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2014-2-11圆锥曲线知识点归纳


2014-2-11 圆锥曲线知识点归纳 椭圆的定义、性质及标准方程
1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数

e(0 ? e ? 1)

,则动点 M 的轨迹叫做椭圆。
定点 F 是椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率。 说明:①若常数 2a 等于 2c ,则动点轨迹是线段 F1 F2 。 ②若常数 2a 小于 2c ,则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质: 标准方程
x2 y2 焦点 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心在原点, a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

在 x 轴上

中心在原点,焦点在 y 轴上

图形

范围 顶点

x ? a, y ?b
A1 ? ? a, 0 ? 、A2 ? a, 0? B1 ? 0, ? b ? 、B2 ? 0,b ?

x ? b, y ?a
A1 ? 0, ? a ? 、A2 ? 0,a ? B1 ? ?b, 0 ? 、B2 ? b, 0?

对称轴

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上
F1 ? ?c, 0 ?、F2 ? c, 0?
F1 F2 ? 2c(c ? 0)

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上
F1 ? 0, ? c ?、F2 ? 0,c ?

焦点 焦距 离心率 准线

F1 F2 ? 2c(c ? 0)

e?

c (0 ? e ? 1) a
x?? a2 c

e?

c (0 ? e ? 1) a
y?? a2 c

参数方程与普 通方程

x2 y 2 ? ? 1的参数方程为 a 2 b2
? x ? a cos ? ?? 为参数 ? ? ? y ? b sin ?

y 2 x2 ? ? 1 的参数方程为 a 2 b2
? y ? a cos ? ?? 为参数 ? ? ? x ? b sin ?

1

3. 焦半径公式: 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式:椭圆焦点在 x 轴上时,设 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,P ? x0,y0 ? 是 椭圆上任一点,则 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 。 推导过程:由第二定义得

PF1 d1

? e ( d1 为点 P 到左准线的距离) ,

则 PF1 ? ed1 ? e ? x0 ?

? ?

a2 ? ? ? ex0 ? a ? a ? ex0 ;同理得 PF2 ? a ? ex0 。 c ?

简记为:左“+”右“-” 。 由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 若焦点在 y 轴上,则为

y 2 x2 ? ? 1 。有时为了运算方便,设 mx 2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, m ? n) 。 a 2 b2

判定直线与椭圆位置关系的非常规方法
x2 y2 定理 1: 设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 的左、右焦点,点 P a b

是直角坐标平面中的任意一点,则 (1) PF1 ? PF2 ? 2a ? 点 P 在椭圆上. (2) PF1 ? PF2 ? 2a ? 点 P 在椭圆外. (3) PF1 ? PF2 ? 2a ? 点 P 在椭圆内. 证明:(1)由椭圆的定义直接可得这个结论. (2)1)当点 P 在椭圆外时: 如图,连结 PF1 交椭圆于点 M, 则 PF1 ? PF2 ? PM ? MF1 ? PF2 > MF1 ? MF2 ? 2a 即 PF1 ? PF2 ? 2a 成立. 即:点 P 在椭圆外 ? PF1 ? PF2 ? 2a (3)1)当点 P 在椭圆内时: 如图,连结 F1 P 并延长交椭圆于点 M,

2

则 PF1 ? PF2 ? MF1 ? MP ? PF2 < MF1 ? MF2 ? 2a 即 PF1 ? PF2 ? 2a 成立. 即:点 P 在椭圆内 ? PF1 ? PF2 ? 2a (2)2)当 PF1 ? PF2 ? 2a 时: 若点 P 在椭圆上,则有 PF1 ? PF2 ? 2a 得矛盾 若点 P 在椭圆内,则有 PF1 ? PF2 ? 2a 得矛盾 ∴点 P 在椭圆外. 即 PF1 ? PF2 ? 2a ? 点 P 在椭圆外. (3)2)同理可得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 点 P 在椭圆内. 定理 2:设直线 l 上的动点 P 到椭圆 C : 离和的最小值为 m ,则 (1) m ? 2a ? 直线 l 和椭圆 C 相切; (2) m ? 2a ? 直线 l 和椭圆 C 相离; (1) m ? 2a ? 直线 l 和椭圆 C 相交; 证明: (1)直线 l 和椭圆 C 相切
x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? 两焦点 F1 、 F2 的距 a2 b2

? 直线 l 和椭圆 C 有且仅有一个公共点 ? 直线 l 上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外 ? PF1 ? PF2 的最小值为 2a ? m ? 2a
(2) 直线 l 和椭圆 C 相离

? 直线 l 上的所有点都在椭圆 C 的外部 ? PF1 ? PF2 ? 2a 恒成立 ? m ? 2a
(3) 直线 l 和椭圆 C 相交

3

? 直线 l 上至少存在一点 P 在椭圆 C 的内部 ? 直线 l 上至少存在一点 P 使 PF1 ? PF2 ? 2a 成立 ? m ? 2a
注:容易验证对于焦点在 y 轴上的椭圆,上述结论也成立. 定理 3:已知:直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A2 ? B 2 ? 0) 椭圆 C :
a, b ? R ? ,则

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(1) ? ? a 2 A2 ? b 2 B 2 ? c 2 ? 0 ? 直线l和椭圆相交 ; (2) ? ? a 2 A2 ? b 2 B 2 ? c 2 ? 0 ? 直线l和椭圆相切; (3) ? ? a 2 A2 ? b 2 B 2 ? c 2 ? 0 ? 直线l和椭圆相离 。
? x ? ax' 证明:作坐标变换: ? 则在新坐标系 x' o' y' 中 ? y ? by'

椭圆 C 变成曲线 C ' 的方程为: x' 2 ? y ' 2 ? 1 (已化为单位圆) , 直线 l 变成直线 l ' 的方程为 aAx' ? bBy' ? c ? 0 , 易见坐标变换前后直线和曲线的位置关系(公共点的个数) 保持不变; 在 x' o' y' 中,由于圆心 o ' 到直线 l ' 的距离 d ? ∴ 直线l 和椭圆 C 相交 ? l ' 和单位圆 o ' 相交
|c| a A2 ? b 2 B 2
2

? d ? 1 ? a 2 A 2 ? b 2 B 2 ? c 2 ? ? ? a 2 A2 ? b 2 B 2 ? c 2 ? 0
同理: ? ? 0 ? 直线l 和椭圆 C 相切 ////////// ? ? 0 ? 直线l 和椭圆 C 相离 例 1 已知 : 椭圆 C 以两坐标轴为对称轴,焦点在 x 轴上,且与两直线
x ? y ? 5 ? 0和x ? 4 y ? 10 ? 0 均相切,求:椭圆 C 的方程。

解:设椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 a2 b2

∵椭圆和直线 x ? y ? 5 ? 0 相切

∴由定理 3 可知: ?1 ? a 2 ? b 2 ? 25
4

又∵椭圆和直线 x ? 4 y ? 10 ? 0 相切
2 2 ? ?a ? b ? 25 由? 2 2 ? ?a ? 16b ? 100 2 ? ?a ? 20 解得 ? 2 ? ?b ? 5

∴ ? 2 ? a 2 ? 16b 2 ? 100 ∴椭圆的方程为:
x2 y2 ? ?1 20 5

双曲线的定义、方程和性质
知识要点: 1. 定义 (1)第一定义:平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定长 2a(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线。 说明: ①||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)是双曲线; 若 2a=|F1F2|,轨迹是以 F1、F2 为端点的射线;2a>|F1F2|时无轨迹。 ② 设 M 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 若 M 点 在 双 曲 线 右 边 一 支 上 , 则 |MF1|>|MF2| , |MF1|-|MF2|=2a ; 若 M 在 双 曲 线 的 左 支 上 , 则 |MF1|<|MF2| , |MF1|-|MF2|=-2a , 故 |MF1|-|MF2|=± 2a,这是与椭圆不同的地方。 (2)第二定义:平面内动点到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e(e>1) 的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线 L 叫相应的准线。 2. 双曲线的方程及几何性质 标准方程
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

图形

焦点 顶点 对称轴

F1(-c,0) ,F2(c,0) A1(a,0) ,A2(-a,0) 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 x 轴上, c2=a2+b2

F1(0,-c) ,F2(0,c) A1(0,a) ,A2(0,-a) 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 y 轴上, c2=a2+b2

离心率

e?

c | MF2 | ? a | MD |
a2 a2 , l2 : x ? ? c c

e?

c | MF2 | ? a | MD |
a2 a2 , l2 : y ? ? c c 2a 2 c

l1 : x ?

l1 : y ?

准线方程

准线间距离为 渐近线方程

2a 2 c

准线间距离为

x y x y ? ? 0, ? ? 0 a b a b

x y x y ? ? 0, ? ? 0 b a b a

3. 几个概念 (1) 等轴双曲线: 实、 虚轴相等的双曲线。 等轴双曲线的渐近线为 y=± x, 离心率为 2 。
5

(2)

共轴双曲线: 以已知双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴 双曲线,例:

x2 y2 x2 y2 的共轴双曲线是 ? ? ?1 。 ? ? 1 a2 b2 a2 b2

① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线,不一定是 共轴双曲线;②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 为抛 物线的焦点,定直线 l 为抛物线的准线。 注:① 定义可归结为“一动三定” :一个动点设为 M ;一定点 F (即焦点) ;一定直 线 l (即准线) ;一定值 1(即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比 1) ② 定义中的隐含条件:焦点 F 不在准线 l 上。若 F 在 l 上,抛物线退化为过 F 且垂直 于 l 的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨 迹,当 0 ? e ? 1 时,表示椭圆;当 e ? 1 时,表示双曲线;当 e ? 1 时,表示抛物线。 ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将 抛物线上的动点到焦点距离 (称焦半径) 与动点到准线距离互化, 与抛物线的定义联系起来, 通过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程 1.抛物线标准方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立 直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更 为简单,便于应用。 2.四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因 此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为:

y 2 ? ?2 px? p ? 0? , x 2 ? ?2 py? p ? 0? ,其中: ① 参数 p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正值; p 值越大, p 张口越大; 等于焦点到抛物线顶点的距离。 2
②标准方程的特点:方程的左边是某变量的平方项,右边是另一变量的一次项,方程右 边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向, 即对称轴为 x 轴时,方程中的一次项变量就是 x , 若 x 的一次项前符号为正,则开口向右, 若 x 的一次项前符号为负,则开口向左;若对称轴为 y 轴时,方程中的一次项变量就是 y , 当 y 的一次项前符号为正,则开口向上,若 y 的一次项前符号为负,则开口向下。 三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物 线标准方程. ① 待定系数法:因抛物线标准方程有四种形式,若能确定抛物线的形式,需一个条件 就能解出待定系数 p ,因此要做到“先定位,再定值” 。 注:当求顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线时,若不知开口方向,可设为 y ? ax
2

或 x ? ay ,这样可避免讨论。 ② 抛物线轨迹法:若由已知得抛物线是标准形式,可直接设其标准式;若不确定是否 是标准式,由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法求之。
2

6

四、抛物线的简单几何性质 方程 性质
2

设抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 范围 对称性 关于 x 轴对称 顶点 原点 离心率 准线 通径

焦点

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

x?0

e ?1

x??

p 2

2p

注:① 焦点的非零坐标是一次项系数的

1 ; 4

② 对于不同形式的抛物线,位置不同,其性质也有所不同,应弄清它们的异同点, 数形结合, 掌握方程与有关特征量, 有关性质间的对应关系, 从整体上认识抛物线及其性质。 五、直线与抛物线有关问题 1.直线与抛物线的位置关系的判断:直线与抛物线方程联立方程组,消去 x 或 y 化得 形如 ax ? bx ? c ? 0 (*)的式子: ① 当 a ? 0 时, (*)式方程只有一解,即直线与抛物线只有一个交点,此时直线与抛 物线不是相切,而是与抛物线对称轴平行或重合; ② 当 a ? 0 时,若△>0 ? (*)式方程有两组不同的实数解 ? 直线与抛物线相交; 若△=0 ? (*)式方程有两组相同的实数解 ? 直线与抛物线相切; 若△<0 ? (*)式方程无实数解 ? 直线与抛物线相离.
2

2.直线与抛物线相交的弦长问题 ① 弦长公式:设直线交抛物线于 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? 1 ? k AB ? x A ? x B
2

或 AB ? 1 ?

1 ? y A ? yB . k2

② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理: 抛物线 y ? ?2 px? p ? 0? 上一点 M ?x0 , y 0 ? 的焦半径长是 MF ? ? x0 ?
2

p ,抛物线 2

x 2 ? ?2 py? p ? 0? 上一点 M ?x0 , y0 ? 的焦半径长是 MF ? ? y0 ?
六、抛物线焦点弦的几个常用结论
2

p 2

斜角为 ? ,则

设 AB 为过抛物线 y ? ?2 px? p ? 0? 焦点的弦,设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,直线 AB 的倾

p2 , y1 y 2 ? ? p 2 ; ① x1 x 2 ? 4 2p ② AB ? ? x1 ? x2 ? p ; sin 2 ? ③以 AB 为直径的圆与准线相切;
④弦两端点与顶点所成三角形的面积 S ?AOB ? ⑤

p2 ; 2 sin ?

1 1 2 ? ? ; FA FB p

⑥ 焦点 F 对 A 、 B 在准线上射影的张角为 900; 七、抛物线有关注意事项 1.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,采用“设
7

而不求”或“点差法”等方法,能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相 交问题时不能忽视 ? ? 0 这个条件。 2.解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时,多从抛物线的定义出发,实现抛物线 上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化,并应注意焦点弦的几何性质.

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