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椭圆知识点总结


一、椭圆的定义:(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点 F1、 F 2 的距离和等于常数 ? 2 a ? (大于
F 1 F 2 )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

? 2 c ? . (2) 椭圆的第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e ,当
0 ? e ? 1 时,点的轨迹

是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.

椭圆定义的表达式:
PF 1 ? PF 2 ? 2 a ?2 a ? F1 F 2 ? 0 ? ; M ? P PF 1 ? PF 2 ? 2 a , ?2 a ? F1 F 2 ? 0 ? .
x a y a
2 2 2 2

?

?

二、1. 椭圆的标准方程:焦点在 x 轴:

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? ;

焦点在 y 轴:

?

x b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? .

a 是长半轴长, b 是短半轴长,即焦点在长轴所在的数轴上,且满足 a

2

?b ?c .
2 2

2. 方程 Ax ? By
2

2

? C ? A 、 B 、 C 均不为零,且

A ? B ? 表示椭圆的条件:上式化为

Ax C

2

?

By C

2

?1,

x

2

C A

?

y

2

C B

? 1 .所以,只有 A 、 B 、 C 同号,且 A ? B 时,方程表示椭圆;



C A

?

C B

时,椭圆的焦点在 x 轴上;当
x a
2 2

C A

?

C B

时,椭圆的焦点在 y 轴上.

三、椭圆的几何性质(以

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 为例)

1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标 ? x , y ? 都适合不等式

x a

2 2

? 1,

y b

2 2

? 1 ,即

x ? a , y ? b 说明椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主

要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、 x 轴、 y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个: A1 ? ? a , 0 ?、 A 2 ? a , 0 ?、 B 1 ? 0 , ? b ?、 B 2 ? 0 , b ?. 4. 长轴、短轴: A1 A 2 叫椭圆的长轴, A1 A 2 ? 2 a , a 是长半轴长; B 1 B 2 叫椭圆的短轴,
B 1 B 2 ? 2 b , b 是短半轴长.

5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比 e ?

c a

, ?? a ? c ? 0 ,? 0 ? e ? 1 ? (2)

Rt ? OB 2 F 2 , B 2 F 2

2

? OB 2

2

? OF 2

2

,即 a ? b ? c .这是椭圆的特征三角形,并且
2 2 2

cos ? OF 2 B 2 的值是椭圆的离心率.(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在

的坐标轴无关.当 e 接近于 1 时, c 越接近于 a ,从而 b ? 近于 0 时,c 越接近于 0, 从而 b ? 两焦点重合,图形是圆. 6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦) ,通径长为
2b a
2

a ?c
2

2

越小,椭圆越扁;当 e 接

a ?c
2

2

越大, 椭圆越接近圆; e ? 0 时,c ? 0 , a ? b , 当

.

7.设 F1、 F 2 为椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,当 P 、 F1、 F 2 三点不在同一直线上时,
P 、 F1、 F 2 构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知:

PF 1 ? PF 2 ? 2 a , F1 F 2 ? 2 c .


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