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江苏省洪泽中学2013-2014学年高一下学期期末检测(数学)


江苏省洪泽中学 2013-2014 学年高一下学期期末检测(数学)

数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:160 分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案填写 在答题纸相应位置上. 1、不等式 (1 ? x)(x ? 1) ? 0 的解集为 ▲ 。 ▲ 。 ▲ 。 ▲ 。 ▲ 。

2、cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为

3、已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? a13 ? 10,则 a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ?

4、已知点 (?3,?1) 和 (4,?6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的同侧,则 a 的取值范围为 5、各项为正项的等比数列 ?a n ? 中 a 5 ,

1 a ? a 2 ? a3 a 7 , a 6 成等差数列,则 1 ? 2 a 2 ? a3 ? a 4

6、已知-7, a1 , a2 ,-1 四个实数成等差数列,-4, b1 , b2 , b3 ,-1 五个实数等比 数 列 ,则

a2 ? a1 = b2





7、等比数列 ?a n ? 中, S n 为 ?a n ? 的前 n 项和,且 S 4 ? 3, S 8 ? 12 ,则 S12 ? 8、 若不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ??
2

▲ 。

? 1 1? 2 则不等式 x ? bx ? a ? 0 的解集为 ▲ 。 ,? ? , 2 3 ? ?

9、若 ?ABC 的一个内角为 120 ,且三边长构成公差为 4 的等差数列,
?

则 ?ABC 的面积为





10、数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? ?

?an ? 3?n为奇数? ?3an

?n为偶数?

,则 a6 ?





11、在数列{ an }中, a1 = 1, a n ?1 ?

2a n * ( n∈N ),则 a2011 等于 2 ? an



.

12、已知 a ? Z ,关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的解集中有且仅有 3 个整数,则所有 符合条件的 a 的值之和是 ▲ .

1

13、已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一 最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 ▲ . 14. 把数列 ?

? 1 ? ? 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第 2 ?n ? n ?

四个括号四个数,……按此规律下去, 即(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) , ( , ) , ( , , ) , ( , , , ), 2 20 42 30 56 72 90 110 6 12


则第 10 个括号内各数字之和为

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,若 3a ? 2b sin A . (1)求角 B 的大小; (2)若 ?ABC 是非钝角三角形,且 b ? 3, a ? c ? 3, a ? c 求 a、c 的值.

16、 (本题 14 分)已知 ?a n ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? ?10 ,且 a 2 , a 4 , a5 成等比数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若 a ? 0 ,求数列

?a

an ?12

?的前 n 项和 S .
n

2

17、 (本小题满分 14 分) 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离 叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车速 v(km/h)满足下列 nv v2 关系:s= + (n 为常数,且 n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中 100 400
?6<s1<8 ? . ?14<s2<17

(1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?

18、 (本小题满分 16 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn

3

19、 (本题 16 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x) ? e x ,其中 e 是自然数的底数, a ? R , (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? (a ? 1)e x ; (2)若当 x ?[?1,1] 时,不等式 f ( x) ? (2ax ? 1) ? e x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 0 时,试判断:是否存在整数 k,使得方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? ex ? x ? 2 在 [k , k ? 1] 上有解?若存在,请写出所有可能的 k 的值;若不存在,说明理由。

20.(本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ? 为 Tn ,求使不等式 Tn ? (3)设 f (n) ? ?

1 2 11 n ? n (n ? N? ) . 2 2

1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和 (2an ? 11)(2an ? 9)

k ? 对一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值; 2013

? (n ? 2k ? 1 , k ? N? ), ?an , ? 是否存在 m ? N ,使得 ? ? ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ),

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

4

江苏省洪泽中学 2013-2014 学年高一下学期期末检测(数学)

数学试卷答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1、 (??,?1) ? (1,??) 2、 3、25 4、 (﹣∞,﹣7)∪(24,+∞) 5、

5 ?1 2

6、 -1

39 7、

8、 (2, 3)

9、 15 3

57 10、

11、

1 12、 21 1006

13、 ? ?30, ?27?

14、

5 1288

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、⑴ B ?

?
3



2? (少一解扣 2 分)……………6 3

16、 (本题 14 分)

0 ⑴设等差数列 ?a n ? 的公差为 d (d ? 0) 据条件解出 d ? 2或d ? (舍去) ………………4 分
所以 an ? 2n ? 12 ⑵由(1)知, a n ? 2n ? 12 当 a =1 时,数列 a ……………6 分 所以 a
an ?12

? a 2 n (a ? 0) ?n
………………8 分

?

an ?12

?的前 n 项和 S

n

当 a ? 1 时,令 bn ? a 所以

an ?12

? a 2 n (a ? 0) ,则 bn ?1 ? a 2 n ? 2 .

bn ?1 a 2 n ? 2 ? 2 n ? a 2 (n ? N * ) bn a

故 ?bn ? 为等比数列,所以 ?bn ? 的前 n 项和 S n ?
5

a 2 (1 ? a 2 n ) .…………………13 分 1? a2

?n, a ? 1, ? 综上, S n ? ? a 2 (1 ? a 2 n ) ……………………………14 分 , a ? 0 且 a ? 1 . ? ? 1? a2
17、 (本小题满分 14 分)

?6<100+ 400 <8 解:(1)依题意得? 70n 4 900 ?14<100+ 400 <17
又 n∈N,所以 n=6.
2

40n 1 600

5<n<10 ? ? ,解得?5 95 , ?2<n<14 ?

……………7 分

3v v (2)s= + ≤12.6?v2+24v-5 040≤0 …………10 分 50 400 -84≤v≤60, 因为 v≥0,所以 0≤v≤60, 即行驶的最大速度为 60 km/h. 18. (本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ) …………14 分

an?1 ? 2Sn ,? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?

Sn ?1 ? 3. Sn



S1 ? a1 ? 1 ,? 数列 ?Sn ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* ) .

当 n ≥ 2 时, an ? 2S n?1 ? 2 ? 3n?2 (n ? 2) ,∴ a n ? ? ( Ⅱ ) Tn ? a1 ? 2a 2 ? 3a ?3

?1, n ? 1 ?2 ? 3
n?2

,n ? 2

? nan , 当 n ? 1 时 , T1 ? 1 ; 当 n ≥ 2 时 ,

Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ? ? 2n ? 3n?2 , 3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n?1 ,
① ? ② 得: ? 2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n?2 ) ? 2n ? 3n?1
=2+2 ?

3(1 ? 3 n ? 2 ) ? 2n ? 3 n ?1 1? 3
n ?1

=-1+(1-2n ) ? 3

. ?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) .又 T1 ? a1 ? 1也满足上式, 2 ? 2?
6

?Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

19、 (本小题满分 16 分) (1)

1 a ?1 当0 ? a ? 时,原不等式的解集为 ( ,?1); 2 a 1 当a ? 时,解集为?; 2 1 a ?1 当a ? 时,解集为(? 1, ) 2 a

? ?a ? 0 ? a ? 0, ? 2 ? ③若 a ? 0 ,则需满足 ? g ( ?1) ? 0, ,即 ? a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 , 3 ? g (1) ? 0 ? 2 ? ?a ? ? 3 ? 2 综上所述,a 的取值范围是 ? ? a ? 0 。 3 x x (2)方程即为 e ? x ? 2 ? 0 ,设 h( x) ? e ? x ? 2 , x 由于 y ? e 和 y ? x ? 2 均为增函数,则 h( x) 也是增函数,
又因为 h(0) ? e ? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 , h(1) ? e ? 1 ? 2 ? e ?1 ? 0 ,
0 1

所以该函数的零点在区间 (0,1) 上,又由于函数为增函数,所以该函数有且仅有
x 一个零点,所以方程 e ? x ? 2 ? 0 有且仅有一个根,且在 (0,1) 内,所以存在唯 一的整数 k ? 0 。 20. (本小题满分 16 分)

解: (1)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 6

…………… 1 分

7

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( n ?
2

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 .…… 2 分 2 2 2
………………4 分

而当 n ? 1 时, n ? 5 ? 6

∴ an ? n ? 5 .
(2) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2an ? 9) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? … ? cn ?

1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) ? ( ? ) ? … ?( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
………………7 分

∵ Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

∴ Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? T1 ?


1 . 3

………………8 分

1 k ? ,得 k ? 671 ,所以 kmax ? 670 . 3 2013

……………… 10 分

? (若由对一切 n ? N ,都有 cn ? 0 ,得 (Tn ) min ? T1 ?

1 ,同样给分) 3

? ?n ? 5, (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ( n ? 2k ? 1 , k ? N ? ) ? ?an , (3) f (n) ? ? =? ? * ?3n ? 2, ( n ? 2k , k ? N ) ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ) ? ?
………… 11 分 (1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数,

∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 .
………………13 分

(2)当 m 为偶数时, m ? 15 为奇数, ∴ m ? 20 ? 15m ? 10 , m ?

5 ? N? (舍去) . 7
………… 15 分

综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f (m ? 15) ? 5 f ( m) 成立. ……………………1 6 分

江苏省洪泽中学 2013-2014 学年高一下学期期末检测(数学)
8

数学试卷答题纸
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1、 3、 5、 7、 9、 11、 13、 2、 4、 6、 8、 10、 12、 14、

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题满分 14 分)

16、 (本小题满分 14 分)
9

17、 (本小题满分 14 分)

18、 (本小题满分 16 分)
10

19、 (本小题满分 16 分)

20、 (本小题满分 16 分)
11


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