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高二数学-常州市武进区2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


2015-2016 学年第一学期期中教学情况调研 高二年级数学试卷
命题学校:江苏省横林高级中学 命题人:李凯 审核人:周红娣 2015 年 11 月
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接写 在相应的位置上)
2 1.命题“ ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是____________.

2.“ x ? 1 ”是“ x ? x ”的____________ (填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既 不充分也不必要”) 条件.
2

3.已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x, 则 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ____________.

4.顶点在原点且以双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左准线为准线的抛物线方程是___________. 3

5.若命题” ?x ? R, 使 x2 ? (2a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围为_________.

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点坐标为 (? 3,0) ,则其渐近线方程为___________. a 2 x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的离心率为 3 ,则 m ? ____________. 4 m

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离是 2, N 是 MF1 的中点,则 ON =_________. 8.椭圆 25 9
9.已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x) ? x ln x 在 [1, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围为______. 10.已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, P 与两焦点的连线互相垂直,且 P 到两焦 a 2 b2
__. ___.

点的距离分别为 2 5, 4 5 ,则椭圆的方程为_________ 11.函数 f ( x) ?

1 2 x ? x ln x ? 2 x 的单调递减区间为________ 2

12.定义在 R 上的函数

f ( x) 满足: f (2) ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 f '( x) ?

1 ,则 10

不等式

f ( x2 ) ?

x2 ? 8 的解集为_____ 10
2

______.

13. 在 函 数 f ( x)? a l n x ? (x ? 1) x (? 的 0图 ) 象 上 任 取 两 个 不 同 的 点 P( x1 , y1 ) 、

1

Q( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) ,总能使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,则实数 a 的取值范围为_____.
14.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上恰好有 6 个不同的点 a 2 b2
_____.

P ,使得 ?F1F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是______

二、 解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)已知 p : x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 ; q :1 ? m2 ? x ? 1 ? m2 . (1)若 p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分)已知椭圆的中心在原点,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M ,且 MQ =2 QF ,求直线 l 的 斜率.

1 ,一个焦点是 F (?1, 0) . 2

???? ?

??? ?

x2 y 2 17. (本小题满分 14 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,设右焦点为 F 1 ,离心率为 e . a b
(1)若椭圆过点 ( 2, 3) , e ?

2 ,求椭圆的标准方程; 2

(2) 若 椭 圆 的 焦 距 为 4, 设 A、B 为 椭 圆 上 关 于 原 点 对 称 的 两 点 , 且 A、B 在 圆

O : x2 ? y 2 ? 4 上,设直线 AB 的斜率为 k ,若 k ? 3, 求 e 的取值范围.
18. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 的图像过点 (0, ?16) ,且在 x ? 1 处的切 线方程是 y ? 4 x ? 18 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若直线为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标;
3 2 (3)若函数 g ( x) ? x ? x ? ln x ,记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , 求函数 y ? F ( x) 在区间 [ , 3] 上

1 2

的最大值和最小值. 19. (本小题满分 16 分)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F1 (?2,0) ,右准线方程 a 2 b2

x ? 8.
(1)求椭圆的标准方程;

2

(2)若 M 为右准线上的一点, A 为椭圆 C 的左顶点,连接 AM 交椭圆于点 P ,求 值范围;

PM 的取 AP

(3)若点 A, B 分别是椭圆 E 的左、 右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 Q 是椭圆上异于

A, B 的任意一点,直线 AQ 交 l 于点 M .设直线 OM 的斜率为 k1 , 直线 BQ 的斜率为 k2 ,求
证: k1k2 为定值. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1). ln x (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (2)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (3)若 ?x ?[e,e2 ] ,使 f ( x ) ≤ 1 成立,求实数 a 的取值范围. 4

3

2015-2016 学年第一学期期中教学情况调研 高二年级数学答案
命题学校:江苏省横林高级中学
一、填空题(共 70 分) 1. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 6. y ? ? 2x 11. (0,1) 2.充分不必要 3. 2 ln x ? x 4. y 2 ? 6 x 5. [?

命题人:李凯

审核人:周红娣 2015 年 11 月
1 3 , ] 2 2

7. 8 12. (? 2, 2)

8. 4

1 9. a ? 2e
13. [ , ??)

x2 y 2 ? ?1 10. 45 20
14. ( , ) ? ( ,1)

1 2

1 1 3 2

1 2

二、解答题(共 90 分) 15. 解析: 由 x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 得 ?2 ? x ? 10 , 即p: 又 q :1 ? m2 ? x ? 1 ? m2 . ?2 ? x ? 10 , (1)若 p 是 q 的必要条件, 则?
2 ? ?1 ? m ? ?2 , ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 3 分 2 1 ? m ? 10 ? ?

即?

?m 2 ? 3 ? ,即 m 2 ? 3 ,解得 ? 3 ? m ? 3 , ??????? ??????? ??????? ??????? 5 分 2 ? ?m ? 9

即 m 的取值范围是 ? ? 3, 3 ? . ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 6 分

?

?

(2)∵ ?p 是 ?q 的必要不充分条件, ∴ q 是 p 的必要不充分条件. ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 8 分 即?
2 ? ?1 ? m ? ?2 , ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 11 分 2 1 ? m ? 10 ? ?

即 m 2 ? 9 ,解得 m ? 3 或 m ? ?3 即 m 的取值范围是 ( ??, ?3] ? [3, ??) . ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 14 分 16. 解析:(1)由题意: c ? 1,

c 1 ? ? a ? 2, b ? 3 a 2

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 6 分 4 3

(2)设 Q( x0 , y0 ) , F (?1, 0)

l : y ? k ( x ? 1) M (0, k ) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 8 分
因为 MQ =2 QF

???? ?

??? ?
4

( x0 , y0 ? k ) ? 2(?1 ? x0 , ? y0 ) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 10 分
2 ? x0 ? ? ? 2 k ? 3 得? ,所以 Q ( ? , ) 代入椭圆方程 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 12 分 3 3 ?y ? k 0 ? 3 ?

4 k2 9 ? 9 ? 1 ? k 2 ? 24 ? k ? ?2 6 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 14 分 4 3
17. 解析:(1)因为 e ?

c 2 1 ? ? a 2 2

设 c ? k , a ? 2k (k ? 0),则b ? k

椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 3 分 2k 2 k 2
2 3 ? 2 ? 1 ? k ? 2 ??????? ??????? 5 分 2 2k k

因为椭圆过点 ( 2, 3) ,代入椭圆方程,得:

所以,椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 6 分 8 4

(2)设直线 AB 的方程为: y ? kx

? y ? kx ? 2 y2 ?x ? ?1 ? 2 2 a b ? 2 2 ? ?x ? y ? 4

? x2 k 2 x2 ? 2 ? 2 ?1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 8 分 b ?a 2 2 2 ?x ? k x ? 4 ? ? 1 k2 2 1 k2 1 4 4 ?( 2 ? 2 ) x ? 1 ?? a b ? 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) ? ( 2 ? 1)k 2 ? 1 ? 2 ??????? 10 分 a b 4 b a ?(1 ? k 2 ) x 2 ? 4 ?
若b ? 2, c ? 2, 则a2 ? 8 ,不合题意,所以
1?
4 ?1 ? 0 b2

4 2 a 2 ? 3 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 11 分 所以 k ? 4 ?1 b2
5

又c ? 2,

4 4 4 ? e 2 , b2 ? a 2 ? 4 ? ?4? 2 ?4 2 4 a e 2 a

所以 k 2 ?

1 ? e2 1 ? e2 (1 ? e2 )2 e4 ? 2e2 ? 1 ? 2 ? ? ? 3 ??????? ??????? 12 分 2 2 4 e 2 e ? 1 2 e ? 1 ?1 ?1 4 1 ? e2 ? 4 e2

e4 ? 8e2 ? 4 1 ? 0 ? e2 ? ( , 4 ? 2 3] ? [4 ? 2 3, ??) ??????? ??????? 13 分 所以 2 2e ? 1 2
又 e ? (0,1)

所以 e ? ( , 4 ? 2 3] ? e ? (
2

1 2

2 , 3 ? 1] ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 14 分 2

18. 解析:(1)由题意: c ? ?16 , ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 1 分 因为 f ?( x) ? 3ax 2 ? b ,切线过 (1, ?14) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 2 分 所以 ?

? f (1) ? ?14 ?a ? b ? 16 ? ?14 ?a ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 4 分 ?? ?? ? f ?(1) ? 4 ?3a ? b ? 4 ?b ? 1

所以 f ( x) ? x3 ? x ? 16 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 5 分 (2)设切点 ( x0 , x03 ? x0 ?16) f ?( x) ? 3x2 ? 1 , k切 ? 3x02 ?1 则切线方程: y ? x03 ? x0 ?16 ? (3x02 ?1)( x ? x0 ) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 7 分 因为切线过原点,所以 ?x03 ? x0 ? 16 ? ?3x03 ? x0 ? x0 ? ?2 ??????? ??????? ??????? 8 分 切点坐标为 (?2, ?26) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 9 分 所以:切线方程为 y ? 26 ? 13( x ? 2) ? y ? 13x ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 10 分
1 (3) F ( x) ? x3 ? x ? 16 ? x3 ? x 2 ? ln x ? ? x 2 ? x ? ln x ? 16, x ? [ ,3] 2

F ?( x) ? ?2 x ? 1 ?

1 2 x2 ? x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ?? ?? ? 0 ??????? ??????? ??????? 11 分 x x x

解得: x ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 12 分
1 所以: F ( x) 在 [ ,1]上为增函数, 在 [1,3]上为减函数 2

6

则F ( x)极大值 ? F (1) ? ?16 1 1 1 1 1 1 1 F ( ) ? ? ? ? ln ? 16 ? ? ln 2 ? 16 ? ? ln e ? 16 ? ? ? 16 2 4 2 2 4 4 4
F (3) ? ?9 ? 3 ? ln 3 ? 16 ? ?6 ? ln 3 ? 16 ? ?6 ? 2 ? 16 ? ?20 ??????? ??????? ??????? 14 分
1 则 F ( ) ? F (3) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 15 分 2

所以 F ( x)max ? F (1) ? 0

F ( x)min ? F (3) ? ?22 ? ln3 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 16 分
19. 解析:(1)由题意: c ? 2,
所以:椭圆方程为 (2)由题意:

a2 ? 8 ? a 2 ? 16, b 2 ? 12 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 2 分 c

x2 y 2 ? ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 4 分 16 12

A(?4, 0) , P( x0 , y0 )

?4 ? x0 ? 4 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 5 分


PM | 8 ? x0 | 8 ? x0 12 ? ? ? ? 1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 7 分 AP | x0 ? 4 | x0 ? 4 x0 ? 4 12 12 3 PM 1 ? ? ? ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 9 分 x0 ? 4 8 2 AP 2
x0 2 y0 2 ? ?1 16 12

? 0 ? x0 ? 4 ? 8 ?

(3)设 Q( x0 , y0 ) ,则

则 AQ 方程为: y0 x ? (4 ? x0 ) y ? 4 y0 ? 0 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 10 分 令 x ? 4 得: y ? 则 M (4,
k1 ? 8 y0 x0 ? 4

8 y0 ) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 12 分 x0 ? 4

2 y0 x0 ? 4

7

k2 ?

y0 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 13 分 x0 ? 4

3 3 2(12 ? x0 2 ) ?2 ? ( x0 2 ? 16) 2 y0 2 3 4 4 ? ? ? ? ??????? ??????? ??????? 16 分 则 k1k2 ? 2 2 2 x0 ? 16 x0 ? 16 x0 ? 16 2

20.解析:(1) 当 a ? 0 时, f ( x) ?
f ?( x) ?

x ln x

ln x ? 1 ? 0 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 1 分 ln 2 x

x?e
则 f ( x ) 在 (0, e) 为减函数,在 (e, ??) 为增函数, ??????? ??????? ??????? 3 分 所以 f ( x)极小值 ? f (e) ? e ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 4 分 (2) ? 函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数

? f ?( x) ?
??a ? ?a ?

ln x ? 1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立 ??????? ??????? ??????? ??????? 5 分 ln 2 x

1 1 ? ,令 ln x ? t (t ? 0) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 6 分 2 ln x ln x

1 1 1 1 1 ? ,令 g (t ) ? ( ? ) 2 ? 2 t t t 2 4

则 ?a ? g (t )min ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 7 分

1 1 ?? a ? ? ,则 a ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 8 分 4 4
所以 a 的最小值为

1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 9 分 4

(2)方法一、 ? ?x ?[e,e2 ] ,使 f ( x ) ≤ 1 成立, 4

? f ( x) min ?
1? a ?

1 ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 10 分 4

1 2 ,由(1)知 f ( x ) 在 [e, e ] 为减函数, 4

? f ( x)min ? f (e2 ) ? ?a?

e2 1 ? ae2 ? 2 4

1 1 ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 11 分 2 4e 2 1 1 1 1 ? )2 ? ? a , f ?( x) ? ?( 4 ln x 2 4
8

2? 当 a ?

? e ? x ? e 2 ? 1 ? ln x ? 2 ?

1 1 1 ? ? 1 ? ? a ? f ?( x ) ? ? a ??????? ??????? 12 分 2 ln x 4

①当 ?a ? 0,即a ? 0 f ?( x) ? 0 在 [e,e2 ] 上恒成立,则 f ( x) 在 [e,e2 ] 为增函数

? f ( x)min ? f (e) ? e ? ae ?
则 a ? 1?

1 (不合题意) ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 13 分 4e

1 4

②当 ? a ? 0 ? 0 ? a ?

1 4

?x0 ? (e, e2 ), f ?( x0 ) ? 0 , 则 f ( x)在(e, x0 )上为减函数,在( x0 , e2 )上为增函数

? f ( x)min ? f ( x0 ) ?

x0 1 ? ax0 ? ln x0 4

?a ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (不合题意) ??????? ??????? ??????? ??????? 15 分 2 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4e 4

综上所述: a ?

1 1 ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 16 分 2 4e 2 x 1 ? ax ? ln x 4

方法二、由题意: ?x ? [e, e 2 ],

等价于 ?x ? [e, e 2 ], a ?

1 1 ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 10 分 ln x 4 x

?a ? (

1 1 ? ) min , x ?[e, e2 ] ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 11 分 ln x 4 x

9

令 ? ( x) ?

1 1 ? ln x 4 x

则 ? ?( x) ? ?

1 1 ln 2 x ? 4 x ? ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 12 分 x ln 2 x 4 x 2 4 x 2 ln 2 x

? e ? x ? e2 ? 1 ? ln x ? 2 ? 1 ? ln 2 x ? 4 4e ? 4 x ? 4e2 ? ?4e2 ? 4 x ? ?4e ?1 ? 4e2 ? ln 2 x ? 4 x ? 4 ? 4e ? 0

?? ?( x) ? 0 ? ? ( x) 在 [e, e2 ] 上为减函数, ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 14 分

?? ( x) min ? ? (e 2 ) ?

1 1 1 1 ? ? ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 15 分 2 ln e 4e 2 4e

?a ?

1 1 ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? ??????? 16 分 2 4e 2

10


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