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11-12学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数同步练习 新人教A版选修2-2


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选修 2-2
一、选择题 1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么

f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 [答案] C [解析] 导数为 0 的点不一定是极值点,例如 f(x)=x ,f′(x)=3x ,f′(0)=0,但 x =0 不是 f(x)的极值点,故 A 错;由极值的定义可知 C 正确,故应选 C. 2.函数 y=1+3x-x 有( A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 [答案] D [解析] y′=3-3x =3(1-x)(1+x) 令 y′=0,解得 x1=-1,x2=1 当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x 是减函数, 当-1<x<1 时,y′>0,函数 y=1+3x-x 是增函数, 当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x 是减函数, ∴当 x=-1 时,函数有极小值,y 极小=-1. 当 x=1 时,函数有极大值,y 极大=3. 3.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在 x=0 时取得极小值,但 f′(0)不存在. 4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) )
3 3 3 2 3 3 2

1.3.2 函数的极值与导数
)

)

-1-

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C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 只有这一点导数值为 0,且两侧导数值异号才是充要条件. 5.对于函数 f(x)=x -3x ,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] f′(x)=3x -6x=3x(x-2), 令 f′(x)>0, 得 x>2 或 x<0, 令 f′(x)<0, 得 0<x<2, ∴①②错误. 1 6.函数 f(x)=x+ 的极值情况是(
2 3 2

) B.2 个 D.4 个

x

)

A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 [答案] D 1 [解析] f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=±1,

x

函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, ∴当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2. 7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个
-2-

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[答案] A [解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再 减,故函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 8.已知函数 y=x-ln(1+x ),则函数 y 的极值情况是( A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D [解析] ∵y′=1- 2x (x-1) =1- 2 = 2 x +1 x +1 1 2 2(x +1)′ 1+x
2

)

2

令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值,故应选 D. 9.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 C.极大值为 0,极小值为- 27 4 D.极大值为- ,极小值为 0 27 [答案] A [解析] 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1①
3 2

)

f′(1)=0,∴2p+q=3②
由①②得 p=2,q=-1. ∴f(x)=x -2x +x,f′(x)=3x -4x+1 =(3x-1)(x-1), 1 ?1? 4 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1,极大值 f? ?= ,极小值 f(1)=0. 3 ?3? 27 10.下列函数中,x=0 是极值点的是( A.y=-x
3 3 2 2

)
2

B.y=cos x

-3-

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C.y=tanx-x [答案] B 1+cos2x 2 [解析] y=cos x= ,y′=-sin2x, 2 1 D.y=

x

x=0 是 y′=0 的根且在 x=0 附近,y′左正右负,
∴x=0 是函数的极大值点. 二、填空题 11.函数 y= 2x 的极大值为______,极小值为______. x +1
2

[答案] 1 -1 2(1+x)(1-x) [解析] y′= , 2 2 (x +1) 令 y′>0 得-1<x<1,令 y′<0 得 x>1 或 x<-1, ∴当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 12.函数 y=x -6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+4 2
2 3

a-4 2

[解析] y′=3x -6=3(x+ 2)(x- 2), 令 y′>0,得 x> 2或 x<- 2, 令 y′<0,得- 2<x< 2, ∴当 x=- 2时取极大值 a+4 2, 当 x= 2时取极小值 a-4 2. 13.已知函数 y=x +ax +bx+27 在 x=-1 处有极大值,在 x=3 处有极小值,则 a= ______,b=________. [答案] -3 -9 [解析] y′=3x +2ax+b,方程 y′=0 有根-1 及 3,由韦达定理应有
2 3 2

14.已知函数 f(x)=x -3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. [答案] (-2,2) [解析] 令 f′(x)=3x -3=0 得 x=±1, 可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2,
-42

3

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y=f(x)的大致图象如图
观察图象得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 三、解答题 15.已知函数 f(x)=x -3x -9x+11. (1)写出函数 f(x)的递减区间; (2)讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值. [解析] f′(x)=3x -6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3.
2 3 2

x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f′(x) f(x)
(-∞,-1) + 增 -1 0 极大值 (-1,3) - 减 3 0 极小值 (3,+∞) + 增

f(-1)

f(3)

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3); (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为

f(3)=-16.
16.设函数 f(x)=ax +bx +cx,在 x=1 和 x=-1 处有极值,且 f(1)=-1,求 a、b、
3 2

c 的值,并求出相应的极值.
[解析] f′(x)=3ax +2bx+c. ∵x=±1 是函数的极值点,∴-1、1 是方程 f′(x)=0 的根,即有
2

又 f(1)=-1,则有 a+b+c=-1,

1 3 3 此时函数的表达式为 f(x)= x - x. 2 2 3 2 3 ∴f′(x)= x - . 2 2 令 f′(x)=0,得 x=±1.
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当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) +

-1 0 极大 值1

(-1,1) -

1 0 极小 值-1

(1,+∞) +

由上表可以看出,当 x=-1 时,函数有极大值 1;当 x=1 时,函数有极小值-1. 17.已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. [解析] (1)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,
2 3 2

f′(1)=f′(-1)=0,即
解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x -3x,
3

f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故

f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上是增函数.
若 x∈(-1,1),则 f′(x)<0,故

f(x)在(-1,1)上是减函数.
∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x -3x.点 A(0,16)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x0-3x0. ∵f′(x0)=3(x0-1),故切线的方程为
2 3 3

y-y0=3(x2 0-1)(x-x0).
注意到点 A(0,16)在切线上,有 16-(x0-3x0)=3(x0-1)(0-x0). 化简得 x0=-8,解得 x0=-2. ∴切点为 M(-2,-2), 切线方程为 9x-y+16=0. 18.(2010·北京文,18)设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的 3
-63 3 2

a

3

2

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两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. 由 f(x)= x +bx +cx+d 得 f′(x)=ax +2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax +2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.
2

a

3

2

2

(1)当 a=3 时,由(*)式得 解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x -3x +12x.
3 2



(2)由于 a>0, 所以“f(x)= x +bx +cx+d 在(-∞, +∞)内无极值点”等价于“f ′(x) 3 =ax +2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b) -4ac=9(a-1)(a-9)
2 2

a

3

2

解 即 a 的取值范围[1,9].

得 a∈[1,9],

-7-


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