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四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二上学期第8周周考数学试题


天全中学 2015—2016 学年上期高二第 8 周周考 数 学 试 题
班级: 姓名: 成绩:

一、选择题(本大题共 5 个小题,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目 要求的)
1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

A.

B.

C.

D.

2.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A. 若 l∥α,m⊥α,则 B. 若 l⊥m,m∥α 则 C. 若 l⊥m,m⊥α,则 l∥αD. 若 l∥α,m∥α 则 l⊥m l⊥α l∥m 3.已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°,AB?α,AB⊥l,A 为垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°,则 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.长方体的一条对角线和同一顶点上的三条棱中的两条所成的角为 60°、45°,则它和另一条 棱所成的角为( ) 30 ° A. B.60° C.45° D.不确定 5.已知平面 α、β 和直线 m,若 α⊥β,m⊥α,则( ) A.m⊥β B.m∥β C.m?β D.m∥β 或 m?β

二、填空题(本大题共 3 个小题,把正确答案填在题中横线上)
6.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连接 PB、PC、PD、AC、BD, 则下列垂直关系中正确的序号是 _________ . ①平面 PAB⊥平面 PBC ②平面 PAB⊥平面 PAD ③平面 PAB⊥平面 PCD. 7.如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB?α.B∈l,AB 与 l 所成的 角为 30°.则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是 _________ .

8.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是 _________ (写出所有符合要求的图形序号) .

三、解答题(本大题共 3 个大题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
9.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD.

10. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, ∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上 的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .

(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 M 为棱 PC 的中点,求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (Ⅲ)若二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 30°,求 QM 的长.

11. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是梯形, 且 AD=DC=CB= AB. 直 角梯形 ACEF 中, (Ⅰ)求证:BC⊥AF; (Ⅱ) 若直线 DE 与平面 ACEF 所成的角的正切值是 , 试求∠FAC 的余弦值. ,∠FAC 是锐角,且平面 ACEF⊥平面 ABCD.

天全中学 2015—2016 学年上期高二第 8 周周考 数学参考答案
1.D: 2.A 3.B 4.B 5.D 6.①②. 7. . 8. ①③ 9:证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF?面 ACD,AD?面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC, ∵BD?面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD 10: (Ⅰ)由题意易证 QB⊥AD,由面面垂直的性质可得 BQ⊥平面 PAD,可得结论; (Ⅱ)易 证 PQ⊥平面 ABCD, 以 Q 为原点建立空间直角坐标系,则可得相关点的坐标, 可得向量 的坐标,可得夹角的余弦值,由反三角函数可得答案; (Ⅲ)可得平面 BQC 的法向量为 ,又可求得平面 MBQ 法向量为 的方程,解方程可得 λ,可得所求. 11.解(Ⅰ)证明:在等腰梯形 ABCD 中, ∵AD=DC=CB= AB,∴AD、BC 为腰, 取 AB 得中点 H,连 CH,由题意知四边形 ADCH 为菱形, 则 CH=AH=BH,故△ ACB 为直角三角形,∴BC⊥AC,… ∵平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, ∴BC⊥平面 ACEF,∵AF?平面 ACEF,故 BC⊥AF. … (Ⅱ)解:连结 DH,交 AC 于 MD,再连结 EM、FM.由题意知四边形 ADCH 为菱形, ∴DM⊥AC,∵平面 ACEF⊥平面 ABCD,∴DM⊥平面 ACEF. ∴∠DEM 即为直线 DE 与平面 ACEF 所成的角.… 设 AD=DC=BC=a,则 MD= 依题意, ∴ , ,结合题意可得 λ 和

在 Rt△ ECM 中,cos∠EMC=

=

=





=AM,∴四边形 AMEF 为平行四边形,

∴ME∥AF,∴∠FAC=∠EMC,



.…


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