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2014-2015学年新课标A版高中数学选修1-1:第三章 导数及其应用 单元同步测试(含解析)


第三章测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时 速度是( ) B.5 米/秒 C.6 米/秒 D.4 米/秒 答案 B

A.7 米/秒

2.若二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导数 y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直 线,则 y=f(x)的图象顶点在( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

b b b2 b b2 解析 设 f(x)=ax2+bx=a(x2+ x)=a(x+ )2- ,顶点(- ,- ),f′(x)=2ax+b 过第一、二、 a 2a 4a 2a 4a b b2 三象限的一条直线,∴b>0,a>0,∴- <0,- <0,∴顶点在第三象限. 2a 4a 答案 C 3.曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.120° 解析 y′=3x2-2,∴y′|x=1=3×12-2=1, ∴倾斜角为 45° .答案 B 15 4.已知函数 f(x)=-x2-2x+3 在区间[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于( 4 3 A.- 2 1 1 B. C.- 2 2 1 3 D.- 或- 2 2 f(x)的开口向下,对称轴为 x=-1, ∴f(x)在[a,2]是减函数. ) )

解析 f(x)=-(x+1)2+4.

15 当 x=-1,f(-1)=4> ,∴a>-1. 4

15 1 3 ∴f(a)= ,解得 a=- ,或 a=- (舍去). 答案 C 4 2 2 5.已知函数 f(x)=x3 的切线的斜率等于 3,则这样的切线( A.有 1 条 B.有 2 条 C.多于 2 条 D.不确定 )

解析 令 f′(x)=3x2=3,得 x=± 1,故应有 2 条.答案 B 6.若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) )

C.(2,+∞) D.(-1,0)

2 4 2x -2x-4 解析 f′(x)=2x-2- = >0,∵x>0, x x

∴2x2-2x-4>0,即 x2-x-2>0.解得 x<-1 或 x>2.又 x>0,∴x>2.答案 C 7.函数 f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象为( 答案 D )

1

f?x? 8.定义在(0,+∞)上的可导函数 f(x)满足 f′(x)· x<f(x),且 f(2)=0,则 >0 的解集为( x A.(0,2) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.?

)

f′?x?· x-f?x? f?x? f?x? f?2? 解析 [ ]′= <0, ∴ 为减函数,∵f(2)=0,∴ =0. x x2 x 2 ∴ f?x? >0 的解为 0<x<2,故选 A. x 答案 A

1 9.下列图象中有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数 f′(x)的图象,则 f(-1) 3 =( )

1 A. 3

1 B.- 3

7 C. 3

1 5 D.- 或 3 3

解析 f′(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1, ∵a≠0, ∴图象应为(3). 此时 f′(0)=a2-1=0, 又-a>0, 1 ∴a<0,∴a=-1.∴f(-1)=- .答案 B 3 π π 10.已知函数 f(x)=x-sinx,若 x1,x2∈[- , ],且 f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是( 2 2 A.x1>x2 B.x1<x2 C.x1+x2>0 D.x1+x2<0 )

解析 易知函数 f(x)为奇函数, 又 f′(x)=1-cosx≥0,所以函数 f(x)为增函数,由 f(x1)+f(x2)>0?f(x1)>-f(x2) ?f(x1)>f(-x2)?x1>-x2?x1+x2>0. 答案 C 11.曲线 y=x3 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A,△OAB(O 是原点)是以 A 为顶点的等腰三角形,则 切线 l 的倾斜角为( A.30° ) C.60° D.120°

B.45°

2 3 2 解析 设 B(x0,x3 0),由于 y′=3x ,故切线 l 的方程为 y-x0=3x0(x-x0),

2x0 2x0 2x0 2 令 y=0 得点 A( ,0), 由|OA|=|AB|,得( )2=(x0- )2+(x3 0-0) , 3 3 3 1 当 x0=0 时,题目中的三角形不存在,故得 x4 0= , 3 故 x2 0= 3 ,直线 l 的斜率为 3x2 .答案 0= 3,故直线 l 的倾斜角为 60° 3 C )

12. 若 a, b 在区间[0, 1 A. 2 B. 3 3 C.

3]上取值, 则函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是( 3 6 D.1- 3 6

解析 易得 f′(x)=3ax2+2bx+a, 函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点的充要条件
2

是 a≠0,

且其导函数的判别式大于 0,即 a≠0,且 4b2-12a2>0, 又 a,b 在区间[0, 3]上取值,则 a>0,b> 3a, 点(a,b)满足的区域如图中阴影部分所示, 其中正方形区域的面积为 3,阴影部分的面积为 故所求的概率是 3 . 答案 C 6 3 , 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 点处的切线与曲线 y=1-x3 在 x=x0 点处的切线互相平行,则 x0 的值 为________. 解析 y=x2-1 的导数为 y′=2x,y=1-x3 的导数为 y′=-3x2, 2 2 ∴由题可知 2x0=-3x2 0,∴x0=0,或 x0=- .答案 0 或- 3 3 14.已知函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 f′(x)=3x2+a,由题可知 f′(x)=0 有两个不等的根,∴a<0.答案 15.若 f′(x)=3x2-6x,且 f(0)=4,则不等式 f(x)>0 的解集是________. 解析 由题可设 f(x)=ax3+bx2+cx+d,∴f′(x)=3ax2+2bx+c, 3a=3, ? ?2b=-6, ∴? c=0, ? ?d=4, a=1, ? ?b=-3, ∴? c=0, ? ?d=4. (-∞,0)

∴f(x)=x3-3x2+4=x3+x2-4(x2-1).=x2(x+1)-4(x-1)(x+1)=(x+1)(x-2)2, ∴f(x)>0 的解为 x>-1,且 x≠2.答案 {x|x>-1,且 x≠2}

3x+a 16.已知函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是________. x+2 解析 由 题 可 知 , 函 数 f(x) = 3x+a 在 区 间 ( - 2 , + ∞) 上 单 调 递 减 , 所 以 其 导 函 数 f′(x) = x+2 (6,+∞)

3?x+2?-?3x+a? 6-a = 在(-2,+∞)上小于零,解得 a>6.答案 ?x+2?2 ?x+2?2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)求函数 f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最值. 解 f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3>0,

∵f′(x)在[-1,1]内恒大于 0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)min=-12;x=1 时,f(x)max=2.即 f(x)的最小值为-12,最大值为 2. 18.(12 分)设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8(a∈R),若 f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,求 a 的 取值范围. 解 f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),

令 f′(x)=0,得 x1=a,x2=1. (1)当 a<1 时,则 x<a 或 x>1 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上是增函数.
3

故当 0≤a<1 时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. (2)当 a≥1 时,则 x<1 或 x>a 时,f′(x)>0. ∴f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上是增函数. 从而 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 综上可知,当 a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. 1 28 19.(12 分)已知函数 f(x)= x3-4x+m 在区间(-∞,+∞)上有极大值 . 3 3 (1)求实数 m 的值; (2)求函数 f(x)在区间(-∞,+∞)的极小值. 解 f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2).

令 f′(x)=0 得,x=-2,或 x=2. 故 f(x)的增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),减区间为(-2,2). 8 28 (1)当 x=-2 时,f(x)取得极大值,故 f(-2)=- +8+m= ,∴m=4. 3 3 1 4 (2)由(1)得 f(x)= x3-4x+4 又当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=- . 3 3 1 20.(12 分)已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C=25 000+200x+ x2(元). 40 (1)要使平均成本最低应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 1 25 000+200x+ x2 40 25 000 x 25 000 1 (1)设平均成本为 y, 则 y= = + +200, y′=- 2 + .令 y′=0, x x 40 x 40



得 x=1 000. 当 x<1 000 时,y′<0;当 x>1 000 时,y′>0. ∴当 x=1 000 时,y 取得极小值,也是最小值. 因此,要使平均成本最低,应生产 1 000 件产品. (2)设利润为 L(x),则 x2 x2 25 000+200x+ ?=300x-25 000- , L(x)=500x-? 40? ? 40 x L′(x)=300- . 20 令 L′(x)=0,得 x=6 000.

当 x<6 000 时,L′(x)>0;当 x>6 000 时,L′(x)<0, ∴当 x=6 000 时,L(x)取得极大值,也是最大值. 因此,要使利润最大,应生产 6 000 件产品. a-2 2 1 1 21.(12 分)已知函数 f(x)= x3+ x -2ax-3,g(a)= a3+5a-7. 3 2 6 (1)a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调, 且 x∈[-2,0]时, 不等式 f(x)<g(a)恒成立, 求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)当 a=1 时,f(x)= x3- x2-2x-3,定义域为 R, 3 2
4

f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1). 令 f′(x)>0,得 x<-1,或 x>2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2,+∞). (2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=2,或 x=-a. ∵函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,∴-a∈(-2,0),即 0<a<2. 又∵在(-2,-a)上,f′(x)>0, 在(-a,0)上,f′(x)<0, 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) f(-2) -2 (-2,-a) + 单调递增 -a 0 极大值 (-a,0) - 单调递减 f(0) 0

∴f(x)在[-2,0]上有唯一的极大值点 x=-a. ∴f(x)在[-2,0]上的最大值为 f(-a). ∴当 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立,等价于 f(-a)<g(a). a-2 2 1 1 1 ∴- a3+ ×a +2a2-3<g(a).∴ a3+a2-3< a3+5a-7. 3 2 6 6 ∴a2-5a+4<0,解得 1<a<4. 综上所述,a 的取值范围是(1,2).

1 22.(12 分)已知函数 f(x)= x2-alnx(a∈R). 2 (1)求 f(x)的单调区间; 1 2 (2)当 x>1 时, x2+lnx< x3 是否恒成立,并说明理由. 2 3 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),

a 由题意得 f′(x)=x- (x>0),∴当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞). x
2 a x -a ?x- a??x+ a? 当 a>0 时,f′(x)=x- = = . x x x

∴当 0<x< a时,f′(x)<0,当 x> a时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( a,+∞),单调递减区间为(0, a). 2 1 (2)设 g(x)= x3- x2-lnx(x>1) 3 2 1 则 g′(x)=2x2-x- . x

?x-1??2x2+x+1? ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, x ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数. 1 ∴g(x)>g(1)= >0. 6 2 1 即 x3- x2-lnx>0, 3 2 1 2 ∴ x2+lnx< x3, 2 3 1 2 故当 x>1 时, x2+lnx< x3 恒成立. 2 3

5


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