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高中数学必修1函数及其表示题型总结


函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况

①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若 f(x

)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式

Card(A)=m,card(B)=n, m,n ? 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法

N

?

,则从 A 到 B 的映射个数为

n

m

。简单说成“前指后底” 。

? x 2 ? 3x ? 4 1. (2009 江西卷文)函数 y ? 的定义域为 x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) (0, 1] x?0 ? 解析 由? 得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D. 2 ?? x ? 3 x ? 4 ? 0
2. (2009 江西卷理)函数





y?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

(

)

A. (?4, ? 1) 由?

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

解析

?x ?1 ? 0

? x ? ?1 ? ? ?1 ? x ? 1 .故选 C ? 2 ?? x ? 3 x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1

3.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数

y?

1 x
C.

有相同定义域的是

(

)

A.

f ( x) ? ln x

B.

f ( x) ?

1 x

f ( x) ?| x |

D.

f ( x) ? ex
1 x
的定义域是

解析 由

y?

1 x

可得定义域是

x ? 0. f ( x ) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x) ?

x ≠ 0 ; f ( x) ?| x | 的定义域是

x ? R; f ( x) ? e x 定义域是 x ? R 。故选 A.
4.(2007 年上海)函数

y?

lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3



答案
2

?x x ? 4 且 x ? 3 ?
x ?1 ? 1 ? x

5.求下列函数的定义域。①y=

x ? 2 ? x ? 2 .②y=

?x ?1?
x ?x

.③y=

6.已知函数 f(x)的定义域为 方法二 1. 函数概念的考察

?1,5? ,求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
)A.y= 5

下列各组函数中表示同一函数的是(

x

5



y?

x

2

B.y=ln

e

x



y?e

ln x

1

C.

y?

?x ? 1??x ? 3? 和y ? ?x ? 3? ?x ? 1?
C. 0 个或 1 个

D.

y ? x 和y ?

0

1

x

0

2.函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为 A. 0 个 B. 1 个 D. 不能确定

3.已知函数 y=

x

2

? 2 定义域为 ?? 1,0.1,2? ,则其值域为

方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 2x+2 1 求函数 f(x)= x?

?? 1,0?
x?

?
3

1 x 2
x?

?0,2?

的定义域和值域

?2,???
x2 ? 2( x ? R) ,
( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则 f ( x ) 的值域是

2(2010 天津文数)设函数 g ( x) ? (A)

? 9 ? ? , 0 ? (1, ??) ? ? 4 ? ?

(B) [0, ??) (C) [ ?

9 ? 9 ? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ?

【解析】依题意知

? x 2 ? 2 ? ( x ? 4), x ? x 2 ? 2 ? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? ? f ( x) ? 2 , f ( x) ? 2 2 ? ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2

ⅱ求分段函数函数值 3. (2010 湖北文数)3.已知函数

?log3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? f ( x) ? ? x 9 ?2 , x ? 0
C.-4 D-

A.4

B.

1 4
1 9

1 4

【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ⅲ解分段函数不等式 4.(2009 天津卷文)设函数

1 1 1 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? ,所以 B 正确. 9 9 4

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( f ( x) ? ? ? x ? 6, x ? 0
B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??)



A. (?3,1) ? (3,??) 答案 A 解析 解得 x

D. (??,?3) ? (1,3)

由已知,函数先增后减再增当 x

? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3,
,解得 ? 3 ?

? 1, x ? 3 。当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3

x ? 1或x ? 3

5. (2009 天津卷理)已知函数

? x 2 ? 4 x, f ( x) ? ? 2 ?4 x ? x ,
B

x?0 x?0
(?1, 2)



f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a
C

的取值范围是

A

(??, ?1) ? (2, ??)

(?2,1)

D

(??, ?2) ? (1, ??)

解析:由题知

f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a 2 ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。
2

6.(2009 北京理)若函数

?1 , x?0 ? ?x f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则不等式 |

f ( x) |?

1 的解集为____________. 3

解析

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 1 ? 1 ? ? x x (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 1 ? ?3 ? x ? 0 .(2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 3 ?? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? ?x 3 ?? 3 ? 3 ??3?
f ( x) |? 1 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,∴应填 ??3,1? . 3

∴不等式 |

?log 2 x, x ? 0, ? 7。 (2010 天津理数)若函数 f(x)= ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2
(A) (-1,0)∪(0,1) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (C) (-1,0)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

【答案】C 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。

?a ? 0 ?a ? 0 a?0 a<0 ? ? ? ? ? ? 或?1 ? a ? 1或-1 ? a ? 0 f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) ? ? 1 2 1 1 2 ?a a? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?a
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不 等号的方向不要写错。 ⅳ解分段函数方程 8. (2009 北京文)已知函数 .w 解析 由?

?3x , x ? 1, 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? f ( x) ? ? ?? x, x ? 1,

.

5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x ? 1
x

?x ? 1 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2

方法四 求函数的解析式 1. 求下列函数的解析式 ① 已知

1? ? f ?x ? ? ? x? ?

x

3

?

1

x

3

, 求f ( x).



?2 ? 已知f ? ? 1? ? lg x,求f ( x). ?x ?
已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x). 已知 f(x)满足 2 f

③ ④

1? ?x ? ? f ? ? ? ? 3x. 求 f(x). ? x?

方法五 函数图像的考察

3

1. (2009 山东卷理)函数

y?

e x ? e? x e x ? e? x

的图像大致为

(

).

y 1 O 1 x 1

y

y

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A

B

C

解析 函数有意义,需使 e 时函数为减函数,故选 A.

x

? e? x ? 0 ,其定义域为 ?x | x ? 0?,排除 C,D,又因为 y ?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 x ?x e ?e e ?1 e ?1

2. ( 2 0 0 9 广 东 卷 理 )已知甲、 乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线 (假定为直线) 行驶. 甲车、 乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 ( A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 解析 D. B. )

t1 时刻后,甲车在乙车后面

t 0 时刻后,乙车在甲车前面

由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x 轴所围成图形面积大,

则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 3.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V 大致为

y

P ( x, y )

? V (t ) 的图象
( )

O

Q( x,0)

x

V (t )
A

V (t )
B

V (t )
C D

V (t )

O
解析

t

O

t

O

t O

t

由图可知,当质点 P( x, y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先由正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;

质点 P( x, y ) 在终点的速度是由大到小接近 0,故 D 错误;质点 P( x, y ) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数,因 此 C 是错误的,故选 B . 4(2010 山东理数)(11)函数 y=2x - x 的图像大致是
2

4

【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x = 5(2010 安徽文数)设 abc

2

2

1 ? 4<0 ,故排除 D,所以选 A。 4

? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像可能是

【解析】当 a

? 0 时, b 、 c 同号, (C ) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ?

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a 标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 方法六 映射概念的考察 1. 设

? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐

b ? 0 ,选项(D)符合 2a

f :x ?
A. ?

x

2

是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B=

?1,2? ,则 A∩B=( )
? 或? 1?


B.

?1?

C.

?



?2?

D.

2 集合 M=

?a, b, c?,N= ?? 1,0.1? 映射 f: M
B.5 C. 6 D. 7

? N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M ? N 的个数是(

A.4 3 集合 M=

?a, b, c?到集合 N= ?? 1,0.1? 一共有

个不同的映射。

方法七函数值域和最值的求法 1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域 2.分离常数法 3.换元法 4.数形结合法 求函数 y= 求函数 y=

x

2

? 6 x ? 5 的值域

3x ? 1 的值域 x?2

求函数 y= x ? 4 求函数 y=

1 ? x 的值域

x ? 1 ? x ? 4 的值域
2x ? x?2
2

5.判别式法

求函数 y=

x

2

? x ?1

的值域

方法八

5

函数奇偶性和周期性的考察 1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数 A. C.

f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则(
B.

)

f ( x) 是偶函数

f ( x) 是奇函数

f ( x) ? f ( x ? 2)
D 解析

D.

f ( x ? 3) 是奇函数

答案

f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,
?

函 数

f ( x)

关 于 点

( 1 , 0, )及



(? 1 , 0对 )称

, 函 数

f ( x)

是 周 期

T ?2[1 ? ( ? 1 )?]的 周 4期



数.?

f (? x ? 1 ? 4) ? ? f ( x ? 1 ? 4) , f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3) 是奇函数。故选 D

2.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则 f(2009)的值为 A.-1 答案 B. 0 C 解析 由已知得 C.1 D. 2

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( )

f (?1) ? log 2 2 ? 1, f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 3. ( 2009 江西卷文)已知函数

f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2)时,

,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 f ( x) ? log2 (x ? 1 ) ( A. ? 2 答案 方法九 C 解析 ) B. ?1 C. 1 D. 2

2 f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log1 2 ? log2 ? 1,故选 C.

函数奇偶性和对称性考察

1.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 (A) 关于原点对称 (C) 关于 答案

y ? log 2

2? x 的图像 2? x
(B)关于主线





y ? ? x 对称 y ? x 对称

y 轴对称

(D)关于直线

A 解析 由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。

2. (2010 重庆理数)(5) 函数 A. 关于原点对称

f ? x? ?

4x ? 1 的图象 2x
C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

B. 关于直线 y=x 对称

6

解析:

f ( ? x) ?

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称 2?x 2x

方法十

函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 ( A. C. 答案

f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则
). B. D.

f (?25) ? f (11) ? f (80) f (11) ? f (80) ? f (?25)
D 解析 因为 ,

f (80) ? f (11) ? f (?25) f (?25) ? f (80) ? f (11)
8 为周期的周期函数, 则

f ( x) 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ), 所 以 f ( x ? 8)? f ( x ), 所 以 函 数 是 以
,

f (?25) ? f (?1) f (80) ? f (0) ? 0

f (80) ? f (0)
,

f (11) ? f (3)

, 又 因 为 ,

f ( x)

在 而

R

上 是 奇 函 数 , 由

f (0) ? 0 x 4 ? )

, 得

f (?25) ? f (?1) ? ? f (1)

f( ?

? f 得

(x

f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) ,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,


f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.
2

2.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e) (A) a 答案

, c ? lg e, 则
?a?b
(D) c





?b?c

(B) a

?c?b

(C) c

?b?a

B 解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c=

1 2

lge, 作商比较知 c>b,选 B。 取值范围是

3.(2009 辽宁卷文)已知偶函数

1 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 3
( )

(A) ( 答案 解析

1 2 , 3 3
A



B.[

1 2 , 3 3



C.(

1 2



2 3



D.[

1 2



2 3



由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)∴得 f(|2x-1|)<f(

1 1 ),再根据 f(x)的单调性得|2x-1|< 3 3

解得

1 2 <x< 3 3
()

4.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数

f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有
B. D.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1

(A) C.

f (3) ? f (?2) ? f (1) f (?2) ? f (1) ? f (3)
A 解析 由 ( x2

f (1) ? f (?2) ? f (3) f (3) ? f (1) ? f (?2)

答案

? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于


f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 则 f ( x) 在 x2 ? x1

x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) 上单调递增,

f ( x) 是偶函数,故 f ( x) 在

7

x1 , x2 ? (0, ??]( x1 ? x2 ) 单调递减.且满足 n ? N * 时, f (?2) ? f (2) , 3>2 ? 1 ? 0 ,得
f (3) ? f (?2) ? f (1) ,故选 A.
5.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 则当 n ? N 时,有
*

f ( x) 满足:对任意

? x2 ) ,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 .
( B. D. )

(A)

f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)
C

f (n ?1) ? f (?n) ? f (n ? 1) f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

C. C. 答案

解析:x1 , x2 ? ( ??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在 (??, 0] 为增函数 f ( x )为偶函数 ? f ( x )在(0, ? ? ]为减函数 而n+1>n>n-1>0, ? f ( n ? 1) ? f (n ) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (? n ) ? f (n ? 1)

6.(2009 江苏卷)已知 a

?

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小关系为 2

.

解析

a?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2
2 3 2 3 5 2 5 2 5 ? ( ),b ? ( ) ,c ? ( ) ,则 a,b,c 的大小关系是 5 5 5

7. (2010 安徽文数) (7)设 a (A)a>c>b 7.A【解析】

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

2 2 y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数,所以 a ? c , y ? ( ) x 在 x ? 0 时是减函数,所以 c ? b 。 5

方法十一抽象函数的解法 1.(2009 四川卷理)已知函数

f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则
( ) C.1 D.

5 f ( f ( )) 的值是 2
A.0 B.

1 2

5 2

答案

A 解析 令 x

??

1 1 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 f (0) ? 0 ,则 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 x?1 f ( x ) ,所以 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f

( x) 得 f ( x ? 1) ?

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
2.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数

f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程

f(x)=m(m>0)在区间 8

?? 8,8? 上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足

f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以,



f ( x) 为奇函数,所以函

数图象关于直线

x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以

8 为周期的周期函数 ,又因为

f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程

f(x)=m(m>0)在区间

?? 8,8? 上有四个不同的根

x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由对称性知 x1 ? x2 ? ?12 x3 ? x4 ? 4 所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8
y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

方法十二 对数函数的考察 3(2010 全国卷 1 文数)(7)已知函数 (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C)

f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是
(D)

(2, ??)

[2, ??)
1 ? 2 ,从而错选 D,【解析 1】因为 a
f(a)=f(b),所以

C【命题意图】做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ?

|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去), 或b

?

1 a

, 所以 a+b= a ?

1 1 2 又 0<a<b,所以 0<a<1<b, 令 f (a ) ? a ? 由 “对勾” 函数的性质知函数 f ( a ) a a

在 a ?(0,1)上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).

【 解 析 2 】 由 0<a<b, 且

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? f(a)=f(b) 得 : ?1 ? b , 利 用 线 性 规 划 得 : ?1 ? y , 化 为 求 z ? x ? y的 取 值 范 围 问 题 , ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?
1 1 ? y? ? ? 2 ? ?1 ? 过点 ?1,1? 时 z 最小为 2,∴(C) (2, ??) x x

z ? x ? y ? y ? ?x ? z ,y?

4(2010 全国卷 1 理数) (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2

2, ??)

(B) [2

2, ??)

(C) (3, ??)

(D) [3, ??)

方法十三函数创新题的解法 1.(2009 浙 江 理 ) 对 于 正 实 数

?

,记

M? (? x 2

为满足下述条件的函数 .下列结论中正确的是 x 1 )

f ( x)

构成的集合:

?x1 , x2 ? R
( )



x2 ? x1

,有

?? ( x2 ? x1 )? f ( x ) 2?

f(x )? 1?

9

A.若 B.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则
f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 D.若 答 案

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2
C 解 析 对 于

?? ( x2 ? x1 )?
,不妨设

f( x ?) 2

f (? ?) 1x

?( 2x

, 即 )有 1x

?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? x2 ? x1

, 令

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k ,有 ?? ? k ? ? x2 ? x1

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,即有 ??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 ,因此有

??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 ,因此有 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .
2.(2009 福建卷理)函数

f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?

b 对称。据此可推测,对任意的非零实数 a,b,c,m, 2a

n,p,关于 x 的方程 m ( A. )

? f ( x) ?

2

? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是

?1, 2?
D 解析

B

?1, 4?
2

C

?1,2,3,4?

D

?1,4,16,64?

答案

对方程 m[ f ( x)]

? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别赋值求出 f ( x) 代入 f ( x) ? 0 求出检验即得.

10


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