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函数的单调性典型例题


函数的单调性及典型习题
一、函数的单调性

1、定义:
(1)设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,区间 M ? A,如果取区间 M 中的任意两个值 x1 , x 2 ,当改 变量 ? x2 ? x1 ? 0 时,都有 ? f (x2 ) ? f (x1) ? 0 ,那么就称函数 y ? f ( x) 在区间 M 上是增函数,如图(

1) 当改变量 ? x2 ? x1 ? 0 时, 都有 ? f (x2 ) ? f (x1) ? 0 , 那么就称函数 y ? f ( x) 在区间 M 上是减函数, 如图 (2)

注意:函数单调性定义中的 x1,x2 有三个特征,一是任意性,二是有大小,三是同属于一个单调区 间. 2、巩固概念: 1、定义的另一种表示方法 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2, 若

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0即 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?y ?y ? 0 ,则函数 y=f(x)是增函数,若 ? 0 ,则函数 y=f(x)为减函数。 ?0即 ?x ?x x1 ? x2
判断题: ①已知 f ( x ) ?

1 因为 f (?1) ? f (2) ,所以函数 f ( x) 是增函数. x

②若函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (3) 则函数 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上为增函数. ③若函数 f ( x) 在区间 (1, 2] 和 (2,3) 上均为增函数, 则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数. ④ 因 为 函 数 f ( x) ?

1 1 在 区 间 ?? ? , 0), (0 ? ,?上 ) 都 是 减 函 数 , 所 以 f ( x) ? 在 x x

(??,0) ? (0, ??) 上是减函数.
通过判断题,强调几点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

1

②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个 区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 A ? B 上 是增(或减)函数. 熟记以下结论,可迅速判断函数的单调性. 1.函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的单调性相反.

1 2.当 f(x)恒为正或恒为负时,函数 y= f ( x ) 与 y=f(x)的单调性相反.
3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等 3.判断函数单调性的方法 (1)定义法. (2)直接法.运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数,二次函数的单 调性均可直接说出. (3)图象法.

例 1、证明函数 f ( x) ?

1 在(0,+ ? )是减函数. x

练习 1:证明函数 f ( x) ?

x 在 ? 0, ?? ? 上是增函数.

1 1? x 例 2、设函数 f(x)= x ? 2 +lg 1 ? x ,试判断 f(x)的单调性,并给出证明.

例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3|

(2)y=

x 2 ? 2x 1?| x ? 1|

(3)y= ? x 2 ? 2 x ? 3
2

例 4、函数 f(x)=ax2-(3a-1)x+a2 在[-1,+∞]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

例 5、已知二次函数 y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x=3 的抛物线,试比 较大小: (1)f(6)与 f(4)

(2)f(2) 与f( 15)

例 6、 函数 f (x)=| x | 和 g (x)=x (2-x )的递增区间依次是 ( ) A. (??, 0], (??, 1] B. (??, 0], [1, ? ?) C. [0, ? ?), (??, 1] D. [0, ? ?), [1, ? ?)

例 7、已知 a、b 是常数且 a≠0, f (x) ? ax ? bx , 且 f (2) ? 0 , 并使方程 f ( x ) ? x 有等根. (1) 求 f (x )的解析式; (2) 是否存在实数 m、n (m ? n ) , 使 f (x )的定义域和值域分别为 [m, n ] 和 [2m, 2n ] ?
2

同步训练: 一、选择题 1.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是
2

A.y=|x -1|

2 B.y= x

C.y=2x2-x+1

D.y=|x|+1

2.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间 [-7,-3]上是 A. 增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值为-5

C.减函数且最小值为-5

3.若函数解析式为 y=f(x) ,则下列判断正确的是 A、若 f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均是增函数,则 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞) 上也是增函数 B、若 f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均是减函数,则 f(x)在(-∞,0)∪(0,+
3

∞)上也是减函数 C、若 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则 f(x)在(-∞,0)上也是增函 数 D、若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,则 f(x)在(-∞,0)上是增函数 二、填空题 4.已知函数 y=-x2+2x+1 在区间[-3,a]上是增函数,则 a 的取值范围是______________ 5.设函数 y=f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,则函数 y=f(x2-1)的单调递减区间是 ______________

b 6. 若函数 y=ax,y=- x 在 (0, +∞) 上都是减函数, 则函数 y=ax2+bx 在 (0,+∞) 上是________
(填单调性) .

1 三、解答题已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(-x)= f ( x ) >0,又 g(x)=f(x)+
c(c 为常数)在[a,b] (a<b=上是单调递减函数,判断并证明 g(x)在[-b,-a]上的增减 性.

课后巩固: 1、利用函数单调性定义证明函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数.

2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时,

0 ? f ( x ) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

4


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