? 1) + f (8 ? 1) = f (?1) + f (1) =1.
13.

A

3 5 ?1 8


B
(第 13 题)

C

1 解 析 : 由 余 弦 定 理 知 cos ?BAC ? ? , 4

sin ?BAC ?
14.2

15 15 3 1 1 3 5 ?1 , sin ?CAD = sin(?BAC ? ?BAD) ? ? ? (? ) ? ? . 4 4 2 4 2 8

解析: f ( x) 的最小值为 2a ? 1 ,由题意知 g ( x) 在 x ? 1 或 x ? - a 取得最小值,且 2a ? 1 ? 0 将 x ? 1 或 x ? - a 代入 g ( x) 求得 a ? 2.

15. ①②③⑤
2 解 析 : 圆 心 在 直 线 y ? x 上 , ① 正 确 ; 若 (3 ? k ) 2 ? (0 ? k) 化 简 得 ? 4,

2k 2 ? 6k ? 5 ? 0, ? ? 36 ? 40 ? ?4 ? 0 ,无解,②正确;对于③,存在定直线 y ? x ? 2 2
始终与圆 C k 相切,③正确; k ? 0 时,圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,若圆 C k 上至少有一点到直 线 x ? y ? m ? 0 的距离为 1,则圆心到该直线的距离 d ?

m 2

? 2 ? 1 , m ? ? 3 2,3 2 ,

?

?

④错; 对于⑤, 若圆 C k 上总存在两点到原点的距离为 1, 问题转化为圆 x 2 ? y 2 ? 1 与圆 C k 有 2 个交点,

? 3 2 2? ? 2 3 2? ?? ? ? ? 2 ,- 2 ? ? ? 2 , 2 ? ,⑤正确;所以正确的序号是①②③⑤。 ? ? ? ?

16.解: (1)依题中的数据可得:

1 1 (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7, x乙 ? (6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7, …………2 分 5 5 1 26 2 s甲 ? [( 4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 5 5 1 2 s乙 ? [( 5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 …………4 分 5 x甲 ?
2 2 ? x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,

∴两人的总体水平相同,甲的稳定性比乙差…………6 分 (2)设事件 A 表示:两人成绩之差不超过 2 环, 对甲、乙两人各取一次成绩包含的基本事件为 (4,5) , (4,6) , (4,7) , (4,8) , (4,9) (5,5) , (5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) (7,5) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 25 种 事件 A 包含的基本事件为: (4,5) (4,6) (5,5) , (5,6) , (5,7) (7,5) (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,7) , (9,8) , (9,9) (10,8) , (10,9)共 15 种

? P ( A) ?
2

15 3 ? . …………12 分 25 5
2 2 2

17. (1) 由 a ? b ? 2a ? 4b ? 5 ? (a ?1) ? (b ? 2) ? 0 得 a ? 1, b ? 2

c ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 3 ………………………………………5 分

(2)



a b ? sin A sin B



sin B ? 2sin A







sin A ? sin B ?

3 2



sin A ?

3 3 ,sin B ? 6 3 33 6

因为 a ? b ,所以 A ? B ,所以 A 为锐角, cos A ?

若 B 为锐角, 则 cos B ? 若

6 11 ? 2 , sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? sin B cos A ? 3 6
为 钝 角 , 则

B

c

B??

6 11 ? 2 …12 分 o, sin C ? sin( sA ? B) ? sin A cos B ? sin B cos A ? 3 6
1 2x 2 ? 1 ? ? 0得 x x

18.(1)

2 f ( x) ? 1 即 a ? x 2 ? ln x , 令 g ( x) ? x ? l n x, 则 g ?( x) ? 2 x?

x?

2 2 2 , g ( x) 在 (0, ) 上为减函数,在 ( , ??) 为增函数,所以 g ( x) 最小值为 2 2 2 2 1 2 1 2 ) ? ? ln ,所以 a ? ? ln 2 2 2 2 2
………………6 分

g(

1? 2 a 1? 2 a 2 ln x ? (1 ? 2a) 2 ?0 得 x?e (2) f ?( x) ? ? , 所 以 f ( x ) 在 (0, e 2 ) 上 为 增 函 数 , 在 x3

(e

1? 2 a 2

, ??) 为减函数
1? 2 a 1 ,则 e 2 ? 1 , f ( x ) 在 (0,1] 上为增函数,所以 f ( x)max ? f (1) ? a 2 1? 2 a 1? 2 a 1? 2 a 1 , 则 e 2 ? 1 , f ( x ) 在 (0, e 2 ) 上 为 增 函 数 , 在 (e 2 ,1] 为 减 函 数 , 所 以 2

若a ?

若a?

f ( x)max ? f (e

1? 2 a 2

)?

1 2e1?2 a

………………12 分 ………………2

19. 解: ( 1)因为侧面 AB ? BB1C1C , BC1 ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC 1, 分 在 △BCC1 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

由余弦定理得:

BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2 BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos
所以 BC1 = 3 故 BC 2 ? BC12 ? CC12 ,所以 BC ? BC1 , 而 BC ? AB ? B,? BC1 ? 平面ABC (2)点 B1 转化为点 B , VC1 ? ABC ?

?
3

?3


………………4 分 ………………6 分

3 6

S?ACC1 ?

7 2

又 VC1 ? ABC ? VB1 ? ACC1 所以点 B1 到平面 ACC1 A1 的距离为 d1 ?

21 7

………………10 分

点 A 1 到 平 面 ABC1 距 离 为 即 B 1 到 平 面 ABC1 距 离 , 易 证 B1C1 ? 平 面 ABC1 , 所 以

d2 ? B1 C1? 1
所以

d1 21 ? d2 7
an ? 2 ?2 an

………………13 分

20. (1)由 an an?1 ? 2n , an?1an?2 ? 2n?1 得
n ?1 ?1 2 n ?1 2

n 为奇数时, an ? a1 ? 2

?2

, n 为偶数时, an ? a2 ? 2 2

n

?1

?2

n 2

?1 ? n2 ?2 , n为奇数 所以 an ? ? n ………………6 分 ?2 2,n为偶数 ?

bm?1bm?2 (2 1 ? 2n 2(1 ? 2n ) n (2) S2 n = ? ? ? 3(2n ? 1) , bn ? 2 ?1 ,所以 1? 2 1? 2 bm
令 2 ? 1 ? t ,则 2 ? t ? 1 ,
m m

m?1

? 1)(2m?2 ? 1) 2m ? 1

bm?1bm? 2 (2t ? 1)(4t ? 3) 3 3 ? ? 8t ? 10 ? ? 8 ? 2m ? 2 ? m bm t t 2 ?1
………………13 分

为整数,则只有 2 ? 1 ? 1或 3 ,即 m ? 1 或 2
m

21.⑴由离心率为

1 3 x2 y2 可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,将 (1, ) 代入得 c ? 1 4c 3c 2 2

所以椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………………4 分 4 3

⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 , 所以, k1k2 ? , ? x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.…8 分 2 2( x1 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) , y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
………………………………………………………13 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .


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