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反函数常用知识点总结


反函数
定义
一般地, 设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C, 若找得到一个函数 g(y)在每一处 g(y)都等于 x, 这样的函数 x= g(y)(y∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数,记作 y=f -1 (x) 。反函数 y=f -1 (x) 的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。 (不求过深理解)

引申
一般地,如果 x 与 y 关于某种对应关系 f(x)相对应,y=f(x) ,则 y=f(x)的反函数 为 y=f -1(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整 个数域内的) 。 注意:上标"?1"指的并不是幂。 在微积分里,f (n)(x)是用来指 f 的 n 次微分的。 若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible) 。

性质
(1)函数 f(x)与它的反函数 f-1(x)图象关于直线 y=x 对称;

图1

函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称

(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数 y=f(x),定义域是{0} 且 f(x)=C (其中 C 是 常数) ,则函数 f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ) 。奇函数 不一定存在反函数, 被与 y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数。 若一个奇函 数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 (5)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数; (6)反函数是相互的且具有唯一性; (7)定义域、值域相反,对应法则互逆(三反) ; (8)原函数一旦确定,反函数即确定(三定) (在有反函数的情况下,即满足(2) ) ; (9)反函数的导数关系:如果 x=f(y)在区间 I 上单调,可导,且 f'(y)≠0,那么它的 反函数 y=f'(x)在区间 S={x|x=f(y),y 属于 I }内也可导,且[f'(x)]'=1\[f'(x)]'。 (10)y=x 的反函数是它本身。

说明

⑴在函数 x=f -1(y)中,y 是自变量,x 是函数,但习惯上,我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数,为此我们常常对调函数 x=f -1(y)中的字母 x,y,把它改写成 y=f -1(x),今后凡无 特别说明,函数 y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数 y=f(x)来说,不一定有反函数;若函数 y=f(x)有反函数 y=f -1(x),那么函数 y=f -1(x)的反函数 就是 y=f(x),这就是说,函数 y=f(x)与 y=f -1(x)互为反函数。 ⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数,如二 次函数在 R 内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数。 ⑷ 从映射的定义可知, 函数 y=f(x)是定义域 A 到值域 C 的映射, 而它的反函数 y=f -1(x) 是集合 C 到集合 A 的映射,因此,函数 y=f(x)的定义域正好是它的反函数 y=f -1(x)的值域; 函数 y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f -1(x)的定义域(如下表) : 函数:y=f(x); 反函数:y=f -1(x); 定义域: A 、C; 值域: C、 A; 上述定义用“逆”映射概念可叙述为: 若确定函数 y=f(x)的映射 f 是函数的定义域到值域上的“一一映射”, 那么由 f 的“逆”映射 -1 -1 -1 f 所确定的函数 y=f (x)就叫做函数 y=f(x)的反函数。 反函数 y=f (x)的定义域、值域分别 对应原函数 y=f(x)的值域、定义域。开始的两个例子:s=vt 记为 f(t)=vt,则它的反函数就可以 写为 f -1(t)=s/v,同样 y=2x+6 记为 f(x)=2x+6,则它的反函数为:f -1(x)=x/2-3。 有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将 x 进行分类讨论:在 x 大于 0 时的情况,x 小于 0 的情况,多是要注意的。

例题
求 y=(x-2)/(2x-1)的反函数 解:去分母得 2xy-y=x-2 移项合并含有 x 项得 x(2y-1)=y-2 x=(y-2)/(2y-1) 即 f -1(x)=(x-2)/(2x-1)


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