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3.1.1《直线的倾斜角与斜率


3.1.1《直线的倾斜角与 斜率》

? ? ? ? ? ? ? ?

学习目标: 1.掌握倾斜角和斜率的概念 2.理解倾斜角和斜率之间的关系 3.掌握经过两点的直线的斜率公式,并会应用公 式解题。 学习重点: 倾斜角和斜率的的意义,斜率的公式及其应用。 学习难点: 斜率意义的理解。

探究一、直线的倾斜角
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y l O

x

我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y l O

P

x

1.倾斜角的定义:当直线 l 与x轴相交时,我 们取x轴作为基准,x轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 .
y l

O

x

练习:
下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违 背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

?

o

x

?
o
(D )

x

(A)

(B)

(C)

2、直线倾斜角的范围:
思考? 直线的倾斜角范围是多少?

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y p o

l

y p o

l

y o p?

y

? x

?

p

x

x

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
直角

90°< ? <180° ? = 0°

锐角

钝角

零度角

2、直线倾斜角的范围:
思考? 直线的倾斜角范围是多少?
0o

? ? 答:直线的倾斜角的取值范围为: 0 ? a ? 180

规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它 o 0 的倾斜角为 .

3.确定直线的要素

如图,直线 l 与直线 l ?有什么共同点? 这两条直线是一样的吗?也就是说一点 不能确定一条直线
直线 l 与直线 l??有什么共同 点?它们是同一条直线吗? 也就是说倾斜角不能确定一 条直线

l? y

l??

l

O

x

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l
O P x

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾

斜角与它对应。



2、每一个倾斜角都对应于唯一的
一条直线。
说明 ……



探究二、直线的斜率
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

1.斜率的定义:一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率.
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

2.思考: 是否每条直线都有斜率?
(1). 如果倾斜角是锐角? (2). 如果倾斜角是直角? (3). 如果倾斜角是钝角? k

k ? tan a
k不存在

? tan ? ? ? tan(180? ? a) ?0

(4). 如果倾斜角是零度角? k

例1: 已知直线的倾斜角,求直线的斜率 ? ? 1. a ? 30 2. a ? 135 3.

a ? 60

?

4.

a ? 90

?

? ? ? ? ?

变式:已知直线的斜率,求其倾斜角 (1) k ? 0 (2) k ? 1 (3) k ? ? 3 (4) k不存在

3、探究:由两点确定的直线的斜率
倾斜角是锐角时
y
y2
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为锐角时,

k ? tan ?

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

能不能构造 ? ?? P 一个直角三 2 PQ 1 且x 角形去求? ?x ,y ? y
1 2 1

2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )

?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?
1、当
y
P2 ( x2 , y2 )

p1 p 2 的位置对调时, k
P 1 ( x1 , y1 )

值又如何呢?
P 1 ( x1 , y1 )

?

y

Q( x2 , y1 )

? o

?

(3)

x

o

Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

请同学们课后推导!

思考?
? 2、当直线平行于x轴,或与 x 轴重合时, ? ?0 上述公式还适用吗?为什么?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

k ?0

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,k =0

思考?
? ? 轴重合时, 3、当直线平行于 y 轴,或与 y ? ? 90 , tan90 (不存在) 上述公式还适用吗?为什么?

k不存在

y

y2 y1

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P1 P1 P2

三、典型例题
例2 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1),求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

点拨:已知点的坐标,代入斜率 公式求值,根据正负值判断角。 注意点的顺序对应一致。

变式(1)A(3,2),B(-4,2) ,C(3,-1),求直 线AB,BC,CA的斜率

(2)若D(1,m)与点A,B共线,求m

例3 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4 . y A l l
3
3

1

点拨:已知直线过一点及斜率,可 用斜率公式得出过该直线任一点横 坐标与纵坐标的关系,找出满足条 件的任意一点,画出直线。

A1

A2

x
l2

l4 A4

四、小结:
1、这节课你收获了什么内容?

2.你学到了什么数学思想?

巩固与测试
1.下列叙述中不正确的是( ) A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都唯一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0度或90度 D.若直线的倾斜角为? , 则直线的斜率为tan ? 2.经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角是( ) o A.45o B. 135 C. 90o D. 60o 3.过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1,则m的 值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4.直线经过二、三、四象限,l 的倾斜角为? ,斜率为k,则 ?为 k的取值范围是_______ 角,


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