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2015-2016学年湖北省十堰市丹江口市九年级(上)期中数学试卷解析版


2015-2016 学年湖北省十堰市丹江口市九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题 1.已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m2﹣4=0 的一个根是 0,则 m 的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.2 或﹣2 【考点】一元二次方程的解. 【解析】 一元二次方程的根就是一元二次方程的解, 就是能够使方程左右两边相 等的未知数的值.即把 0 代入

方程求解可得 m 的值. 【解答】解:把 x=0 代入方程程 x2+x+m2﹣4=0 得到 m2﹣4=0, 解得:m=±2, 故选 D. 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成立的未知数的值,就 是方程的解,同时,考查了一元二次方程的概念. 2.用配方法解方程 x2﹣8x+3=0,下列变形正确的是( ) 2 2 2 A. (x+4) =13 B. (x﹣4) =19 C. (x﹣4) =13 D. (x+4)2=19 【考点】解一元二次方程-配方法. 【题型】计算题. 【解析】先把常数项移到方程右边,再把方程两边加上 16,然后把方程左边写 成完全平方形式即可. 【解答】解:x2﹣8x=﹣3, x2﹣8x+16=13, (x﹣4)2=13. 故选 C. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法. 3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不一定成立的是 ( )

A.CM=DM B.OM=MB C.BC=BD D.∠ACD=∠ADC 【考点】垂径定理. 【解析】先根据垂径定理得 CM=DM, , ,得出 BC=BD,再根据圆周 角定理得到∠ACD=∠ADC,而 OM 与 BM 的关系不能判断. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB, ∴CM=DM, , ,
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∴BC=BD,∠ACD=∠ADC. 故选:B. 【点评】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角定理; 熟练掌握垂径定理,由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键. 4.下列一元二次方程有实数根的是( ) 2 2 2 A.x ﹣2x﹣2=0 B.x +2x+2=0 C.x ﹣2x+2=0 D.x2+2=0 【考点】根的判别式. 【解析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两 个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没 有实数根判断即可. 【解答】解:A、∵△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣2)>0, ∴原方程有两个不相等实数根; B、∵△=22﹣4×1×2<0, ∴原方程无实数根; C、∵△=(﹣2)2﹣4×1×2<0, ∴原方程无实数根; D、∵△=﹣4×1×2<0, ∴原方程无实数根; 故选 A. 【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) ,当 b2﹣4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根;当 b2﹣4ac=0 时,方程有 两个相等的实数根;当 b2﹣4ac<0 时,方程无解. 5.已知关于 x 的一元二次方程(k﹣2)x2+2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围为( ) A.k>1 B.k>﹣1 且 k≠0 C.k>1 且 k≠2 D.k<1 【考点】根的判别式;一元二次方程的定义. 【解析】 根据关于 x 的一元二次方程 (k﹣2) x2+2x﹣1=0 有两个不相等的实数根, 可得出判别式大于 0,再求得 k 的取值范围. 【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程(k﹣2)x2+2x﹣1=0 有两个不相等的实数 根, ∴△=4+4(k﹣2)>0, 解得 k>﹣1, ∵k﹣2≠0, ∴k≠2, ∴k 的取值范围 k>﹣1 且 k≠2, 故选 C. 【点评】本题考查了根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关 系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根.

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6.观察如下图形,它们是按一定规律排列的,依照次规律,第 n 的图形中共有 210 个小棋子,则 n 等于( )

A.20 B.21 C.15 D.16 【考点】规律型:图形的变化类. 【解析】 由题意可知: 排列组成的图形都是三角形, 第一个图形中有 1 个小棋子, 第二个图形中有 1+2=3 个小棋子,第三个图形中有 1+2+3=6 个小棋子, …由此得 出第 n 个图形共有 1+2+3+4+…+n= n(n+1) ,由此联立方程求得 n 的数值即可. 【解答】解:∵第一个图形中有 1 个小棋子, 第二个图形中有 1+2=3 个小棋子, 第三个图形中有 1+2+3=6 个小棋子, … ∴第 n 个图形共有 1+2+3+4+…+n= n(n+1) , ∴ n(n+1)=210, 解得:n=20. 故选:A. 【点评】此题考查图形的变化规律,找出图形之间的联系,得出点的排列规律, 利用规律解决问题. 7.若点(﹣1,4) , (3,4)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两点,则此抛物线的对称 轴是( ) A.直线 x=﹣ B.直线 x=1 C.直线 x=3 D.直线 x=2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【解析】因为两点的纵坐标都为 4,所以可判此两点是一对对称点,利用公式 x= 求解即可.

【解答】解:∵两点的纵坐标都为 4, ∴此两点是一对对称点, ∴对称轴 x= = =1.

故选 B. 【点评】 本题考查了如何求二次函数的对称轴, 对于此类题目可以用公式法也可 以将函数化为顶点式或用公式 x= 求解.

8.如图,⊙C 过原点 O,且与两坐标轴分别交于点 A、B,点 A 的坐标为(0,4) , 点 M 是第三象限内 上一点,∠BMO=120°,则⊙O 的半径为( )

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A.4 B.5 C.6 D.2 【考点】圆内接四边形的性质;含 30 度角的直角三角形;圆周角定理. 【解析】连接 OC,由圆周角定理可知 AB 为⊙C 的直径,再根据∠BMO=120°可求 出∠BAO 的度数,证明△AOC 是等边三角形,即可得出结果. 【解答】解:连接 OC,如图所示: ∵∠AOB=90°, ∴AB 为⊙C 的直径, ∵∠BMO=120°, ∴∠BCO=120°,∠BAO=60°, ∵AC=OC,∠BAO=60°, ∴△AOC 是等边三角形, ∴⊙C 的半径=OA=4. 故选:A.

【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性 质; 熟练掌握圆内接四边形的性质, 证明三角形是等边三角形是解决问题的关键. 9. 如图, AB 为⊙O 直径, C 为⊙O 上一点, ∠ACB 的平方线交⊙O 于点 D, 若 AB=10, AC=6,则 CD 的长为( )

A.7 B.7 C.8 D.8 【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 【解析】作 DF⊥CA,交 CA 的延长线于点 F,作 DG⊥CB 于点 G,连接 DA,DB.由 CD 平分∠ACB, 根据角平分线的性质得出 DF=DG, 由 HL 证明△AFD≌△BGD, △CDF ≌△CDG,得出 CF=7,又△CDF 是等腰直角三角形,从而求出 CD. 【解答】解:作 DF⊥CA,垂足 F 在 CA 的延长线上,作 DG⊥CB 于点 G,连接 DA, DB.
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∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD, ∴DF=DG,弧 AD=弧 BD, ∴DA=DB. 在 Rt△AFD 和 Rt△BGD 中, , ∴△AFD≌△BGD(HL) , ∴AF=BG. 在△CDF 和△CDG 中, , ∴△CDF≌△CDG(AAS) , ∴CF=CG. ∵AC=6,AB=10, ∴BC= =8,

∴AF=1, ∴CF=7, ∵△CDF 是等腰直角三角形, ∴CD=7 . 故选 B.

【点评】本题主要考查了圆周角的性质,圆心角、弧、弦的对等关系,全等三角 形的判定,角平分线的性质等知识点的运用.关键是正确作出辅助线. 10.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则 a 的取值范围为( )

A.﹣1<a<0

B.﹣1<a<

C.0<a< D. <a<

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【考点】二次函数图象与系数的关系. 【解析】根据开口判断 a 的符号,根据 y 轴的交点判断 c 的符号,根据对称轴 b 用 a 表示出的代数式,进而根据当 x=2 时,得出 4a+2b+c=0,用 a 表示 c>﹣1 得出答案即可. 【解答】解:抛物线开口向上,a>0 图象过点(2,4) ,4a+2b+c=4 则 c=4﹣4a﹣2b, 对称轴 x=﹣ =﹣1,b=2a,

图象与 y 轴的交点﹣1<c<0, 因此﹣1<4﹣4a﹣4a<0, 实数 a 的取值范围是 <a< . 故选:D. 【点评】 此题考查二次函数图象与系数的关系, 对于函数图象的描述能够理解函 数的解析式的特点,是解决本题的关键. 二、填空题 11.抛物线 y=﹣ (x+3)2+1 的顶点坐标是 (﹣3,1) 【考点】二次函数的性质. 【解析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标. 【解答】解:∵抛物线 y=﹣ (x+3)2+1, ∴顶点坐标是(﹣3,1) . 故答案为: (﹣3,1) . 2 【点评】 此题考查二次函数的性质, 掌握顶点式 y=a (x﹣h) +k, 顶点坐标是 (h, k) ,对称轴是 x=h,是解决问题的关键. 12.已知 ab≠0,且 a2﹣3ab﹣4b2=0,则 的值为 ﹣1 或 4 . .

【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【题型】计算题. 【解析】把 a2﹣3ab﹣4b2=0 看作关于 a 的一元二次方程,利用因式分解法解得 a=4b 或 a=﹣b,然后利用分式的性质计算 的值. 【解答】解: (a﹣4b) (a+b)=0, a﹣4b=0 或 a+b=0, 所以 a=4b 或 a=﹣b, 当 a=4b 时, 当 a=﹣b 时, =4; =﹣1,

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所以 的值为﹣1 或 4. 故答案为﹣1 或 4. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为 0,再 把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式, 那么这两个因式的值就都有 可能为 0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次, 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想) . 13.已知关于 x 的方程 a(x+m)2+c=0(a,m,c 均为常数,a≠0)的根是 x1=﹣ 3,x2=2,则方程 a(x+m﹣1)2+c=0 的根是 x1=﹣2,x2=3 . 【考点】解一元二次方程-直接开平方法. 【解析】把后面一个方程中的 x﹣1 看作整体,相当于前面一个方程中的 x,从 而可得 x﹣1=﹣3 或 x﹣1=2,再求解即可. 【解答】解:∵关于 x 的方程 a(x+m)2+c=0 的解是 x1=﹣3,x2=2(a,m,c 均 为常数,a≠0) , ∴方程 a(x+m﹣1)2+c=0 变形为 a[(x﹣1)+m]2+c=0,即此方程中 x﹣1=﹣3 或 x﹣1=2, 解得 x=﹣2 或 x=3. 故方程 a(x+m﹣1)2+c=0 的解为 x1=﹣2,x2=3. 故答案是:x1=﹣2,x2=3. 【点评】此题主要考查了方程解的定义.注意由两个方程的特点进行简便计算. 14.如图,AB,AC 是⊙O,D 是 CA 延长线上的一点,AD=AB,∠BDC=25°,则∠ BOC= 100° .

【考点】圆周角定理. 【解析】由 AD=AB,∠BDC=25°,可求得∠ABD 的度数,然后由三角形外角的性 质,求得∠BAC 的度数,又由圆周角定理,求得答案. 【解答】解:∵AD=AB,∠BDC=25°, ∴∠ABD=∠BDC=25°, ∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50°, ∴∠BOC=2∠BAC=100°. 故答案为:100°. 【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.注意在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 15.已知△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,AB=AC,⊙O 的半径等于 10cm,圆心 O 到 BC 的距离为 6cm,则 AB 的长等于 8 或 4 . 【考点】垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理. 【题型】分类讨论.
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【解析】此题分情况考虑:当三角形的外心在三角形的内部时,根据勾股定理求 得 BD 的长,再根据勾股定理求得 AB 的长;当三角形的外心在三角形的外部时, 根据勾股定理求得 BD 的长,再根据勾股定理求得 AB 的长. 【解答】解:如图 1,当△ABC 是锐角三角形时,连接 AO 并延长到 BC 于点 D, ∵AB=AC,O 为外心, ∴AD⊥BC, 在 Rt△BOD 中, ∵OB=10,OD=6, ∴BD= = =8. = =8 (cm) ;

在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,得 AB=

如图 2,当△ABC 是钝角或直角三角形时,连接 AO 交 BC 于点 D, 在 Rt△BOD 中, ∵OB=10,OD=6, ∴BD= ∴AD=10﹣6=4, 在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,得 AB= 故答案为:8 或4 . = =4 (cm) . = =8,

【点评】 本题考查的是垂径定理, 在解答此题时要注意进行分类讨论, 不要漏解. 16.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,图象与 x 轴交于 A(x1, 0)B(x2,0)两点,点 M(x0,y0)是图象上另一点,且 x0>1.现有以下结论: ①abc>0;②b<2a;③a+b+c>0;④a(x0﹣x1) (x0﹣x2)<0. 其中正确的结论是 ①、④ . (只填写正确结论的序号)

【考点】二次函数图象与系数的关系. 【题型】推理填空题;数形结合. 【解析】 由抛物线的开口方向可确定 a 的符号, 由抛物线的对称轴相对于 y 轴的 位置可得 a 与 b 之间的符号关系,由抛物线与 y 轴的交点位置可确定 c 的符号;
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根据抛物线的对称轴与 x=﹣1 的大小关系可推出 2a﹣b 的符号;由于 x=1 时 y=a+b+c,因而结合图象,可根据 x=1 时 y 的符号来确定 a+b+c 的符号,根据 a、 x0﹣x1、x0﹣x2 的符号可确定 a(x0﹣x1) (x0﹣x2)的符号. 【解答】解:由抛物线的开口向下可得 a<0, 由抛物线的对称轴在 y 轴的左边可得 x=﹣ <0,则 a 与 b 同号,因而 b<0,

由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可得 c>0, ∴abc>0,故①正确; 由抛物线的对称轴 x=﹣ >﹣1(a<0) ,可得﹣b<﹣2a,即 b>2a,故②错误;

由图可知当 x=1 时 y<0,即 a+b+c<0,故③错误; ∵a<0,x0﹣x1>0,x0﹣x2>0,∴a(x0﹣x1) (x0﹣x2)<0,故④正确. 综上所述:①、④正确. 故答案为①、④. 【点评】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系, 其中 a 决定于抛物线的开口 方向,b 决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于 y 轴的位置,c 决定 于抛物线与 y 轴的交点位置, 2a 与 b 的大小决定于 a 的符号及﹣ 与﹣1 的大小

关系,运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键. 三、解答题 17.解方程: (1)x2+2x﹣15=0 (2)3x(x﹣2)= (2﹣x) 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【题型】计算题. 【解析】 (1)利用因式分解法解方程; (2)先把方程变形得到 3x(x﹣2)+ (x﹣2)=0,然后利用因式分解法解方 程. 【解答】解: (1) (x+5) (x﹣3)=0, x+5=0 或 x﹣3=0, x+5=0 或 x﹣3=0, 所以 x1=﹣5,x2=3; (2)3x(x﹣2)+ (x﹣2)=0, (x﹣2) (3x+ )=0, x﹣2=0 或 3x+ =0, 所以 x1=2,x2=﹣ .

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为 0,再 把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式, 那么这两个因式的值就都有 可能为 0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次, 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想) .

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18.已知抛物线的顶点是(4,2) ,且在 x 轴上截得的线段长为 8,求此抛物线 的解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式. 【题型】计算题. 【解析】 根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的两交点坐标为 (0, 0) , (8, 0) , 则可设交点式 y=ax(x﹣8) ,然后把顶点坐标代入求出 a 即可. 【解答】解:根据题意得抛物线的对称轴为直线 x=4, 而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 8, 所以抛物线与 x 轴的两交点坐标为(0,0) , (8,0) , 设抛物线解析式为 y=ax(x﹣8) , 把(4,2)代入得 a?4?(﹣4)=2,解得 a=﹣ , 所以抛物线解析式为 y=﹣ x(x﹣8) ,即 y=﹣ x2+x. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:一般地,当已知抛物线上 三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线 的顶点或对称轴时, 常设其解析式为顶点式来求解; 当已知抛物线与 x 轴有两个 交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解. 本题的关键是利用对称性确定抛物 线与 x 轴的交点坐标. 19.定义:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)满足 a+b+c=0,那么我们称这 个方程为“凤凰”方程.已知 x2+mx+n=0 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数 根,求 m2+n2 的值. 【考点】根的判别式;一元二次方程的解. 【题型】新定义. 【解析】根据 x2+mx+n=0 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,列出方程组, 求出 m,n 的值,再代入计算即可. 【解答】解:根据题意得:

解得:



则 m2+n2=(﹣2)2+12=5. 【点评】本题考查了一元二次方程的解,根的判别式,关键是根据已知条件列出 方程组,用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 20.为响应党中央提出的“足球进校园”号召,我市在今年秋季确定了 3 所学校 为我市秋季确定 3 所学校诶我市足球基地实验学校, 并在全市开展了中小学足球 比赛,比赛采用单循环制,即组内每两队之间进行一场比赛,若初中组共进行 45 场比赛,问初中共有多少个队参加比赛?
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【考点】一元二次方程的应用. 【解析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场) ,每个小组 x 个球队比赛总 场数= x(x﹣1) ,由此可得出方程. 【解答】解:设初中组共有 x 个队参加比赛,依题意列方程 x(x﹣1)=45, 解得:x1=10,x2=﹣19(不合题意,舍去) , 答:初中组共有 10 个队参加比赛. 【点评】此题考查一元二次方程的实际运用,解决本题的关键是读懂题意,得到 总场数与球队之间的关系. 21.如图,在⊙O 中, = ,∠ACB=60°. (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC; (2)若 D 是 的中点,求证:四边形 OADB 是菱形.

【考点】圆心角、弧、弦的关系;菱形的判定;圆周角定理. 【题型】证明题. 【解析】 (1)根据圆心角、弧、弦的关系,由 = 得 AB=AC,加上∠ACB=60°, 则可判断△ABC 是等边三角形,所以 AB=BC=CA,于是根据圆心角、弧、弦的关系 即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC; (2)连接 OD,如图,由 D 是 的中点得 = ,则根据圆周角定理得∠AOD=∠ BOD=∠ACB=60°, 易得△OAD 和△OBD 都是等边三角形, 则 OA=AD=OD, OB=BD=OD, 所以 OA=AD=DB=BO,于是可判断四边形 OADB 是菱形. 【解答】证明: (1)∵ = , ∴AB=AC, ∵∠ACB=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=CA, ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC; (2)连接 OD,如图, ∵D 是 的中点, ∴ = , ∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°, 又∵OD=OA,OD=OB, ∴△OAD 和△OBD 都是等边三角形, ∴OA=AD=OD,OB=BD=OD, ∴OA=AD=DB=BO, ∴四边形 OADB 是菱形.
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【点评】本题考查了圆心角、 弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、 两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也 考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理. 22.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0. (1)求证:无论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根,且 BC=8,当△ABC 为等腰三角形时,求 m 的值. 【考点】根的判别式;根与系数的关系;等腰三角形的性质. 【解析】 (1)先根据题意求出△的值,再根据一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系即可得出答案; (2)根据△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根,设 AB=x1=8,得 出 82﹣8(2m+1)+m(m+1)=0,求出 m 的值即可. 【解答】解: (1)∵△=[﹣(2m+1)]2﹣4m(m+1)=1>0, ∴不论 m 为何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)由于无论 m 为何值,方程恒有两个不等实根,故若要△ABC 为等腰三角形, 那么必有一个解为 8; 设 AB=x1=8,则有: 82﹣8(2m+1)+m(m+1)=0,即:m2﹣15m+56=0, 解得:m1=7,m2=8. 则当△ABC 为等腰三角形时,m 的值为 7 或 8. 【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 23.如图,O 为正方形 ABCD 对角线上一点,以点 O 为圆心,OA 长为半径的⊙O 与 BC 相切于点 E. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若正方形 ABCD 的边长为 10,求⊙O 的半径.

【考点】切线的判定;正方形的性质.
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【解析】 (1)首先连接 OE,并过点 O 作 OF⊥CD,由 OA 长为半径的⊙O 与 BC 相 切于点 E,可得 OE=OA,OE⊥BC,然后由 AC 为正方形 ABCD 的对角线,根据角平 分线的性质,可证得 OF=OE=OA,即可判定 CD 是⊙O 的切线; (2)由正方形 ABCD 的边长为 10,可求得其对角线的长,然后由设 OA=r,可得 OE=EC=r,由勾股定理求得 OC= r,则可得方程 r+ r=10 ,继而求得答案. 【解答】 (1)证明:连接 OE,并过点 O 作 OF⊥CD. ∵BC 切⊙O 于点 E, ∴OE⊥BC,OE=OA, 又∵AC 为正方形 ABCD 的对角线, ∴∠ACB=∠ACD, ∴OF=OE=OA, 即:CD 是⊙O 的切线. (2)解:∵正方形 ABCD 的边长为 10, ∴AB=BC=10,∠B=90°,∠ACB=45°, ∴AC= =10 ,

∵OE⊥BC, ∴OE=EC, 设 OA=r,则 OE=EC=r, ∴OC= = r,

∵OA+OC=AC, ∴r+ r=10 , 解得:r=20﹣10 . ∴⊙O 的半径为:20﹣10



【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定 理.注意准确作出辅助线是解此题的关键. 24.某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果 每件商品的售价每上涨 1 元, 则每个月少卖 10 件 (每件售价不能高于 65 元) . 设 每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数) ,每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是 多少元? (3) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论, 请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元? 【考点】二次函数的应用.
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【题型】综合题. 【解析】 (1)根据题意可知 y 与 x 的函数关系式. (2)根据题意可知 y=﹣10﹣(x﹣5.5)2+2402.5,当 x=5.5 时 y 有最大值. (3)设 y=2200,解得 x 的值.然后分情况讨论解. 【解答】解: (1)由题意得:y=(50+x﹣40) 2 =﹣10x +110x+2100(0<x≤15 且 x 为整数) ; (2)由(1)中的 y 与 x 的解析式配方得:y=﹣10(x﹣5.5)2+2402.5. ∵a=﹣10<0,∴当 x=5.5 时,y 有最大值 2402.5. ∵0<x≤15,且 x 为整数, 当 x=5 时,50+x=55,y=2400(元) ,当 x=6 时,50+x=56,y=2400(元) ∴当售价定为每件 55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月利润是 2400 元. (3)当 y=2200 时,﹣10x2+110x+2100=2200,解得:x1=1,x2=10. ∴当 x=1 时,50+x=51,当 x=10 时,50+x=60. ∴当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元. 当售价不低于 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元. 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时, 每个月的利润不低于 2200 元 (或 当售价分别为 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月的利润 不低于 2200 元) . 【点评】本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题,是一道综 合题. 25.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点,过点 A 的直线 l 与抛 物线交于点 C,其中 A 点的坐标是(1,0) ,C 点坐标是(4,3) . (1)求抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 D,使△BCD 的周长最小?若存在, 求出点 D 的坐标,若不存在,请说明理由; (3)若点 E 是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线 AC 的下方,试求△ACE 的最大面积及 E 点的坐标.

【考点】二次函数综合题. 【题型】代数几何综合题;压轴题. 【解析】 (1)利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;

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(2) 利用待定系数法求出直线 AC 的解析式, 然后根据轴对称确定最短路线问题, 直线 AC 与对称轴的交点即为所求点 D; (3)根据直线 AC 的解析式,设出过点 E 与 AC 平行的直线,然后与抛物线解析 式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程,利用根的判别式△=0 时,△ACE 的面 积最大,然后求出此时与 AC 平行的直线,然后求出点 E 的坐标,并求出该直线 与 x 轴的交点 F 的坐标,再求出 AF,再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45°求出两 直线间的距离,再求出 AC 间的距离,然后利用三角形的面积公式列式计算即可 得解. 【解答】解: (1)∵抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(1,0) ,点 C(4,3) , ∴ 解得 , ,

所以,抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3; (2)∵点 A、B 关于对称轴对称, ∴点 D 为 AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小, 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b(k≠0) , 则 解得 , ,

所以,直线 AC 的解析式为 y=x﹣1, ∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1, ∴抛物线的对称轴为直线 x=2, 当 x=2 时,y=2﹣1=1, ∴抛物线对称轴上存在点 D(2,1) ,使△BCD 的周长最小; (3)如图,设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m, 联立 ,

消掉 y 得,x2﹣5x+3﹣m=0, △=(﹣5)2﹣4×1×(3﹣m)=0, 解得:m=﹣ 即 m=﹣ ,

时,点 E 到 AC 的距离最大,△ACE 的面积最大, =﹣ ,

此时 x= ,y= ﹣

∴点 E 的坐标为( ,﹣ ) , 设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F,则 F( ,0) ,

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∴AF=

﹣1= ,

∵直线 AC 的解析式为 y=x﹣1, ∴∠CAB=45°, ∴点 F 到 AC 的距离为 AF?sin45°= × 又∵AC= =3 , × = ,此时 E 点坐标为( ,﹣ ) . = ,

∴△ACE 的最大面积= ×3

【点评】 本题考查了二次函数综合题型, 主要考查了待定系数法求二次函数解析 式,待定系数法求一次函数解析式,利用轴对称确定最短路线问题,联立两函数 解析式求交点坐标,利用平行线确定点到直线的最大距离问题.

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2015-2016 学年湖北省十堰市丹江口市九年级(上)期中数学试卷 一、选择题 1.已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m2﹣4=0 的一个根是 0,则 m 的值是( A.0 B.1 C.2 D.2 或﹣2 2.用配方法解方程 x2﹣8x+3=0,下列变形正确的是( ) 2 2 2 A. (x+4) =13 B. (x﹣4) =19 C. (x﹣4) =13 D. (x+4)2=19 3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不一定成立的是 ( )



A.CM=DM

B.OM=MB

C.BC=BD

D.∠ACD=∠ADC

4.下列一元二次方程有实数根的是( ) A.x2﹣2x﹣2=0 B.x2+2x+2=0 C.x2﹣2x+2=0 D.x2+2=0 5.已知关于 x 的一元二次方程(k﹣2)x2+2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围为( ) A.k>1 B.k>﹣1 且 k≠0 C.k>1 且 k≠2 D.k<1 6.观察如下图形,它们是按一定规律排列的,依照次规律,第 n 的图形中共有 210 个小棋子,则 n 等于( A.20 B.21 C.15 D.16 )

7.若点(﹣1,4) , (3,4)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两点,则此抛物线的对称 轴是( ) A.直线 x=﹣ B.直线 x=1 C.直线 x=3 D.直线 x=2

8.如图,⊙C 过原点 O,且与两坐标轴分别交于点 A、B,点 A 的坐标为(0,4) , 点 M 是第三象限内 上一点,∠BMO=120°,则⊙O 的半径为( )

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A.4

B.5

C.6

D.2

9. 如图, AB 为⊙O 直径, C 为⊙O 上一点, ∠ACB 的平方线交⊙O 于点 D, 若 AB=10, AC=6,则 CD 的长为( )

A.7

B.7

C.8

D.8 )

10.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则 a 的取值范围为(

A.﹣1<a<0

B.﹣1<a<

C.0<a< D. <a<

二、填空题 11.抛物线 y=﹣ (x+3)2+1 的顶点坐标是 .

12.已知 ab≠0,且 a2﹣3ab﹣4b2=0,则 的值为



13.已知关于 x 的方程 a(x+m)2+c=0(a,m,c 均为常数,a≠0)的根是 x1=﹣ 3,x2=2,则方程 a(x+m﹣1)2+c=0 的根是 . 14.如图,AB,AC 是⊙O,D 是 CA 延长线上的一点,AD=AB,∠BDC=25°,则∠ BOC= .
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15.已知△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,AB=AC,⊙O 的半径等于 10cm,圆心 O 到 BC 的距离为 6cm,则 AB 的长等于 . 16.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,图象与 x 轴交于 A(x1, 0)B(x2,0)两点,点 M(x0,y0)是图象上另一点,且 x0>1.现有以下结论: ①abc>0;②b<2a;③a+b+c>0;④a(x0﹣x1) (x0﹣x2)<0. 其中正确的结论是 . (只填写正确结论的序号)

三、解答题 17.解方程: (1)x2+2x﹣15=0 (2)3x(x﹣2)=

(2﹣x)

18.已知抛物线的顶点是(4,2) ,且在 x 轴上截得的线段长为 8,求此抛物线 的解析式. 19.定义:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)满足 a+b+c=0,那么我们称这 个方程为“凤凰”方程.已知 x2+mx+n=0 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数 根,求 m2+n2 的值. 20.为响应党中央提出的“足球进校园”号召,我市在今年秋季确定了 3 所学校 为我市秋季确定 3 所学校诶我市足球基地实验学校, 并在全市开展了中小学足球 比赛,比赛采用单循环制,即组内每两队之间进行一场比赛,若初中组共进行 45 场比赛,问初中共有多少个队参加比赛? 21.如图,在⊙O 中, = ,∠ACB=60°. (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC; (2)若 D 是 的中点,求证:四边形 OADB 是菱形.

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22.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0. (1)求证:无论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根,且 BC=8,当△ABC 为等腰三角形时,求 m 的值. 23.如图,O 为正方形 ABCD 对角线上一点,以点 O 为圆心,OA 长为半径的⊙O 与 BC 相切于点 E. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若正方形 ABCD 的边长为 10,求⊙O 的半径.

24.某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果 每件商品的售价每上涨 1 元, 则每个月少卖 10 件 (每件售价不能高于 65 元) . 设 每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数) ,每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是 多少元? (3) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论, 请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元? 25.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点,过点 A 的直线 l 与抛 物线交于点 C,其中 A 点的坐标是(1,0) ,C 点坐标是(4,3) . (1)求抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 D,使△BCD 的周长最小?若存在, 求出点 D 的坐标,若不存在,请说明理由; (3)若点 E 是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线 AC 的下方,试求△ACE 的最大面积及 E 点的坐标.

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