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函数的表示方法与分段函数


一、自学问题
1.函数有哪几种表示方法,各有什么特点? 2.如何检验一个图形是否是一个函数的图像? (课本P39:思考与讨论) 3.举例说明分段函数的特点,其定义域、值域怎么求? 4.试作出函数 y ? x ?1 的图像,并分析如何作含绝对值 符号的函数的图像。

1.函数的常用表示方法
就是用数学表达式表示两个变量之间 (1)解析法: 的对应关系。
就是用图象表示两个两个变量之间 (2)图象法: 的对应关系。 就是列出表格来表示两个变量之间 (3)列表法: 的对应关系。

1,2,3,4,5?? 例1 某种笔记本的单价是5元,买x ?x ? ? 个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函 数. 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5} 用解析法可将函数y=f(x)表示为

y ? 5x, x ? ?1,2,3,4,5?
1 5 2 10 3

用列表法可将函数表示为
笔记本数x 钱数y 4 20 5 25

15

用图象法可将函数表示为下图
y 25 20 15 10 5 0

. . . . .
1 2 3 4

5

x

笔记本数x 钱数y

1 5

2 10

3 15

4 20

5 25

函数图象既可以是连续的曲线,也可以 是直线、折线、离散的点等等

讨论

三种表示方法的特点

列表法的特点:不通过计算就可以直接 看出与自变量的值相对应的函数值。 解析法的特点:简明、全面地概括了变 量间的关系;可以通过用解析式求出任意 一个自变量所对应的函数值。 图象法的特点:直观形象地表示出函数 的变化情况 ,有利于通过图形研究函数 的某些性质。

思考交流
设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
2

y

A
2

2

y

B
y
2

0

y 2
0

x

0
2

x

C
2

D
2

x

0

x

例2

作函数y ? x 的图象

作图象的方法: 描点法 作图象的步骤:列表、描点、连线 注意: 一是 x的取值在定义域内分布要恰当 二是连线时要用光滑曲线连接 练习:课本41页1、2 课本42页B组1

问题探究

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写 对应法则为y ? 2 ? x, 试用解析法与图象法 函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 分别表示这个函数.

例3 已知一个函数y=f(x)的定义域为区间[0,2], 当x ? [0,1]时, 对应法则为y ? x,当x ? (1, 2]时,

解:已知函数用解析法可表示为 ? x, x ? ? 0,1? f ( x) ? ? ?2 ? x, x ? ?1, 2?

分段函数是一个函数 ,而不是几个函数 . 这种在函数的定义域内,对于自变量不同取值区间,
有不同的对应法则,这样的函数称为分段函数。

例3 已知一个函数y=f(x)的定义域为区间[0,2],
当x ? [0,1]时, 对应法则为y ? x,当x ? (1, 2]时, 对应法则为y ? 2 ? x, 试用解析法与图象法 分别表示这个函数.

解:已知函数用解析法可表示为 ? x, x ? ? 0,1? f ( x) ? ? ?2 ? x, x ? ?1, 2?

拓展

1、求函数的定义域及值域? 2、求f(0.5), f1.5)

问题探究

国内跨省市之间邮寄平信,每封
信的重量x和对应的邮资y如下表:
信函质量(x)/g 0 ? x ? 20 20 ? x ? 40 40 ? x ? 60 60 ? x ? 80 80 ? x ? 100 邮资(y)/元

0.80

1.60

2.40

3.20

4.00

请画出图象,并写出函数的解析式.

解 邮资是信重量的函数, 其图像
如下:
y/元
4.0

3.2
2.4 1.6 0.8

。 。

。 。
O 20


40 60 80 100

x/g

函数解析式为 0.8, 1.60, y= 2.40, 3.20, 0<x ≤ 20 20<x ≤ 40 40<x ≤ 60 60<x ≤ 80

4.00,

80<x ≤ 100

这种在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数称 为分段函数。

解: 设每封信的邮资为y,则y是信封重量 x的函数. 则函数的解析式为

? 80, x ? (0, 20] ?160, x ? (20, 40] ? ? f ( x) ? ?240, x ? (40, 60] ?320, x ? (60,80] ? ? ?400, x ? (80,100]

注意
1. 分段函数是一个函数,不要把它
误认为是“几个函数”。 2.分段函数的定义域是自变量各分 段的并集。

以下叙述正确的有( ) (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集; 值域 是各段值域的并集。 (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应 法则,但它是一个函数。 (3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应 法则的值域,则D1∩ D2 ≠φ也能成立。 A 1个 B 2个 C 3个 D 0个

例2.写出解析式,画出图像,并求出函数的 值域 (1) A—1 (2) (2) A—2(2) (3) B—1

思考交流

x+2, (x≤-1)

已知函数f (x)=

x2, (-1<x<2)
2x, ( x≥2 )

若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 A. 1 B. 1或 2 3 C. 1, ? 3 , D. 3
2

练习

2x+3, x<-1, 2, -1≤x<1, x 1. 已知函数f (x)= x-1, x≥1 . (1)求f{f[f(-2)]} ; 0 (2) 当f (x)=-7时,求x ; -5 (3) 当f (x)=3时,求x ; 4 (4) 当f (x)=1时,求x . -1或2

练习2.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不 足5公里的按5公里计算)。

已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里,如果 沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站,请根 据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画 出函数的图象。

解:设票价为y,里程为x,则根据题意, 如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站,那么汽车 行驶的里程约为20公里,所以自变量x的取值范围是 (0,20] 由空调汽车票价的规定,可得到以下函数解析式:

y=

2, 3, 4, 5,

0<x ≤ 5 5 < x ≤ 10 10 < x ≤ 15 15 < x≤20

根据函数解析式,可画出函数图象,如下图
y 5 4 3 2○ 1
○ ○ ○

0

5

10 15 20

x

问题探究

某质点在30s内运动速度v cm/s是 时间t的函数,它的 图像如下图.用解 析式表示出这个 函数, 并求出9s时
10
O

v 30

质点的速度.

10

20

30

t

t+10, (0 ≤ t<5)

解 解析式为v (t)=

3t, (5 ≤ t<10)
30, ( 10 ≤t <20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)

t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)

课堂总结
1.函数的三种表示方法 2.分段函数: 5个注意事项


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