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高中数学培优竞赛高一测试卷


苏州大学数学科学学院之“苏大天元教育”

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高中数学培优竞赛高一检测卷
学校: 一、填空题: (每小题 5 分,共 40 分) 姓名:
3 2

成绩:_______ 时, f ( x ) ? x ,则 f (2015) .
x

>1.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? ? f ( x ) ,当 0 ? x ? 2.若非零实数 x , y 满足 2 ? 1 8 ? 6 ,则 x ? y ?
x y xy





3.已知 f ( x ) 是定义域在 (0, ? ? ) 上的单调递增函数,且满足 f (6 ) ? 1 , f ( x ) ? f ( y ) ? f ( )
y
1 ( x ? 0, y ? 0 ) ,则不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 的解集是 x


? ? 1 ? , 6 ? ,若其与 X 轴的两个交点 C , D 的距离满 2 ?

4.二次函数 y ? a x ? b x ? c 的图像经过点 A (3, 6 ) 和 B ? ?
2

足 CD ? 5.

1 2

,则函数的具体表达式为 y ? = .



2 s in 8 0 ? ? c o s 7 0 ? cos 20?

6.三角形 ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, O H ? m ( O A ? O B ? O C ) ,则实数 m= . 7. 定义在区间 ? 0 ,
? ?

????

??? ?

??? ?

????

? ?

过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1, ? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P, 2 ?

直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_________. 8 . 设 数 集 M ? ? a, b, c, ? d, 由 a , b , c , d 两 两 之 和 构 成 集 合 S ? ? 5, 8, 9 ,1 1,1 2 ,1 5 ? , 则 集 合
M ?



二、解答题: 9. (本题满分 10 分)设在区域: x ? 0 , y ? 0 , x ? ?
y 2
f ( 2 0 1 3) 的值. (横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点)

? n ( n ? N * ) 内及周界上的格点个数为 f ( n ) .求

1

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10. (本题满分 15 分)在梯形 ABCD 中,AB//CD,且 AB=92,BC=50,CD=19,AD=70.P 在线段 AB 上,圆 P 与 BC、AD 均相切.若 AP ? 其中 m、n 互质.求 m+n 的值.
m n



D

C

A

P

B

11. (本题满分 15 分)求所有的整数 a ,使得关于 x 的方程 x ? a x ? 6 a ? 0 只有整数解.
2

2

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12. (本题满分 20 分)如图,时钟的表面圆周上有 12 个等分点,顺次标有数字 1, 2, ? ,1 2 .请以这些等分 点为顶点作出 4 个三角形(将这 12 个等分点分为 4 组) ,使得同时满足: (1)任两个三角形没有公共顶点; (2) 每个三角形的三个顶点上所标的数字中, 一数等于另外两个数的和. 试求出所有不同的分组方案. (以 数 a , b , c ( a ? b ? c ) 为顶点的三角形用 ( a , b , c ) 表示) .

3

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苏州大学 2013 年寒假培优检测卷(高一)答案
出卷:何爱君 时间:120 分钟 满分 100 分 姓名:
3 2

学校: 一、填空题: (每小题 5 分,共 40 分)

评价: 时, f ( x ) ? x ,则 f (2015) = -1 .

1.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? ? f ( x ) ,当 0 ? x ? 解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴ f(x)的周期为 6 f(2015)=f(6× 337-1)=f(-1)=-f⑴=-1 2.若非零实数 x , y 满足 2 ? 1 8 ? 6 ,则 x ? y ?
x y xy

2



解: 2 ? (6 ) ? 6 ? 2 ? y ? lo g 6 2
x y x y

1 8 ? (6 ) ? 6 ? 1 8 ? x ? lo g 6 1 8
y x y x

所以 x ? y ? 2 3.已知 f ( x ) 是定义域在 (0, ? ? ) 上的单调递增函数,且满足 f (6 ) ? 1 , f ( x ) ? f ( y ) ? f ( )
y
1 ( x ? 0, y ? 0 ) ,则不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 的解集是 x

x

{x 0 ? x ?

?3 ? 3 17 2

}



答案: { x 0 ? x ?
? x ( x ? 3) ? 6 ? . 6 ? ?x ? 0 ?

?3 ? 3 17 2

1 } . 由 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 f ( 6 ) 及单调性,知 f ( x ( x ? 3) ? f (6 )) ? f (6 ) ,得 x

4.二次函数 y ? a x ? b x ? c 的图像经过点 A (3, 6 ) 和 B ? ?
2

? ?

1

? , 6 ? ,若其与 X 轴的两个交点 C , D 的距离满 2 ?

足 CD ?

1 2

,则函数的具体表达式为 y ?
2

y ? 2x ? 5x ? 3
2



答案: y ? 2 x ? 5 x ? 3 . 解:由条件得 y ? 6 ? a ( x ? 3)( x ?
y ? ax ?
2

1 2

) ,于是二次函数 y ? a x ? b x ? c 又可表为
2

5a 2
2

x?

3a 2

? 6 ,设其两根为 x1 , x 2 ,有 x1 ? x 2 ?
2

5 2
2

, x1 ? x 2 ?

1 2

, x1 x 2 ?

6 a

?

3 2



据 ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ,得 a ? 2 ,代入得 y ? 2 x ? 5 x ? 3 . 5.
2 s in 8 0 ? ? c o s 7 0 ? cos 20?
2 sin( 20
o


o o

3
?


3 cos 20
o

解:原式=

? 60 ) ? sin 20 cos 20
o

? sin 20 cos 20
o

o

? sin 20

o

?

3

6.三角形 ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, O H ? m ( O A ? O B ? O C ) ,则实数 m= 1 . 解:延长 BO 交圆于 G,证 AHCG 为平行四边形. O B ? O C ? 2 O M ? G C ? A H
??? ? ???? ???? ? ???? ????

????

??? ?

??? ?

????

4

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7. 定义在区间 ? 0 ,
?

?

? ?

过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1, ? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P, 2 ?
2 3

直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_____

____.

8 . 设 数 集 M ? ? a , b , c , d ? , 由 a , b , c , d 两 两 之 和 构 成 集 合 S ? ? 5, 8, 9 ,1 1,1 2 ,1 5 ? , 则 集 合 M ?

?1, 4 , 7 , 8 ? 或 ? 2, 3, 6, 9 ?


2

解:设 a ? b ? c ? d ,由于集 S 中有 6 ? C 4 个元,即知 a , b , c , d 两两的和互不相同, 因 a ? b ? a ? c ? a ? d ? b ? d ? c ? d ,且 a ? c ? b ? c ? b ? d ,只有两种情况:

?1 ? . a ? d

? b ? c ,则 ( a ? b , a ? c , a ? d , b ? c , b ? d , c ? d ) ? ? 5, 8, 9,1 1,1 2,1 5 ? ,由

c ? b ? 3, b ? c ? 1 1 ,得 b ? 4, c ? 7 ,进而得 a ? 1, d ? 8 , ? a , b , c , d ? ? ?1, 4, 7 , 8? ;

?2? .b ? c ?
二、解答题:

a ? d ,则 ( a ? b , a ? c , b ? c , a ? d , b ? d , c ? d ) ? ? 5, 8, 9,1 1,1 2,1 5 ? ,于是

c ? b ? 3, b ? c ? 9 ,得 b ? 3, c ? 6 ,进而得 a ? 2 , d ? 9 , ? a , b , c , d ? ? ? 2 , 3, 6 , 9 ? .

9. (本题满分 10 分)设在区域: x ? 0 , y ? 0 , x ? ?

y 2

? n ( n ? N * ) 内及周界上的格点个数为 f ( n ) .求

f ( 2 0 1 3) 的值. (横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点)

解:设 A ( n , 0 ), B (0, 2 n ), C ( n , 2 n ) 区域 x ? 0 , y ? 0 , x ? ?
y 2 ? n ( n ? N * ) 对应 ? O A B 及其内部

在矩形 OACB 及内部共有 ( n ? 1)( 2 n ? 1) 个格点 对角线 AB 上共有 n ? 1 个格点 所以在 ? O A B 及其内部格点数为
2

( n ? 1)( 2 n ? 1) ? ( n ? 1) 2

? ( n ? 1) ? ( n ? 1)

2

所以 f ( 2 0 1 3) ? 2 0 1 4 ? 4 0 5 6 1 9 6 注:答案为 2 0 1 4 也视为完全正确.
2

10. (本题满分 15 分)在梯形 ABCD 中,AB//CD,且 AB=92,BC=50,CD=19,AD=70.P 在线段 AB 上,圆 P 与 BC、AD 均相切.若 AP ? 其中 m、n 互质.求 m+n 的值.
m n



D

C

A
法一:延长 ADBC 交于 S,连结 SP 由
DC AB ? SD SA

P

B



19 92

?

SD SD ? 70

,所以 S D ?

19 ? 70 73

同样可得 S C ?

19 ? 50 73
5

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所以

SD SC

?

SA SB

?

AP PB

?

7 5

所以 A P ? 9 2 ?

7 12

?

161 3

,故 m ? n ? 1 6 4

法二:设圆 P 半径为 R,梯形高为 h 由 S 梯 形 ABCD ? S ?APB ? S ?CPD ? S ?BPC 得:
1 ? (1 9 ? 9 2 ) ? h ? 1 2 h AD
92 120 ? 70 ? 161 3

? 70 ? R ?

1 2

?1 9 ? h ?

1 2

? 50 ? R

2 所以 9 2 h ? 1 2 0 R

又 s in A ? 所以 A P ?

R AP
R

?

? AD ?

h 故 m ? n ? 164

11. (本题满分 15 分)求所有的整数 a ,使得关于 x 的方程 x ? a x ? 6 a ? 0 只有整数解.
2

解:设 ( m , n ) 为 x ? a x ? 6 a ? 0 的整数解( m ? n )
2

所以 ? 所以

?m ? n ? ?a ?mn ? 6a

? m n ? ? 6 ( m ? n ) ? ( m ? 6 )( n ? 6 ) ? 3 6

( m ? 6, n ? 6 ) ? (1, 3 6 ), (2,1 8), (3,1 2 ), (4, 9 ), (6, 6 ), ( ? 3 6, ? 1), ( ? 1 8, ? 2 ), ( ? 1 2, ? 3), ( ? 9, ? 4 ), ( ? 6, ? 6 ) 从而
( m , n ) ? ( ? 5, 30), ( ? 4,12), ( ? 3, 6), ( ? 2, 3), (0, 0), ( ? 42, ? 7 ), ( ? 24, ? 8), ( ? 18, ? 9), ( ? 15, ? 10), ( ? 12, ? 12)


, 3


2 ,

a ?

2

? 5

,?

8 ?

,

? 共 10 种情况. 1 3 ,

,

0

,

4

9

12. (本题满分 20 分)如图,时钟的表面圆周上有 12 个等分点,顺次标有数字 1, 2, ? ,1 2 .请以这些等分 点为顶点作出 4 个三角形(将这 12 个等分点分为 4 组) ,使得同时满足: (1)任两个三角形没有公共顶点; (2) 每个三角形的三个顶点上所标的数字中, 一数等于另外两个数的和. 试求出所有不同的分组方案. (以 数 a , b , c ( a ? b ? c ) 为顶点的三角形用 ( a , b , c ) 表示) .

解:设四组数为 ( a i , bi , c i ), i ? 1, 2, 3, 4 , bi ? c i ? a i 不妨设 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ,所以 a 4 ? 1 2
a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 1 2 (1 ? 2 ? ? ? 1 2 ) ? 3 9

所以 a1 ? a 2 ? a 3 ? 2 7 ? 3 a 3 ? 2 7 ? a 3 ? 9 ? a 3 ? 1 0 或 a 3 ? 1 1 (1)当 a 3 ? 1 0 时, a1 ? a 2 ? 1 7 ? a 1 ? 8, a 2 ? 9 所以 ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ? (8, 9,1 0,1 2 ) 只能有 12=11+1 ①10=7+3,9=5+4,8=6+2 ②10=6+4,9=7+2,8=5+3 所以当 a 3 ? 1 0 时有两组解: (12,11,1)(10,7,3)(9,5,4)(8,6,2) , , , 和(12,11,1)(10,6,4)(9,7,2)(8,5,3) , , , (2)当 a 3 ? 1 1 时 a 1 ? a 2 ? 1 6 ? ( a 1 , a 2 ) ? (6,1 0 ) 或 ( 7 , 9 )
1 对于 ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ? (6,1 0,1 1,2 ) 有 3 组解:
6

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(12,8,4)(11,9,2)(10,7,3)(6,5,1) , , , (12,9,3)(11,7,4)(10,8,2)(6,5,1) , , , (12,7,5)(11,8,3)(10,9,1)(6,4,2) , , , 1 对于 ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ? (7 , 9,1 1,2 ) 也有 3 组解: (12,8,4)(11,10,1)(9,6,3)(7,5,2) , , , (12,10,2)(11,6,5)(9,8,1)(7,4,3) , , , (12,10,2)(11,8,3)(9,5,4)(7,6,1) , , , 综上所述共有 8 种不同的方案: (12,11,1)(10,7,3)(9,5,4)(8,6,2) , , , (12,11,1)(10,6,4)(9,7,2)(8,5,3) , , , (12,8,4)(11,9,2)(10,7,3)(6,5,1) , , , (12,9,3)(11,7,4)(10,8,2)(6,5,1) , , , (12,7,5)(11,8,3)(10,9,1)(6,4,2) , , , (12,8,4)(11,10,1)(9,6,3)(7,5,2) , , , (12,10,2)(11,6,5)(9,8,1)(7,4,3) , , , (12,10,2)(11,8,3)(9,5,4)(7,6,1) , , ,

7


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