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高考数学一轮复习配套练习课时知能训练4-3


课时知能训练
一、选择题 1.(2012· 惠州质检)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4, →· → 等于( 则AB AC A.-16 ) B.-8 C.8 D.16

2.(2011· 湖北高考)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角 等于( )

π π π 3π A.-4 B.

6 C.4 D. 4 → =1(AB → +AC → ),且|OA → |=|AB → |, 3.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,AO 2 →· → 为( 则BA BC ) C.-1 D.- 3 )

A.1 B. 3

4.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( A.0 B.2 2 C.4 D.8

5.(2011· 课标全国卷)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个 命题: 2π 2π p1:|a+b|>1?θ∈[0, 3 );p2:|a+b|>1?θ∈( 3 ,π]; π π p3:|a-b|>1?θ∈[0,3);p4:|a-b|>1?θ∈(3,π]. 其中的真命题是( A.p1,p4 C.p2,p3 二、填空题 6.已知向量 a=(1,sin θ),b=(1, 3cos θ),则|a-b|的最大值为________. 7.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a∥b 且 a∥c,则 b∥c; ②若 a=(2,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-6; )

B.p1,p3 D.p2,p4

③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30° . 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 2π 8.(2011· 江苏高考)已知 e1,e2 是夹角为 3 的两个单位向量,a=e1-2e2,b =ke1+e2.若 a· b=0,则实数 k 的值为________. 三、解答题

图 4-3-2 9.在△ABC 中,∠BAC=120° ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点,DC →· →. =2BD.如图 4-3-2 所示,试求AD AC 10. (2012· 揭阳调研)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(-1, -2), B(2,3), C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC 11.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

答案及解析
1. 【解析】 → =AC → +CB →, 由AB →· → =AC → 2+CB →· →. ∴AB AC AC → ⊥AC → ,∴AB →· → =42=16. 又 AC=4,且CB AC 【答案】 2. 【解析】 D 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),

a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3), 则(2a+b)· (a-b)=3×0+3×3=9, |2a+b|=3 2,|a-b|=3, 设 2a+b 与 a-b 的夹角为 θ,且 θ∈[0,π], 则 cos θ= 【答案】 3. 【解析】 9 2 π = 2 ,得 θ=4. 3 2×3 C → =1(AB → +AC → ),知 O 是 BC 的中点, 由AO 2

→ |=|AB → |=1=1|BC → 又|OA 2 |, π ∴△ABC 是直角三角形,且 B=3, π 1 →· → =|BA → |· → |· ∴BA BC |BC cos 3=1×2×2=1. 【答案】 4. 【解析】 A |2a-b|= ?2a-b?2= 4a2-4a· b+b2

= 4×12-4×0+22=2 2. 【答案】 5. 【解析】 B 由|a+b|= a2+2a· b+b2= 2+2cos θ>1,

1 2π 得 2+2cos θ>1,∴cos θ>-2,∴0≤θ< 3 . 由|a-b|= a2-2a· b+b2= 2-2cos θ>1, 1 π 得 2-2cos θ>1,∴cos θ<2,∴3<θ≤π. ∴p1,p4 正确.p2,p3 错误. 【答案】 6. 【解析】 A ∵a-b=(0,sin θ- 3cos θ),

∴|a-b|= ?sin θ- 3cos θ?2=|sin θ- 3cos θ| π =2|sin(θ-3)|≤2, ∴|a-b|的最大值为 2.

【答案】 7. 【解析】

2 命题①明显错误.

由两向量平行得 2×6+2k=0,k=-6,故命题②正确. 由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得 a 与 a+b 的夹角为 30° ,命 题③正确. 【答案】 8. 【解析】 ②③ 由题意 a· b=0,即有(e1-2e2)· (ke1+e2)=0,

∴ke2 e2-2e2 1+(1-2k)e1· 2=0. 2π 又|e1|=|e2|=1, 〈e1,e2〉= 3 , 2π 5 ∴k-2+(1-2k)· cos 3 =0,k=4. 【答案】 9. 【解】 5 4 → =1BC → ∵DC=2BD,即BD 3 ,

→ =AB → +BD → =AB → +1BC → ∴AD 3 . → =AC → -AB →, 又BC → =AB → +1(AC → -AB → )=1AC → 2→ 因此AD 3 3 +3AB. ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=1, →· → =1AC → 2+2AB → AC → ∴AD AC 3 3 · 1 2 1 =3×12+3×2×1· cos 120° =-3. 10. 【解】 → =(3,5),AC → =(-1,1),则 (1)由题设知AB

→ +AC → =(2,6),AB → -AC → =(4,4). AB → +AC → |=2 10,|AB → -AC → |=4 2. 所以|AB 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → =(-2,-1),AB → -tOC → =(3+2t,5+t). (2)由题设知OC → -tOC → )· → =0,得(3+2t,5+t)· 由(AB OC (-2,-1)=0,

11 从而 5t=-11,所以 t=- 5 . 11. 【解】 ∴cos 45° = (1)a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, 2n-2 2 =2, 2 5· n +4

∴3n2-16n-12=0(n>1), 2 ∴n=6 或 n=-3(舍),∴b=(-2,6). (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又 c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0),(c-a)· a=0, |a|2 5 1 ∴λb· a-|a| =0,∴λ=b· a=10=2,
2

1 ∴c=2b=(-1,3).


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