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湖南浏阳一中10-11学年高二上学期第一次月考(数学文)


湖南省浏阳一中 2010—2011 学年高二年级上学期第一次月考 数学试题(文科)
总分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:共 8 小题每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的,把正确的选项的代号涂在答题卡上. 1. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A 1 B )

?

1

C

?1

D

1 2
) D.8 )

2.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( A.2 B.3 C.4

3.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+

1 (n≥3) ,则 a5 等于( a n ?2
C.4 ) D.6 D.5

A.

55 12

B.

13 3

4.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 )

5.等比数列 ?a n ? 中, a5 a14 ? 5 ,则 a8 a9 a10 a11 =( A.10 B.25
2 7

C.50

D.75 )

6.各项不为零的等差数列 {a n } 中, 2a3 ? a ? 2a11 ? 0 ,则 a7 的值为( ... A. 0 B.2 C. 0或4 D.4

7.在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? ( A. 18 ) B. 99 C. 198 D. 297 )

8. 等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 如果 a1、a 2、a5 成等比数列, 那么 d 等于 ( A.3 B.-2 C. 2 D. ? 2

二、填空题:本大题有 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分;将答案填写在第 II 卷相应的题号后 面的空格内. 9. S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 ,则 a n ? 10.某种产品平均每三年降低价格 11.在 和 .

1 ,目前售价 640 元,则 9 年后此产品的价格是 4

8 3

27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 2
-1-

12.已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 S n ?
2



13.已知数列 {a n } 前 n 项和 S n ? ?2n ? 3n ? 1 ,则 a n ? __________. 14.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 81且 a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 171 ,则公差 d = 15.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某 商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱 锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球; 第 2,3,4,? 堆最底层 (第一层)分别按图 1 所示方 式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒 放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 图1



以 f (n) 表示这 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ ( f (n) 的答案用 n 表示).

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 16. (本小题 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162 ,公比 q ? 3 ,前 n 项和 Sn ? 242 ,求首 项 a1 和项数 n .

17. (本小题满分 12 分) 已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列的前 n 项和 Sn 的最大值及相应的 n 的值.

-2-

18.(本小题满分 12 分) 如图,三个正方形的边 AB, BC, CD 的长组成等差数列,且 AD ? 21cm ,这三个正方形的面 积之和是 179cm 。 (1)求 AB, BC, CD 的长; (2)以 AB, BC, CD 的长为等差数列的前三项,以第 10 项 为边长的正方形的面积是多少?
2

A

B

C

D

19. .(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 中, a1 ? 3, an?1 ? 2 an ? 0 ,数列 {bn } 中, bn ? an ? ??1?n (n ? N *) . (Ⅰ)求数列 {a n } 通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 通项公式以及前 n 项的和.

20. (本小题满分 13 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,数列{bn}中,bn=(3n-2)·n. a (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn;

-3-

21. (本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 、 { bn } 满足 a1 ? 1 , a 2 ? 3 , (1)求数列 { bn } 的通项公式; (2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)数列 { c n } 满足 c n ? log 2 (a n ? 1) (n ? N ) ,求 Sn ?
*

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn ? a n ?1 ? a n 。 bn

1 1 1 。 ? ??? c1c3 c3c5 c2 n ?1c2 n ?1

-4-

数学答案(文科)
总分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:共 8 小题每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的,把正确的选项的代号涂在答题卡上. 1 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( C A 1 B )

?1

C

?1

D

1 2
) D.8 )

2.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为(A A.2 B.3 C.4

3.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+

1 a n ?2

(n≥3) ,则 a5 等于( A

A.

55 12

B.

13 3

C.4

D.5

4.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( B ) A.12 B.10 C.8 B ) D.75 D.6

5.等比数列 ?a n ? 中, a5 a14 ? 5 ,则 a8 a9 a10 a11 =( A.10 B.25
2 7

C.50

6.各项不为零的等差数列 {a n } 中, 2a3 ? a ? 2a11 ? 0 ,则 a7 的值为( D ) ... A. 0 B.2 C. 0或4 D.4 7.在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? ( A. 18 B ) B. 99 C. 198 D. 297

8. 等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 如果 a1、a 2、a5 成等比数列, 那么 d 等于 C ) ( A.3 B.-2 C. 2 D. ? 2

二、填空题:本大题有 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分;将答案填写在第 II 卷相应的题号后 面的空格内. 9. S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 ,则 a n ? .

2n ? 1
10.某种产品平均每三年降低价格 11. 在 和

1 ,目前售价 640 元,则 9 年后此产品的价格是 4

270 元 216

8 3

27 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的乘积为 2
-5-

12.已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 S n ?
2

?

13.已知数列 {a n } 前 n 项和 S n ? ?2n ? 3n ? 1 ,则 a n ? __ ?

?2( n ? 1) ________. ??4n ? 5( n ? 2)
10

n( 5 ? 1 ) n 2



14.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 81且 a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 171 ,则公差 d = 15.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某 商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱 锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球; 第 2,3,4,? 堆最底层 (第一层)分别按图 1 所示方 式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒 放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 图1



以 f (n) 表示这 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ ( f (n) 的答案用 n 表示).

f (3) ? 10, f (n) ?

n(n ? 1)( n ? 2) . 6

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 16. (本小题 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162 ,公比 q ? 3 ,前 n 项和 Sn ? 242 ,求首 项 a1 和项数 n . 解:由已知,得

? a1 ? 35?1 ? 162, ? ? a1 (1 ? 3n ) ? 242, ? ? 1? 3

① ②

…3 分 …6 分 …………9 分

由①得 81a1 ? 162 ,解得 a1 ? 2 . 将 a1 ? 2 代入②得

2(1 ? 3n ) ? 242 , 1? 3
………11 分 ………12 分



3n ? 2 4 ,解得 n=5. 3

∴数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 ,项数 n=5.

17. (本小题满分 12 分) 已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列的前 n 项和 Sn 的最大值及相应的 n 的值. 解: (1)解?{a n } 为等差数列,? a 2 ? a5 ? a3 ? a 4

-6-

?a 2 ? a5 ? 15 ?? ?a 2 ? a5 ? 54
解得 ?

……………………………………………………2 分

?a 2 ? 6 ?a 2 ? 9 (因d ? 0, 舍去) ? ……………………………4 分 ?a 5 ? 9 ?a 5 ? 6

? d ? ?1 ?? ………………………………………………………………5 分 ?a1 ? 10

? an ? 11 ? n. ……………………………………………………………6 分

(2)? a1 ? 10, a n ? 11 ? n

? Sn ?
又?

n(a1 ? a n ) 1 21 ? ? n 2 ? n. …………………………………8 分 2 2 2

1 21 ? 0 ,对称轴为 ,故当 n = 10 或 11 时,…………………10 分 2 2

Sn 取得最大值,其最大值为 55. ………………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 如图,三个正方形的边 AB, BC, CD 的长组成等差数列,且 AD ? 21cm ,这三个正方形的面 积之和是 179cm 。 (1)求 AB, BC, CD 的长; (2)以 AB, BC, CD 的长为等差数列的前三项,以第 10 项 为边长的正方形的面积是多少? 解:设公差为 d (d ? 0) , BC ? x 则 AB ? x ? d , CD ? x ? d 由题意得: ?
2

?( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 21
A B C D

2 2 2 ?( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 179 ?x ? 7 ?x ? 7 解得: ? 或? (舍去) ?d ? 4 ? d ? ?4 ∴ AB ? 3(cm), BC ? 7(cm), CD ? 11(cm)

(2)正方形的边长组成已 3 为首项,公差为 4 的等差数列 ? an ? , ∴ a10 ? 3 ? (10 ? 1) ? 4 ? 39 ,∴ a10 ? 39 ? 1521(cm)
2 2 2

所求正方形的面积是 1521(cm)

2

19. .(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 中, a1 ? 3, an?1 ? 2 an ? 0 ,数列 {bn } 中, bn ? an ? ??1?n (n ? N *) . (Ⅰ)求数列 {a n } 通项公式;
-7-

(Ⅱ)求数列 {bn } 通项公式以及前 n 项的和. 【解】 (1)∵ an?1 ? 2an ? 0 ∴

a n ?1 ? 2(n ? 1) an

-----------2 分

又 a1 ? 3 ∴ ?a n ?是首项为 3,公比为 2 的等比数列 ∴ an ? 3 ? 2
n ?1

-----------4 分 -----------6 分

(n ? N *)

(2)∵ bn ? an ? ??1?n (n ? N *) ∴ bn ? (?1) n ? = (?1) n ?

1 an
-----------8 分

1 3 ? 2 n ?1

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn

1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? (?1) n ? 3 3? 2 3 ? 2 n ?1 1? 1 ? ? ?1 ? (? ) n ? 3? 2 ? = 1 1? 2
=-

-----------10 分

2? 1 ? 1 ? (? ) n ? 9? 2 ? ?
-----------12 分

=

2? 1 n ? (? ) ? 1? 9? 2 ? ?

20. (本小题满分 13 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,数列{bn}中,bn=(3n-2)·n. a (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (1)∵Sn=2an-1 ① Sn-1=2an-1-1 (n≥2) ② ①-② 得 an=2an-2an-1 ∴an=2an-1 ∵a1=S1=2a1-1 ∴a1=1 - {an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列 an=2n 1……………………6 分 - (2)∵bn=(3n-2)·n 1 2 - ∵Tn=1+4· 22+…+(3n-2)·n 1 ③ 2+7· 2
-8-

2Tn=1· 22+…+(3n-2)·n ④ 2+4· 2 2 n-1 ③-④-Tn=1+3(2+2 +…+2 ) -(3n-2)·n 2 n =-5-(3n-5)· 2 n ∴Tn=(3n-5)· +5………………………13 分 2 21. (本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 、 { bn } 满足 a1 ? 1 , a 2 ? 3 , (1)求数列 { bn } 的通项公式; (2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)数列 { c n } 满足 c n ? log 2 (a n ? 1) (n ? N ) ,求 Sn ?
*

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn ? a n ?1 ? a n 。 bn

1 1 1 ? ??? 。 c1c3 c3c5 c2 n ?1c2 n ?1

【解】 (1)?

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) ,又 b1 ? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 。 bn
n ?1

所以数列 { bn } 是首项 b1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列。故 bn ? b1q (2) an ?1 ? an ? 2 (n ? N )
n *

? 2n 。…… 4 分

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2 n ?1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1 ?
n

1 ? 2n ? 2 n ? 1 。………… 8 分 1? 2
n

(3) c n ? log 2 (a n ? 1) ? log 2 (2 ? 1 ? 1) ? log 2 2 ? n , (n ? N ) ,
*

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) c2 n ?1c2 n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ??? c1c3 c3c5 c2 n ?1c2 n ?1

? Sn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 ?

-9-

高 考 资


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