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数列.版块二.等差数列-等差数列的通项公式与求和.学生版


等差数列的通项公式与求和

典例分析
【例1】 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a7 ? 0 ,a8 ? 0 , 则下列结论正确的是 ( A. S7 ? S8 B. S15 ? S16 C. S13 ? 0 D. S15 ? 0



【例2】 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

n2 (n ≥1) ,求它的通项公式.

【例3】 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ,bn ? an , 则数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? _______.

【例4】 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ,则 | a1 | ? | a2 | ??? | a10 |? _______.

【例5】 设等差数列的前 n 项的和为 Sn ,且 S12 ? 84 , S20 ? 460 ,求 S28 .

【例6】 设等差数列的前 n 项的和为 Sn ,且 S4 ? 16 , S8 ? 64 ,求 S12 .

1

【例7】 有两个等差数列 ?an ? , 其前 n 项和分别为 Sn , 若对 n ? N? 有 Tn , ?bn ? ,

Sn 7n ? 2 ? Tn 2n ? 3

成立,求

a5 . b5

【例8】 在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 23 , a25 ? ?22 , Sn 为前 n 项和, ⑴求使 S n ? 0 的最小的正整数 n ; ⑵求 Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 的表达式.

【例9】 等差数列 ?an ? 的前 m 项和 Sm 为 30 , 前 2 m 项和 S 2 m 为 100 , 则它的前 3m 项和 S3m

为_______.

【例10】 等差数列 {an } 中,a1 ? 25 ,S9 ? S17 ,问数列的多少项之和最大,并求此最大值.

【例11】 已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ?10 ? 3n ? x ? 9n2 ? 61n ? 100 ,其中 n ? N* . ⑴ 设函数 y ? f ? x ? 的图象的顶点的横坐标构成数列 ?an? ,求证:数列 ?an? 为等差 数列; ⑵ 设函数 y ? f ? x ? 的图象的顶点到 y 轴的距离构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的前 n 项和 Sn .

2

【例12】 等差数列前 10 项的和为 140 ,其中,项数为奇数的各项的和为 125 ,求其第 6 项

及公差.

【例13】 设等差数列 {an } 的公差为 d , a1 ? 0 ,且 S9 ? 0, S10 ?0 ,求当 Sn 取得最大值时 n 的

值.

【例14】 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 50 , d ? ?2 , Sn ? 0 ,则 n ? ( A. 48 B. 49 C. 50 D. 51



【例15】 已知 {an } 是等差数列,且 a2 ? 3, a5 ? 9 , bn ?
{bn } 的前 n 项和 Sn .

1 ,求数列 ?an ? 的通项公式及 an an ?1

【例16】 在各项均不为 0 的等差数列 ?an ? 中, 若 an?1 ? an 2 ? an?1 ? 0(n ≥ 2) , 则 S2 n ?1 ? 4n 等

于( A. ?2


B. 0 C. 1 D. 2

【例17】 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 6 , a2 ? 4 , a3 ? 3 ,且数列 ?an?1 ? an ? (n ? N? ) 是等差数列,

求数列 ?an ? 的通项公式.

3

【例18】 已知 f ( x) ? x2 ? 2(n ? 1) x ? n2 ? 5n ? 7 , ⑴ 设 f ( x) 的图象的顶点的纵坐标构成数列 ?an ? ,求证 ?an ? 为等差数列. ⑵ 设 f ( x) 的图象的顶点到 x 轴的距离构成 ?bn ? ,求 ?bn ? 的前 n 项和.

【例19】 已知数列 ?an ? 是等差数列,其前项和为 Sn , a3 ? 7, S4 ? 24 . ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式;

1 ⑵ 设 p, q 是正整数,且 p ? q ,证明 S p ? q ? (S2 p ? S2q ) . 2

【例20】 在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 23 , a25 ? ?22 , Sn 为前 n 项和, ⑴求使 S n ? 0 的最小的正整数 n ; ⑵求 Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 的表达式.

【例21】 有固定项的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? n , 现从中抽取某一项 (不包括首相、

末项)后,余下的项的平均值是 79 . ⑴求数列 ?an ? 的通项 a n ;
⑵求这个数列的项数,抽取的是第几项.

a2 , a3 , ? ? ?, an 成等差数列 ( n 为正偶 【例22】 已知 f ( x) ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ??? ? an xn , a1 ,

1 ) ? n2 , f (?1) ? ?n , 数). 又 f( ⑴求数列的通项 a n ; ⑵试比较 f ? ? 与 3 的大小, ?2?

?1?

并说明理由.

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【例23】 设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 S5 S6 ? 15 ? 0 则 d 的取值范围是 .

【例24】 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ? ?11 ,a4 ? a6 ? ?6 , 则当 Sn 取最小值时,
n 等于( A. 6


B. 7 C. 8 D. 9

【例25】 在等比数列 ?an ? 中,若公比 q ? 4 ,且前 3 项之和等于 21 ,则该数列的通项公式
an ?



【例26】 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a 2 , a 3 成等比数列. ⑴求数列 ?an ? 的通项; ⑵求数列 ?2 an ? 的前 n 项和 Sn .

【例27】 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , a2 ? 2 ,且对任意 m , n ? N? 都有
a2m?1 ? a2n?1 ? 2am? n?1 ? 2(m ? n)2

⑴求 a 3 , a 5 ; ⑵设 bn ? a2n ?1 ? a2n ?1 (n ? N? ) 证明: ?bn ? 是等差数列;
n ? N? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . ⑶设 cn ? (a2n?1 ? a2n?1 )qn?1 (q ≠ 0 ,

5

【例28】 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于( A.10 B.12 C.15 D.30



【例29】 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足

S3 S2 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差是 3 2


A.


1 2
B. 1 C. 2 D. 3

【例30】 若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 ? A. 3 B. ? 3 C. ? 3

22π ,则 tan a6 的值为( 3
D. ?
3 3



【例31】 已知等差数列 1 , a , b , 等比数列 3 , a ? 2 , b ? 5 , 则该等差数列的公差为 ( A. 3 或 ? 3 B. 3 或 ?1 C. 3 D. ?3



【例32】 已知数列 {an } 的通项公式 an ? log3
Sn ? ?4 成立的最小自然数 n 等于(

n ( n ? N* ),设其前 n 项和为 Sn ,则使 n ?1


C. 81 D. 80

A. 83

B. 82

【例33】 等差数列 {an } 中,a3 ? ?5 ,a6 ? 1 ,此数列的通项公式为

,设 Sn 是数列 {an }

的前 n 项和,则 S 8 等于



6

【例34】 设集合 W 由满足下列两个条件的数列 {an } 构成:

an ? an ? 2 ? an ?1 ; 2 ②存在实数 M ,使 an ≤ M . ( n 为正整数)
① ⑴在只有 5 项的有限数列 {an } , 其中 a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 5 , {bn } 中,
b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 5 , b4 ? 4 , b5 ? 1 ;试判断数列 {an } ,{bn } 是否为集合 W 的元

素; ⑵设 {cn } 是等差数列, Sn 是其前 n 项和, c3 ? 4 , Sn ? 18 证明数列 {Sn } ?W ;并写 出 M 的取值范围; ⑶设数列 {dn } ?W ,且对满足条件的常数 M ,存在正整数 k ,使 d k ? M . 求证: dk ?1 ? dk ? 2 ? dk ?3 .

?2a n ? 1 , n为偶数 ? ? 2 【例35】 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2 , 3 , 4 , ?. ? 2a n ?1 , n为奇数 ? ? ? 2 2

⑴求 a3 , a4 , a5 的值; ⑵设 bn ? a2n?1 ? 1, n ? 1 , 2 , 3 , ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出其通项公 式; ⑶对任意的 m ≥ 2 , m ? N* ,在数列 {an } 中是否存在连续的 2m 项构成等差数列? 若存在,写出这 2m 项,并证明这 2m 项构成等差数列;若不存在,说明理由.

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