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2008~2009学年度第一学期 高一年级第二次月考数学试题


2008~2009 学年度第一学期 高一年级第二次月考数学试题
一、

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一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. cos 300 ? 的值为 ▲ . 1 ? 2.函数 y ? 8 sin( x ? ) 的最小正周期为 ▲ . 4 8 ? ? 3. 把函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象向右平移 个单位, 所得到的图象的函数解析式为 3 6 2? 2? 4.若 ? ≤? ≤ ,则 sin ? 的取值范围是 ▲ . 3 3
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.

5.已知角 ? 的终边经过点 P(?4a,3a)(a ? 0) ,则 2 sin ? ? cos ? 的值为 ▲ 6.已知 sin(

.

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?
6

? ? ) ? a, 则 cos(

2? ? ? ) 的值为 3



.

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7.设 f (sin? ? cos? ) ? sin ? cos? , 则 f (0) ? f (1) 的值为 8.函数 y ? sin 2 x ? 4 sin x ? 3, x ? R 的值域为 9.已知扇形的圆心角为 150 ? ,面积为 ▲ .



.

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? , 则此扇形的周长为 15



. .

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10.函数 f ( x) ? loga ( x ? 4) ? 2(a ? 1, a ? 0) 的图象过定点 P, 则 P 点的坐标是 ▲ 11.函数 y ? x x ? 2 的单调递增区间是 ▲ .
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12 . 设 f ( x) 设 为 奇 函 数 , 且 在 ?? ?,0? 内 是 减 函 数 , f ?? 3? ? 0 , 则 不 等 式 xf ?x ? ? 0 的 解 集 为 ▲ .
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13.已知 f (2 x ) ? 3x log3 2, 则 f (3

669

) 的值等于 ▲

.

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14.有下列命题:①函数 y ? cos( x ? 称轴; ③函数 y ? sin( x ?

?
2

) 是偶函数;②直线 x ?

?
?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

?
4

) 图象的一条对

?
6

) 在 (?

? ?

, ) 上是单调增函数;④点 ( ,0) 是函数 y ? tan( x ? ) 图象的对称 2 3 3 6
.(把所有正确的序号都填上)
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?

中心.其中正确命题的序号是



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 14 分,每小问 7 分)
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(1)已知 tan ? ? 2 ,求

sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) sin( ?? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
1 , 其中 ? 180 ? ? ? ?90 , 3
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3? ) 2 的值

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(2)已知 cos(75 ? ? ) ?

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求 sin(105 ? ? ) ? cos(375 ? ? ) 的值

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16.(本小题满分 14 分) 设 f ( x) ?

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1? x2 ( x ? R) 1? x2
1 x

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(1)

求证: f ( ) ? ? f ( x), ( x ? 0); 求值:
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(2)

1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2008 ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ). 3 4 5 2008

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17. (本小题满分 14 分) 设0 ≤ x≤
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? 2 ,函数 y ? cos x ? 2m sin x 的最大值是 g ( m) ,求函数 g ( m) 的最小值。 2

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18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

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1 3 且 f (2) ? , x ? (0,?? ). m 2 x

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(1)

判断 f ( x) 在其定义域上的单调性并证明;

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(2)

若 f (3 x?2 ? 1) ? f (9 x ? 1), 求 x 的取值范围.

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19.(本小题满分 16 分)

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已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 ,| ? |< 最大值、最小值点分别为 P( x0 ,2) 和 Q( x0 ? 3? ,?2) . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式及 x0 ;
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? )的图象和 y 轴交于 (0,1) 且 y 轴右侧的第一个 2

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(2)求函数 y ? f ( x) 的单调递减区间;

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(3)如果将 y ? f ( x) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1 (纵坐标不变),然后再将所得图象沿 x 轴负 3 ? 1 方向平移 个单位,最后将 y ? f ( x) 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变)得到函数 2 3

y ? g ( x) 的图象,写出函数 y ? g ( x) 的解析式并给出 y ? | g ( x) |的对称轴方程.

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20. (本小题满分 16 分) 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) , 它 们 分 别 满 足 条 件 : 对 任 意 a , b ∈ R , 都 有

f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ;对任意 a , b ∈R,都有 g (a ? b) ? g (a) · g (b) ,且对任意 x >0, g ( x) >1 .

(1)求 f (0) 、 g (0) 的值; (2)证明函数 y ? f ( x) 是奇函数; (3)证明 x ? 0 时, 0 ? g ( x) <1,且函数 y ? g ( x) 在 R 上是增函数; (4)试各举出一个符合函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的实例.

2008~2009 学年度第一学期高一年级 第二次月考数学学科试题 参考答案

一、填空题 1、

1 2

2、 8?

3、 y ? sin 2 x

4、

[ ?1,1]

5、 ?

2 2 或 5 5

6、 ? a

7、 ?

1 2

8、 [0,8] 13、2007

9、

4 ? ? 10、(5,2) 11、②③④ 12、 ?? ?,?3? ? ?3,??? 5 3

14、②③④

二、解答题: 15.解: (1)原式=

sin ? cos? (? cos? ) …………2 分 (? tan? ) sin ?

?

cos2 ? …………………………3 分 tan?
…………6 分

?t an ? ? 2,

1 1 2 2 ? 1? t a n ? ? 5,? c o s ?? 2 5 cos ? 1 ? 原式= ………………………………7分 10

15? ? ? ) ? 2 sin(75? ? ? ) ……………………9分 (2)原式= sin(75? ? ? ) ? cos(
? cos( 75? ? ? ) ? 1 ,且 ? 105 ? ? 75? ? ? ? ?15? ,? sin(75? ? ? ) ? 0 3

? sin(75? ? ? ) ? ? 1 ? sin(75? ? ? ) ? ?
故原式= ?

2 2 ……………………12 分 3

4 2 ………………………………………………………………14 分 3 1 1 ? ( )2 2 2 1 x ? x ? 1 , f ( x) ? 1 ? x ,????? 4 16.解: (1)因为 f ( ) ? 1 x x2 ?1 1? x2 1 ? ( )2 x 1 所以 f ( ) ? ? f ( x), ( x ? 0); ……………6 分 x 1 (2) 由(1)知 f ( ) ? f ( x) ? 0 ……………8 分 x
所以

1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2008 ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ). 3 4 5 2008
= f (1) ? f (2) ……………12 分 =0 ?

?3 3 ? ? ……………14 分. 5 5

17.解:∵0≤x≤

? ∴0≤sinx≤1……1 分 2
2

函数 y=1-sin x+2msinx……2 分

2

y=-(sinx- m) 2 + m +1……3 分

分三种情况讨论:

1? 若 m<0,则当 sinx=0 时有最大值 g(m)=1 2? 若 0≤m≤1,则当 sinx=m 时有最大值 g(m)= m +1 3?若 m>1,则当 sinx=1 时有最大值 g(m)=2m……………………9 分
2

?1,m ? 0 ? 2 即 g(m)= ?m ? 1, 0 ? m ?1 ? 2 m, m ? 1 ?
18.解: (1)∵ f ( 2) ?

由图象得 g(m)的最小值是 1……14 分

3 1 3 1 , ∴ 2 ? m ? ,∴ m ? 1, ∴ f ( x) ? x ? ……………3 分 2 2 x 2

在 (0,??) 内任取两个值 x1 , x2 , 且 x1 ? x 2 ……………4 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

( x ? x2 )(1 ? x1 x2 ) 1 1 ……………7 分 ) ? ( x2 ? ) ? 1 x1 x2 x1 x2

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0,? x1 ? 0, x2 ? 0, ? x1 x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以 f ( x) 在其定义域上是单调增函数.

……………9 分

……………10 分

?3 x ?2 ? 1 ? 0 ? x (2)由题意得: ?9 ? 1 ? 0 ……………13 分 ?3 x ?2 ? 1 ? 9 x ? 1 ?
?x ? 2 ? ∴ ? x ? 0 ,? x ? 2 ……………16 分 ? x ? ?2 ?
19.解: (1)由题意:T=6 ? ,A=2, ? ? 令 x=0,则 1=2sin ? 考虑到| ? |< 函数式为 y=2sin( 令

1 ? ? x ? = ? 2k? (k ? z ) 考虑到 x>0 经尝试得 k=0 时 x0= ? ……7 分 3 6 2 ? 1 ? 3? ? 2k? (k ? Z ) ……………10 分 (2)考虑不等式: ? 2k? ? x ? ? 2 3 6 2
4? ? 6k? ] (k ? Z ) ……11 分 得函数 y=f(x)的单调递减区间为[ ? ? 6k?,

1 ? x ? )……………………………6 分 3 6

? ? 得 ? = ……5 分 2 6

1 …………………4 分 3

(3)由题意得:g(x)=sin(x+

? )………………14 分 2

y=| g(x)|的对称轴方程为 x=k ? (k ? Z ) ……16 分 20.解: (1)令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 ……2 分

g (0) ? g (0) ? g (0) ? g (0) ? 0或g (0) ? 1 ,若 g (0) ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,与条件矛盾. 故 g (0) ? 1 …………5 分(也可令 a ? 0, b ? 1 ,则不需要检验) (2) f ( x ) 的定义域为 R,关于原点对称,令 a ? x, b ? ? x ,则 f (? x) ? ? f ( x) . 故 f ( x ) 为奇函数.……………………8 分 (3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , g (? x) ? 1 ,又 g ( x) ? g (? x) ? g (0) ? 1 ? 0 ? g ( x) ? 1
…………………………………………………………………………10 分 故 ?x ? R , g ( x ) ? 0 证法一:设 x1 , x2 为 R 上任意两个实数,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0, g ( x1 ? x2 ) ? 1 <0. g( x ? g[ ( ? 2x ? ) 2x ? ] g (2 x ? ) [ g1(? x 2x ?) ?1 ] g x ) 1 )? g ( x 2 ) 1x 2 ( 故 g ( x) 为 R 上的增函数. g ( x1 ) g[( x1 ? x2 ) ? x2 ] 证法二: ? ? g ( x1 ? x2 ) ? 1 ……………………14 分 g ( x2 ) g ( x2 ) (4) f ( x) ? 2 x ; g ( x) ? 2x (其余符合条件的均给分)………………16 分.


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