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3.2 二倍角的三角函数


§3.2
【情景切入】

二倍角的三角函数

二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的, 要注重这种基本数学思想方法, 学 会怎样去发现数学规律. 二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数, 它适用于二倍角与 单角的三角函数之间的互化问题. 二倍角公式不仅限于 2α 是α 的二倍的形式,其它如 4α 是 2α 的二倍,α /2 是α /4 的 二倍,3α 是 3α /2 的二倍,α /3 是α /6 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.因此, 要理解“二倍角”的含义,即当α =2β 时,α 就是β 的二倍角.凡是符合二倍角关系的均 可以应用二倍角公式. 二倍角公式是从两角和的三角函数公式中, 取两角相等时推导出来, 记忆时可联想相应 角公式.从"母公式"出发,去理解和记忆"子公式",就能快速形成知识的网络,不断提 升自己的分析问题和解决问题的技能.

【自主学习】
1. 二倍角公式 在公式 C(α +β )、S(α +β )、T(α +β )中令β =α ,就分别得到 C2α 、S2α 、T2α . sin2α =2sinα cosα . cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α .
2 2 2 2

2 tan ? 2 tan2α = 1 ? tan ? .
2.半角公式

sin

?
2

? ?

? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ,cos ? ? , 2 2 2 ? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ,tan ? = . 2 sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
?
2
角终边所在的象限来讨论确定

tan

?
2

? ?

注意:要根据

?
2

角的正弦、余弦、正切值,并且

?
2



的终边所在象限一经确定后,

?
2

角的正弦、余弦、正切值都是唯一的.

【教材透析】

1.公式 S2? , C2? 中, 时才成立,否则不成立.

? 可以是任意角;但公式 T2? 只有当 ? ? ? k? 及 ? ? ?

? 2

? k? (k ? Z ) 4 2

2.倍角公式不仅可运用于将 2? 作为 ? 的 2 倍的情况,它是相对而言的,还可以运用于将

4? 作为 2? 的 2 倍, 将 ? 作为

? 3? 的 2 倍, 将 3? 作为 的 2 倍等. 2 2

3.余弦二倍角有三种形式,在应用时,要根据条件,灵活选用公式;另外,此公式的逆用 在三角化简、求值和证明中也有非常重要的作用. 注意 C2α 的变形公式: 1+cos2α =2cos2α (升幂公式) 1-cos2α =2sin2α 由二倍角公式可进一步推导出三倍角公式: sin3α =3sinα -4sin3α , 4. 公式 tan cos3α =4cos3α -3cosα . sin2α = cos2α =

1 (1+cos2α ) 2
(降幂公式)

1 (1-cos2α ) 2

?
2

?

? 1 ? cos ? sin? ,称为半角正切的有理表达式,其中 tan 与 sin ? 的 ? sin? 1 ? cos ? 2

符号是一致的,因为分母是单项式,所以在化简、证明中应优先考虑使用有理表达式.但如果只 知 道 cos ? 去 求 s i n? , 这 时 也 要 开平 方 , 也 要 选 取 正 、 负号 , 并 不 比 公 式 tan

?
2

?

?

1 ? cos ? 方便.应用半角公式时,关键是符号的选取,特别要注意角所在的象限及正切 1 ? cos ?

的半角公式的灵活应用.

【典例分类剖析】
题型 1 二倍角公式的逆用 例1求 思路分析 的值. 逆用二倍角公式,或构造对偶式列方程求解.

解答

解法一







解法二 原式

. 解法三 令 则 , .





,∴



从而有



点评 对于本题,如若简单地从形式上看,为利用二倍角正弦公式而同乘同除式子

;或原式

后,简单地应用二倍角的余

弦公式都将无益于问题的解决,反而会陷入思维的简单循环之中.因此,当我们面对一个较 为陌生的问题时,应认真分析问题的特征,积极地进行联想化归,切实做到缜密稳妥地设计 解题思路. (1)有些数学问题,可根据其本身特点,相应地构设与其相同“匹配”的另一整体,然 后由其“相依而伴”的关系进行求解.如解法三,这种解题方法称为积式配对. (2)角度成等比(公比为 2)的同名弦函数的乘积通常可按解法一、二来求解. [变式与拓展] 求值

(1)



(2)

.

解答(1)原式

.

(2) 求值 ? 2? 4? 8? cos ? cos ? cos ? cos 17 17 17 17 ; (1) (2) sin 6 ? sin 42 ? sin 66 ? sin 78 .
? ? ? ?

.

例2

思路分析 第(1)题各余弦的角中,后一个角依次是前一个角的两倍,联系到正弦的 倍角公式,可以考虑用倍角公式求解.第(2)题中三角函数可以用诱导公式化为类似第(1) 题的形式.
2 4 sin

?
17

? cos

?
17

? cos

解答
23 sin

(1)

cos

?
17

? cos

2? 4? 8? ? cos ? cos 17 17 17 =
22 sin

2? 4? 8? ? cos ? cos 17 17 17

24 sin

?

17 8? 8? ? cos 17 17

=

2? 2? 4? 8? ? cos ? cos ? cos 17 17 17 17 16 sin

?

4? 4? 8? ? cos ? cos 17 17 17 16 sin

2 sin

?

17

=

17

=

16 sin

?

17

sin

16? 17

sin

?
17

=

16 sin

?

17 =

16 sin

1 ? 17 = 16 .

? ? ? ? ? ? ? ? (2) sin 6 ? sin 42 ? sin 66 ? sin 78 = sin 6 ? cos 48 ? cos 24 ? cos12

24 sin 6? ? cos6? ? cos12? ? cos24? ? cos48?

23 sin 12? ? cos12? ? cos24? ? cos 48?

=

2 cos6

4

?

=
2 sin 48? ? cos48?

16 cos6? 2 sin 96? cos 6?

22 sin 24? ? cos24? ? cos48?

=

16 cos6?

=

16 cos6?

1 ? ? 16 16 cos 6 16 cos 6 = = = .

点评

善于抓住问题的特征,根据特征寻找巧妙的解法,是提高解题速度的窍门.本题

的特征是:若干个余弦的乘积,且后一个余弦的角均是前一个余弦的角的两倍.一般地,有
cos? ? cos2? ? cos4? ? cos8? ?cos2n?1? ? sin 2n? 2n sin ? .(n ? N )

. =___________.

[变式与拓展] 计算

解答 题型 2

原式 二倍角公式的变形应用

.

例 3 已知



.求

的值.

思路分析

若对结论“切化弦”后再化简不难发现,只需求出





值即可,注意到

,就可以发现求解的途径了.

解答



,∴



又∵

,∴









又∵



∴原式



点评 为用

(1)本题也可以由 表示的形式.



,再将要求解的三角式化

(2)本题解法中巧妙地利用了“角的变换” 杂.

,使求解过程不致于繁

(3)若不注意 知取舍.

的范围,就会导致由

求出

而不

[ 变 式 与 拓 展 ]

设 的值.



, 求

解答 化简为 ∴ 例4

两已知条件相乘,可得 ,





化简 sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?

1 cos 2? ? cos 2 ? . 2

思路分析

对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)

三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少. 观察欲化简的式子发现: (1)次数为 2(有降次的可能) ; (2)涉及的角有α、β、2α、 2β, (需要把 2α化为α,2β化为β) ; (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名 称的统一) ; (4)共有 3 项(需要减少) ,由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法 不止一种. 解答

(复角 ? 单角,从“角”入手) 解法一

原式 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ?

1 ? (2 cos 2 ? ? 1)(2 cos 2 ? ? 1) 2

1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? (4 cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1) 2
? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?
? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ?
? sin ? ? ? cos 2 ? ? 1 1 1 ? 1? ? 2 2 2.

1 2

1 2

解法二 (从“名”入手,异名化同名)

1 原式 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2 ? 2 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? cos 2? ? cos 2 ? 2 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? 2 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? (sin 2 ? ? cos 2? ) 2

?
?

1 ? cos 2? 1 ? ? ? cos 2? ?sin 2 ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) ? 2 2 ? ?
1 ? cos 2 ? 1 1 ? cos 2? ? . 2 2 2
1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? 1 ? ? ? ? cos 2? ? cos 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? (1 ? cos 2? ? cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2 ? ) 4 1 1 ? (1 ? cos 2? ? cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2 ? ) ? ? cos 2? ? cos 2 ? 4 2 1 1 1 ? ? ? . 4 4 2
1 cos 2? ? cos 2 ? 2

解法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

原式 ?

解法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
原式 ? (sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ) 2 ? 2 sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ?

1 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos 2? ? cos 2 ? 2 2 1 ?co2 s? ( ?? ) ? ? cos ?( 2 ? ? 2 ) 2

? cos 2 (? ? ? ) ? ? 1 . 2

1 ? ?2 cos 2 (? ? ? ) ? 1? 2

点评

在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其

他三角问题时经常要用的变形手法.

[变式与拓展] 化简

=___________.

解答 原式

.

例 5

设 .





.求证

思路分析

条件恒等式的证明,要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角,看 ,

函数的名称、次数.对于本题,从角的差异入手,将角变形为 ,从已知条件变形入手,可证得结论. 解答 由 ,得



整 理 , 得

. 为



, 将上式两边同除以 点评

, 得



证明条件恒等式,一般有两种方法,即推出法与代入法,无论使用哪一种思路

都要盯住目标,据果变形.若用推出法,则应盯住欲证等式的左、右两边,根据它们的状况 (一般要看角、函数名称、次数) ,采取恰当的措施来对条件等式进行变形,直到目标.若

用代入法, 就要盯住作为目标的被证等式的一边, 根据它对欲证等式的另一边及条件进行变 形,先创造机会,然后代入条件,最终推出目标.

[变式与拓展] 求证

.

解答

左边

,

右边 由左边=右边,故等式成立.



【分层演练】 A.夯实基础 1.等腰三角形的一个底角的正弦为 ,则这个三角形的顶角的正切是 (
A. ?
24 7 3 5

)

B.

24 7

C.

7 24

D. ?

7 24

解析

3 4 5 5 设底角为α ,则顶角为π -2α ,∵sinα = ,∴cosα = (α 必为锐角).
tan 2? ? 2 tan? 1 - tan ?
2

3 ∴tanα = 4 ,

?

3 2 1? 9 16

?

24 7

.

24 ∴tan(π -2α )= -tan2α =- 7 ,所以选 A.

答案

A
5 ,则 sin4 ? ? cos4 ? = ( 13

2. 若 cos2θ = A.

) D.

97 169 1 4 4 2 2 2 2 2 2 解析 sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ =1- 2 sin 2θ , 5 12 1 144 97 sin4 ? ? cos4 ? ? 1 ? ? ? 2 169 169 ,所以选 D. ∵cos2θ = 13 ∴|sin2θ |= 13 ∴

12 13

B.

144 169

C.

25 169

答案 D

cos 2? 2 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ? 3.若 ,则 cos ? ? sin ? 的值为(
?
A.



7 2

1 B. 2 ?

1 C. 2

7 D. 2

解析

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 ? ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ? ? , π? 2 ? 2 sin ? ? ? ? (sin ? ? cos ? ) 4? ? 2

1 ? cos ? ? sin ? ? . 2 故选 C.
答案 C

4.已知 sinα :sin A.

? =8:5,则 cosα 的值为( 2
B. ?

) C.

7 25
sinα =2
sin

7 25
2 cos

24 25
?
2 ? 4 5.

D. ?

24 25

?
2

解析

2 ∴ ∴ ? 16 7 cos 2? ? 2 cos2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 25 25 ,故选 A. ∴
2,

cos

?

?

?

8 5.

cos

答案

A

1 1 ? ? ? ? , - ? ? ? ? 0, tan? ? - , tan? ? 3 7 ,则 tan(2α +β )= ( 5.若 2
A.-1 B.-2 C.2 D.1

?

)

?
解析

?
2

? ? ? ? , tan? ? ?

1 3

? 1? 2??? ? ? 2 ? 3? ? 3 ? ? 3 2 8 4 ? 1? 2 tan ? 1 ? ? ? ? ? tan 2? ? 9 1 ? tan 2 ? = ? 3 ?
tan 2? ? tan ? ? tan(2? ? ? ) ? ? 1 ? tan 2? tan ? 3 1 ? 4 7 ? ?1 1 ? 3? 1 ? ? ? ? ? (? ) 7 ? 4? ,故选 A. ?

答案

A
1 ? sin 200? ? 1 ? sin 200? 等于

6.





A.2 sin 10

?

B. ? 2 sin 10

?

C. 2 cos10

?

D. ? 2 cos10

?

? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 解析 1 ? sin 200 ? 1 ? sin 200 = 1 ? sin 20 ? 1 ? sin 20 = (sin10 ? cos10 ) ? (sin10 ? cos10 )

=

sin 10? ? cos10? ? sin 10? ? cos10?

? ? ? ? ? = cos10 ? sin 10 ? (sin10 ? cos10 ) ? ?2 sin 10 ,故选 B.

答案

B

B.能力提升
f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2
1.函数

x 2 的一个单调增区间是( (0, ) 3 C.

)

? 2? ( , ) A. 3 3

( , ) B. 6 2 f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2

? ?

?

(?
D.

? ?

, ) 6 6

解析

函数

x 2 = cos2 x ? cos x ?1 ,从复合函数的角度看,原函
2

1 t ? [?1 , ] 2 时,g (t ) 为减函数, 数看作 g (t ) ? t ? t ?1 ,t ? cos x , 对于 g (t ) ? t ? t ?1 , 当
2

1 ? 2? 1 1 t ? [ ,1] x?( , ) t ? (? , ) g ( t ) 2 时, 3 3 时, t ? cos x 减函数,且 2 2 ,∴ 当 为增函数,当
原函数此时是单调增,故选 A. 答案 A
tan(

?
4

2. 已知
3

??) ? 2

,则 sin 2? 等于 (
? 3


4

A. 5

B. 5

C. 5
2 sin ? ? cos?

D. 5
2 tan? 2?

?

4

解析 选 A. 答案

tan(

?
4

? ? ) ? 2,

1 ? tan? 1 ? 2, tan? ? . 1 ? tan? 3

1 3 ? 3. sin 2? ? ? ? 2 2 2 1 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? ( ) 2 5 3 故

A

sin ? ? cos ? ?
3.已知

1 ? 3? ≤? ≤ 5 ,且 2 4 ,则 cos 2? 的值是
sin ? ? cos ? ?



解析

本题只需将已知式两边平方即可 . ∵

1 5 , ∴两边平方得:

sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? ?

1 1 1 ? sin 2? ? 25 ,即 25 ,

sin 2? ? ?


24 7 ? 2 25 .?cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? 25 .

?
答案

7 25

4.若

,则

=________.

解析 ∵

, ∴

.

原式 答案

.

? cos

?
2
? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

5.已知 cos ? ?

(1)求 tan 2? 的值. (2)求 ? .
4 3 ?1? 1 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? cos ? ? , 0 ? ? ? 7 . ?7? 7 2 ,得 解析 (1)由
2

2 tan ? 2? 4 3 8 3 tan 2? ? ? ?? sin ? 4 3 7 2 2 1 ? tan ? 1 ? 4 3 47 tan ? ? ? ? ?4 3 cos ? 7 1 ∴ ,于是 .

?

?

0?? ? ? ?
(2)由

?
2 ,得

0 ?? ?? ?

?
2.
2

3 3 ? 13 ? 13 sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? 14 . ? 14 ? 14 ,∴ 又∵


? ? ? ? ?? ? ? ?



? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? 7 14 7 14 2 .

1 13 4 3 3 3

1

??
所以

?
3. ? ?? ? ? 1 ? ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期,a ? ? tan ? ? ? ? ?, ?1 , ? ?? 4 ? ? ? ? ? ?

6. 已知 0 ? ? ?

b ? (cos ?, 2) ,且 a b ? m .求

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

π? ? f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 8 ? 的最小正周期,故 ? ? π . ? 解析 因为 ? 为 1 ? ? a · b ? cos ? · tan ? ? ? ? ? ? 2 4 ? · b ? m ,又 ? 因为 a .

1 ? ? cos ? · tan ? ? ? ? ? ? m ? 2 4 ? ? 故 .
π 4 ,所以

0 ?? ?
由于

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2 π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? · tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) 1 ? tan ? 4? ? .


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