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2017届湖北省大冶市第一中学高三8月月考数学(理)试题


湖北省黄石市大冶一中 2016-2017 学年度高三 8 月月考数学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1 x A ? ?y | y ? ( ) , x ? 0? 2 1.集合 ,

B ? {x | ln | x |? 1, x ? Z} 则下列结论正确的是
A.

A ? B ? ??2, ?1?

B. D.

(?R A) ? B ? (??,0)

C. A ? B ? (0, ??)

(?R A) ? B ? ??2, ?1?

2.设长方体的长、宽、高分别为 2 a 、 a 、 a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A. 3? a
2



B. 6? a 2

C. 12? a 2

D. 24? a

2

3.若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正 确的是( )

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 B. l 与 l1 , l2 都相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交 4 .若平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为 n2 ? (2,0, ?1) ,则平面 ? 与 ? 夹角的余弦是 ( A. )

?

?

70 14

B.

70 10

C. ?

70 14

D. -

70 10
)

5.若函数 A.2

f ? x ? ? ln x ? ax
B.0

在点

P ?1, b ?
C.-1

处的切线与

x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,则 2a ? b 等于(

D.-2
2

6.用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a, b, c 中至少有一 个是偶数”时,下列假设中正确的是(



1第

A.假设 a, b, c 都是偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数

1 (1 ? ) 4 i 的值是( 7.复数
A. 4i B. ? 4i

) C.4 D.-4

8 . 已 知 函 数 y ? f? ? x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? ? ??,0? 时 , f ? x ? 为 减 函 数 , 若

? ? a ? f ? 20.3 ? , b ? f ? log 1 4 ? , c ? f ? log2 5? ,则 a , b , c 的大小关系是( ? 2 ?
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

) D. a ? c ? b )

9.若经过原点的直线 l 与直线 y ? A.0° B.60°

3 x ? 1 的夹角为 30°,则直线 l 的倾斜角是( 3
C.0°或 60° D.60°或 90°

10.若直线 l⊥平面α ,直线 l 的方向向量为 s,平面α 的法向量为 n,则下列结论正确的是( (A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1) (B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2) (C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2) (D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1) 11.等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f ?(0) ? A. 2
6

)

B. 2

9

C. 2

12

D. 2
3

15

12.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 (a2 ? 1) ? 2014( a2 ? 1) ? sin

2011? , 3

(a2013 ? 1)3 ? 2014(a2013 ? 1) ? cos
A.2014 B.4028

2011? ,则 S2014 ? ( 6
C.0



D. 2014 3 [



2第

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.求曲线 y ? ?x 3 ? x 2 ? 2x 与 x 轴所围成的图形的面积为______________. 14.设 f(n)=

1 1 1 + +?+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)等于 n ?1 n ? 2 2n

.

15.如果椭圆

x2 y2 x2 y2 + 2 =1 与双曲线 =1 的焦点相同,那么 a=____________. 4 a a 2
1 13 ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , 则 ? = 7 14 2

16.已知 cos ? ?

三、解答题(70 分)

? 2? 17. (本题 12 分)已知椭圆 E 的两焦点分别为 ? ?1,0? , ?1,0? ,经过点 ? ? 1, 2 ? ?. ? ?
(1)求椭圆 E 的方程;
??? ? ??? ? (2)过 P ? ?2,0? 的直线 l 交 E 与 A,B 两点,且 PB ? 3PA ,设 A,B 两点关于 x 轴的对称点分别是 C,D,

求四边形 ACDB 的外接圆的方程. 18. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平面 ABCD , EF//AB ,

AB = 4, AE = 2, EF = 1 .
E F

A M B C

D

(Ⅰ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ? (Ⅱ)求证: AF ? 平面 EBC ; (Ⅲ)求二面角 A - FB - D 的余弦值.


1 CA ,求证: EM // 平面 FBC ; 4

3第

19. (本题 12 分)已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O , 从 每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x

0
?2 2

?1
1 16

2

4
1

y

?2

(Ⅰ)求分别适合 C1 , C2 的方程的点的坐标; (Ⅱ)求 C1 , C2 的标准方程. 20. (本题 12 分)已知圆 C 经过 M (3,?3), N (?2,2). 两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l // MN ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线 l 的方程. 21. (本题 12 分)在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 3b sin A ? 2 3a sin C . (1)若 A ? 3C ? ? ,求 sin B 的值; (2)若 c ? 3, ?ABC 的面积为 3 2 ,求 a . 22. (本题 12 分)已知 f ( x) ? ( x ? ax)ln( x ? 1 ? a) ( a ? R )
3 2

(1)若方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根,求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1 , 若存在,求实数 a 的值,若不存在,说明理由.



4第

参考答案 1 .D 【解析】 ∴

A ? ?y ? R y ? 1? , CR A ? (??,1)
,选 D。

,又 B ? {x | ln | x |? 1, x ? Z} ? {?2, ?1,1, 2} ,

(CR A) ? B ? ??2, ?1?

2.B
2 2 2 【解析】依题意可得,该球是长方体的外接球,其直径等于长方体的体对角线 (2a ) ? a ? a ?

6a ,

所以该球的表面积 S ? 4? R 2 ? 4? ? ( 3.A

6 2 a) ? 6? a 2 ,故选 B 2

【解析】若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则 l 至少 与 l1 , l2 中的一条相交,故选 A. 考点:空间点、线、面的位置关系. 4.A 【解析】

?? ? m?n 6 ?1 70 70 试题分析:由 cos ? ? ?? ? ? ,所以平面 ? 与 ? 夹角的余弦是 ? 14 14 14 ? 5 m n
考点:向量法求二面角 5.D 【解析】略 6.B 【解析】 试题分析:反证法证明时首先假设要证明的结论的反面成立, a, b, c 中至少有一个是偶数的反面是假设

a, b, c 都不是偶数
考点:反证法 7.D 【解析】 考点:复数代数形式的混合运算. 分析:先化简复数,然后进行幂的运算即可.

解答:解:∵1+ =1-i 故选 D.

1 i

∴(1+ ) =(1-i) =4i =-4

1 i

4

4

2

点评:本题考查复数代数形式的混合运算,是基础题.

8.B 【解析】 试题分析:因为 1 ? 2 应选 B. 考点:指数对数函数的性质及运用. 9.C 【解析】 因为直线 y ?
0..3

? 2, log1 4 ? ?2 ? 0, log2 5 ? 2 ,所以 f (log2 5) ? f (log1 4) ? f (20..3 ) ,即 c ? b ? a ,
2 2

3 那么过原点与其夹角为 30°的直线的倾斜角有两种情况, x ? 1 的倾斜角为 30°, 3

分别是.0°或 60°,选 C 10.C 【解析】∵直线 l⊥平面α , ∴直线 l 的方向向量 s 与平面α 的法向量 n 平行, 即 s∥n. 经验证可知选项 C 正确. 11.C 【解析】略 12.A 【解析】 试题分析: (a2 ? 1) ? 2014(a2 ? 1) ? sin
3

2011? ? ? 3 ? sin(670? ? ) ? sin ? 3 3 3 2

(a2013 ? 1)3 ? 2014(a2013 ? 1) ? cos

2011? 7 7 3 ? cos(334? ? ? ) ? cos ? ? ? ,两式相加得 6 6 6 2

(a2 ?1)3 ? 2014(a2 ?1) ? (a2013 ?1)3 ? 2014(a2013 ?1) ? 0 ,解得 a2013 ? a2 ? 1,即数列 {an } 为常数列,故

S2014 ? 2014
考点:等差数列的通项

13.

37 12

3 2 【解析】解:令 y ? ?x ? x ? 2x =0 得:

函数 y=-x +x +2x 的零点: x1=-1,x2=0,x3=2.?(4 分) 又判断出在(-1,0)内,图形在 x 轴下方, 在(0,2)内,图形在 x 轴上方, 所以所求面积为: 14.

3

2

?

0

?1

(? x 3 ? x 2 ? 2x)dx ? ? (? x 3 ? x 2 ? 2x)dx ?
0

2

37 12

1 1 - 2n ? 1 2 n ? 2

【解析】 试题分析:根据题中所给式子,求出 f(n+1)和 f(n) ,再两者相减,即得到 f(n+1)-f(n)的结果.由

1 1 1 1 1 1 1 + + +?+ ,那么可知 f(n+1)= +?+ + ,那么可知 f(n+1) n ?1 n ? 2 2n 2 n 2n ? 1 2n ? 2 n?2 1 1 1 1 -f(n)等于 - ,故答案为 - 。 2n ? 1 2 n ? 2 2n ? 1 2 n ? 2
于 f(n)= 考点:数列递推式 点评:此题主要考查数列递推式的求解,属于对课本基础知识点的考查 15.1 【解析】双曲线

x2 y2 ? =1 的焦点坐标为(± a ? 2 ,0),∴4-a2=a+2,解得 a=-2(舍)或 a=1. a 2

16.

? 3

【解析】略 17. (1) 【解析】

x2 1? 10 ? ? y 2 ? 1; (2) ? x ? ? ? y 2 ? . 2 3? 9 ?

2

? 2? 2 试题分析: (1)由题意得 c ? 1 ,进而可得 2a ? 2 + ? 计算出 b ,即可得到椭圆的方程; (2)设 + ? ? 2 ? 2 ? ?
2

2

x2 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆 ? y 2 ? 1,并整理可得 ? m 2 ? 2 ? y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ,由韦达定理可得 m 2 ? 4 , 2
不妨设 m ? 2 可得圆心和半径,即可得到圆的方程.

? 2? 2 试题解析: (1)由题意知 c ? 1, 2a ? 2 + ? ? 2 ? ? + 2 , ? ?
2

2

? a ? 2, b ? a2 ? c2 ? 1
椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

2 2 (2)设 l : x ? my ? 2 ,带入椭圆方程得 m ? 2 y ? 4my ? 2 ? 0

?

?

由 ? ? 8m ? 16 ? 0得m ? 2
2 2

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

则y1 ? y2 ?

由 PB ? 3PA, 得y2 ? 3 y1③ 由①②③解得 m2 ? 4, 符合m2 ? 2 不妨取 m ? 2, 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? ?2 x ? 则所求圆的圆心为 ? ? , 0 ? , 又B ? 0,1?

??? ?

??? ?

4m 2 , ①y1 y2 ? 2 ② 2 m ?2 m ?2

2 3

? 1 ? 3

? ?

10 1? 10 ? 所以圆的半径 r ? ,所以圆的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? 3 3? 9 ?
考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及椭圆的标准方程及其简单的几何性质的 应用,涉及到了椭圆与圆的一些基础知识的综合应用,属于中档试题,同时着重考查了学生的运算推理能 力,本题的解答中设出直线 x ? my ? 2 ,代入椭圆的方程,整理得到关于 y 的一元二次方程,由根与系数
2 的关系,得 m ? 4 ,可求得圆心和半径,即可得到圆的方程.

2

18. (1)见解析; (2)见解析; (3)

2 17 17

【解析】第一问中利用线面平行的判定定理,先得到线线平行,根据已知条件得到 过 M 作 MN ? BC 于 N ,连结 FN ,则则 MN // AB ,又 CM ? 又 EF // AB 且 EF ?

1 1 AC ,所以 MN ? AB . 4 4

1 AB , 4

所以 EF // MN ,且 EF ? MN ,

所以四边形 EFNM 为平行四边形, 所以 EM // FN . 所以得到线面平行。 第二问中,通过以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz . 利用平面的法向量的夹角与二面角的大小相等或者互补的结论, 借助与代数的手段求解得到二面角的大小。 证明: (Ⅰ)过 M 作 MN ? BC 于 N ,连结 FN , E F

A M B N C

D

则 MN // AB ,又 CM ? 又 EF // AB 且 EF ?

1 1 AC ,所以 MN ? AB . 4 4

1 AB , 4

所以 EF // MN ,且 EF ? MN , 所以四边形 EFNM 为平行四边形, 所以 EM // FN . 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC , 所以 EM // 平面 FBC . ??4 分

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , AB ? AD ,故 以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz . z E F A B M C D y

x

由已知可得

A(0,0,0), B(4,0,0), C (4,4,0), D(0,4,0), E (0,0, 2), F (1,0, 2) .
显然 AF = (1,0,2), BC = (0,4,0), EB = (4,0,-2) .

??? ?

??? ?

???

则 AF ? BC = 0, AF ? EB = 0 , 所以 AF ? BC, AF ? EB . 即 AF ? BC , AF ? EB ,故 AF ? 平面 EBC . (Ⅲ)因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , 由已知得, BC = (0,4,0), FB = (3,0,-2) , BD = (-4,4,0) . 因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BC . 由已知可得 AB ? BC 且 EA ? AB = A ,

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ???

??? ? ??? ?

???

??? ?

???

??? ?

??9 分

??? ? 所以 BC ? 平面 ABF ,故 BC 是平面 ABF 的一个法向量.
设平面 DFB 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) .

??? ? ? ? n ? BD ? 0, ? ?4 x ? 4 y ? 0, 由 ? ??? 得? ? ? n ? FB ? 0, ? 3x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,则 n ? (2, 2,3) .

? y ? x, ? 即? 3 z ? x, ? 2 ?

??? ? ??? ? BC ? n 2 17 ? 所以 cos < BC , n ?? ??? . ? 17 BC ? n
由题意知二面角 A- FB- D 锐角, 故二面角 A- FB- D 的余弦值为

2 17 . 17

??14 分

19. (Ⅰ) ? 4,1? 和 ? ?1,

? ?

1? ? 在抛物线 C2 上, 0, ?2 2 和 16 ?

?

? ?

2, ?2 在椭圆 C1 上; (Ⅱ) C1 , C2 的标准方程

?

分别为

y 2 x2 ? ? 1, x 2 ? 16 y. . 8 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ)已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O ,可 设抛物线 C2 的方程为 x ? my ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中,要找出这两点,只需将这
2

四个点都代入抛物线 C2 的方程,求出的 m 值相同两点在抛物线 C2 上,另外两点在椭圆上; (Ⅱ)求 C1 , C2 的标准方程,由(Ⅰ)的判断就求出抛物线 C2 的方程,只需求椭圆的方程,由于椭圆为标准位置,且过

? 0, ?2 2 ? ,故 a ? 2

2 ,只需求出 b ,又因为椭圆过

?

2, ?2 ,代入椭圆的方程可求出 b ,从而得椭圆

?

的方程. 试题解析: (Ⅰ)? ? ?1,

? ?

1? ? 和 ? 4,1? 代入抛物线方程中得到的解相同, 16 ?

1? ? ?? 4,1? 和 ? ?1, ? 在抛物线 C2 上, 0, ?2 2 和 ? 16 ?
(Ⅱ)设 C1 , C2 的标准方程分别为:

?

? ?

2, ?2 在椭圆 C1 上.

?

4分

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0), x 2 ? 2 py, a 2 b2
7分

将 ? 4,1? 和 ? ?1,

? ?

1? ? 代入抛物线方程中得到的解相同,? 2 p ? 16, 16 ?
2, ?2 在椭圆上,代入椭圆方程得 a ? 2 2, b ? 2,
y 2 x2 ? ? 1, x 2 ? 16 y. 8 4
12 分

? 0, ?2 2 ? 和 ?

?

10 分

故 C1 , C2 的标准方程分别为

考点:椭圆的方程,抛物线的方程.
2 20. (Ⅰ)圆 C 的方程为 (Ⅱ) y ? ? x ? 4或y ? ? x ? 3 . (x ?1 ) ? y 2 ? 13;

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用线段 MN 的垂直平分线确定圆心 C ? a, a ? 1? ,根据在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,建 立 a 的方程. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? ? x ? m 与圆的方程联立,应用一元二次方程根与系数的关系建立 m 的方程. 试题解析: (Ⅰ)线段 MN 的垂直平分线的方程是 y ?

1 1 ? x ? 即 y=x-1 2 2

? 所以圆心 C ? a, a ?1?
又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3
2 2 (a ? 3) ? (a ? 2) ? 12 ? a 2 得:a=1 知

故圆 C 的方程为 (x ?1 )? y ? 13;
2 2

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? ? x ? m , A , (x1 , m ? x1)( , B x2 , m ? x2) 由?

? y ? ? x ? m,
2

得 2x 2 - ?2 ? 2m?x ? m 2 ? 12 ? 0. ??x ? 1? ? y ? 13

? ? 0 ? m 2 ? 2m ? 25 ? 0

m 2 ? 12 ∴ x1 ? x2 ? 1 ? m, x1 x2 ? 2
则由题意可知 OA⊥OB,即 kOA ? kOB ? ?1 ∴

(m ? x1 ) (m ? x2 ) ? ? ?1 x1 x2

即 m2 ? m( ? 1 ? m) ? m2 ? 12 ? 0

∴ m ? 4或m ? ?3 经验证符合 ? ? 0 ∴ y ? ? x ? 4或y ? ? x ? 3 考点:1、圆的方程;2、直线与圆的位置关系. 【名师点睛】解答此类题目,首先应利用已知条件,确定圆心、半径,以确定圆的方程.直线与圆的位置关 系问题,往往要将直线方程与圆的方程联立,应用一元二次方程根与系数的关系等,得到斜率或截距的方 程进一步求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足, 或忽视一元二次方程有实数解的条件..本题能较好 的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力、函数方程思想等. 21. (1) 【解析】 试题分析: (1)首先利用三角形内角和定理得到角 B, C 间的关系,然后利用正弦定理将已知条件等式中的 边化为角,由此求得 cos C 的值,从而求得 sin C 的值,进而可求得 sin B 的值; (2)首先利用正弦定理将 已知条件等式中的角化为边得到边 b, c 间的关系,由此求得 b 的值,然后利用面积公式求得 sin A 的值,从 而求得 cos A 的值,进而利用余弦定理求得 a 的值. 试题解析: (1)? A ? B ? C ? ? , A ? 3C ? ? ,? B ? 2C , 由 3b sin A ? 2 3a sin C 得

2 2 ; (2) a ? 3或a ? 33 . 3

2 3 2sin C cos C 3 ,解得 cos C ? , ? 3 sin C 3

?sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ?

1 6 6 3 2 2 ? ,?sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? ? ? . 3 3 3 3 3
b 2 3 . ? c 3

(2)由 3b sin A ? 2 3a sin C 得

? c ? 3,?b ? 2 3 .
1 1 6 ? ?ABC 的面积为 bc sin A ? ? 3 ? 2 3 sin A ? 3 2,?sin A ? , 2 2 3

则 cos A ? ?

3 ,? a 2 ? 9 ? 12 ? 12 , 3

解得 a ? 3或a ? 33 . 考点:1、正弦定理与余弦定理;2、倍角公式;3、同角三角形函数间的基本关系;4、面积公式. 【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时,正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦 值的比互化,而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系,而涉及解三角形问题,往往把三角三角恒等 变换公式加以交汇与综合,利用公式的变换达到解决问题的目的. 22. (1) 0 ? a ? 1 ; (2)不存在,参考解析 【解析】 试题分析: (1)由已知 f ( x) ? ( x3 ? ax)ln( x2 ? 1 ? a) ( a ? R ) ,若方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根,则可 得到 i ? i ? 1 或 ln( x2 ? 1 ? a) ? 0 对两个方程分别讨论即可到结论. (2)在(1)的条件下,是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,通过对函数求导, 判断导函数的根的情况,通过换元使得等式简洁些.要满足 x2 ? 2 x1 ,由于 a ? ( ,1) ,所以可得 x1 ? 通过验证根是否存在.即可得到结论. (1)解:由 T ? 1, i ? 1 得: i ? i ? 1 或 ln( x2 ? 1 ? a) ? 0
2 2 可得 x ? 0 或 x ? a 且 x ? 1 ? a ? 0

a 2

a , 2

∵方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根,
2 ∴方程 x ? a 有两个不同的根

∴a ? 0
2 又∵ x ? 1 ? a ? 0 ,且要保证 x 能取到 0∴ 1 ? a ? 0 即 a ? 1

∴ 0 ? a ? 1. (2)解:∵ f ?( x) ? (3x ? a) ln( x ? 1 ? a) ?
2 2
2 令 x ? t ,设 g (t ) ? (3t ? a ) ln(t ? 1 ? a) ?

2 x 2 ( x 2 ? a) x2 ? 1 ? a

2t (t ? a ) ? f ?( x) t ?1? a

∴ g (0) ? ?a ln(1 ? a) ? 0

g (1) ? (3 ? a ) ln(2 ? a ) ?
g (a) ? 0

2(1 ? a) 2?a

∵ 0 ? a ? 1 ∴ 2 ? a ? 1 ∴ g (1) ? 0

a a ? (? ) 2 a a a 2 ? a ln(1 ? a ) ? a g ( ) ? ln(1 ? ) ? a 2 2 2 2 2 2?a 1? 2 1 a a ∵ 0 ? a ? 1 ∴ ? 1 ? ? 1, 2 ? a ? 0 ∴ g ( ) ? 0 2 2 2 a a ∴存在 t1 ? (0, ) ,使得 g (t1 ) ? 0 ,另外有 a ? ( ,1) ,使得 g (a) ? 0 2 2
假设存在实数 a ,使得 f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1 则存在 x1 ? (0,

a ) ,使得 f ?( x1 ) ? 0 ,另外有 f ?( a ) ? 0 ,即 x2 ? a 2

a 3a ? (? ) a 3a a a 4 ?0 ∴ x1 ? ,∴ f ?( ) ? 0 ,即 ? ln(1 ? ) ? 2 3 a 2 2 4 4 1? 4 3 3 3 即 (1 ? a ) ln(1 ? a) ? a ? 0 (*) 4 4 2 3 3 3 设 h(a ) ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? a 4 4 2 3 3 3 3 3 3 3 ∴ h?(a ) ? ? ln(1 ? a ) ? ? ? ? ln(1 ? a) ? 4 4 4 2 4 4 4 3 ∵ 0 ? a ? 1 ∴ ln(1 ? a ) ? 0 4
∴ h?(a) ? 0 ∴ h(a) 在 (0,1) 上是增函数

∴ h(a) ? h(0) ? 0 ∴方程(*)无解, 即不存在实数 a ,使得 f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1 考点:1.函数与 x 轴的交点与方程的根的问题.2.函数的极值.3.等价转化的思想.4.函数的最值问题.


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