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第一章 基本数学运算


第一章 基本数学运算
? 软件界面介绍
工作区间窗 口(变量显示 区)

命令窗口

命令历 史窗口

? 基本数学计算
(1)加减乘除:+,-,*,/

(2)幂:^,e^1=exp(1)
(3)点乘点除点幂:.*,./,.^(矩阵或向量同一位 置元素的乘除

幂)。 (4)函数: 3.1 三角函数: sin,cos,tan,asin,acos,atan 3.2 绝对值函数: abs 3.3 对数函数:log,log2,log10 3.4 常数: pi(3.1415926),虚数:1+2i,无穷大:inf

? 数学计算实例
sin(2) sin(pi/2)+2^1.3/tan(pi/4) log(exp(3.14))+exp(1.23)

? 数学表达式
用括号( ),函数,运算符(+,-,*,/,^,),变量等组合的表达式

比如: sin(angle/4)+log2(90);
变量:实际上是保存计算结果的储存空间,用一个或 几个字母标志,不能与函数或其他关键字相同。

g=9.8; time=10; Distance=1/2*g*time^2;

(1)变量不要与函数名字和其他关键字相同,比如
sin=9; if=20; X=sin/9+if*30;

(2)变量名最好有物理意义
比如时间变量取time就比用x可读性要好.

? 数据显示格式
Short: 小数点后显示4为有效数 long: 小数点后显示8位有效数 E: 科学表达数,用来表示数很大或很小的数,如 1.23e10,1.23e-14 Format: 指定格式,如 format short ,format short e format long , format long e

? 多项式计算
(1)多项式定义:

用系数向量定义,系数可以是复数,按幂从高到低 排列,用空格分开,系数0不能省略,两边用中括号 包括,一般将向量赋给一个变量。 如:P1=[1 1 2 3 4];P2=[1+0.5i 2+i 4.2]

分别表示1x4+1x3+2x2+3x+4,
(1+0.5i)x2+(2+i)x+4.2

(2)多项式值与根计算(polyval(),roots())
计算多项式值: polyval()
第1个参数为系数向量 第2个参数为计算点,可以是具 体值也可以是变量

polyval(p1,3.4)

计算多项式表示的方程根:roots()
例:求1x4+1x3+2x2+3x+4=0的根 P3=[1 1 2 3 4]; X=roots(p3);
第1参数为X坐标 第2个参数为Y坐标 第3个参数为多项式 最高幂 结果为多项式系数

(3)多项式相乘conv() a=[1 2 3], b=[4 5 0 6] c=conv(a,b)

(4)多项式拟合polyfit() a=[1 3 4 5 6], b=[2.3 5 7 9 0.45 0.23] c=polyfit(a,b,4)

? 简单二维图形绘制
plot(x,y,’说明符’): x:向量变量,保存点的横轴坐标 y:向量变量,保存点的纵坐标 说明符:指定线形、颜色、绘制点的标志符号 点标志:0,*,d(dot),+,s(square) 颜色:r,g,b,y(红绿蓝黄),c,m,k,w() 线型:点‘:’,实‘-’,虚‘- -’ 比如: X=1:0.1:20;%等间距取点, 起点:间距:终点 Y=sin(x); plot(x,y,’:--r’)

(2)详细用法: plot(x,y,'--rs','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k', 'MarkerFaceColor','g','MarkerSize',10) 说明线宽,标志线颜色、标志内部颜色、标志大小, 例:plot(x,sin(x),'--rs','linewidth',10', 'markeredgecolor','k','makerfacecolor','g','markersize',1 (3)同一框内画多条曲线 Hold on:模态命令,直到hold off时才失效 例: x=0:0.01:1 Plot(x,sin(x),’-r’) plot(x,cos(x),’—g’) (4) 设置坐标轴范围,坐标轴符号 Axis(xmin,xmax,ymin,ymax);xlabel(‘’);ylabel(‘’) 注意:-inf:负无穷大

(5)设置坐标格点 set(gca,‘ytick’,[2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5]) set(gca,'XTickLabel',{'-pi','-pi/2','0','pi/2','pi'}) 坐标轴格点一般等距离,可用1:0.01:1示,即 起点:等分距离:末点,如果末点与起点距离不是等距 的整数倍,则以相距等距离倍数的最后一个点 为末点,如1:0.25:2.1,最后一点是2。 1:0.2:4格式可用来定义等距离向量 例: (6)设置图形名称,曲线名称 Title(‘名称’) legend(‘名称1’,‘名称2’):按顺序设置曲线名称 例:

也可直接在图中操作设置图形属性。
属性设置修 改菜单

图属性 坐标轴属性 曲线属性

图属性 设置

曲线属性 设置

坐标轴属性设置

设置曲线名称及图形名称

? 简单三维图形绘制
(1)三维曲线 T=0:0.01:1 Plot3(cos(t),sin(t),t,’-r’) (2)三维曲面 X=0:0.1:10 Y=0:0.1:10 [xx,yy]=meshgrid(x,y) Z=sin(xx)+cos(yy) Figure(1) Surf(xx,yy,z) Figure(2) Surf(xx,yy,z);Shading interp Figure(3) Mesh(xx,yy,z) Figure(4) Contour(xx,yy,z) 定义XY区域:meshgrid, 返回格点的X,Y坐标 曲面绘制:surf 曲面网格:mesh 等高线:contour Shading intep指定背景 颜色进行插值

? 数值积分计算

? sin( x)dx ? - cos( x) | ? 1 - cos(2)
2 0 0

2

?
0

1

1 1 - a sin ( x)
2

dx

(1)定义函数
菜单:File-new-M_file 进入编辑器

写程序: function f=f1(t) f=sin(t);

函数编写格式: Function 返回变量=函数名(参数) …函数的matlab命令(命令以‘;’结束) 返回变量=函数值 (最后一条命令必须将函数值赋给返回变量)
写好程序后保存到一文件,文件名一般与函数名相同 (2)调用函数quad(‘name’,tmin,tmax)求数值积分 Name:函数名,tmin,tmax,积分下限,上限 例:quad(‘f1’,0,pi/2)

注意:Quad()的函数参数,加减乘除幂运算符应为:+, ,./, .*, .^, 参与+,-,.*,./运算的两个矩阵A、B(单个数可看作1*1 阶的矩阵)的行列维数必须相同,计算结果C也为同维的矩 阵 A+B=C?C(n,m)=A(n,m)+B(n,m) A-B=C?C(n,m)=A(n,m)-B(n,m) A./B=C?C(n,m)=A(n,m)/B(n,m) A.*B=C?C(n,m)=A(n,m)*B(n,m) A.^n=C?C(n,m)=A(n.m)^n 例: X=0:0.1:10; Y=2:0.1:12 Z1=X.*X; Z2=X./Y;

例:绘制曲线: y ? sin(t ) ? (sin(t ) ? 4) ? log10 (cos(t ) ? 20)
x=0:pi/20:2*pi; y=sin(x)+(sin(x)+log10(cos(x)+20))^0.5; plot(x,y);

例:编写

1 1 - 0.5*sin ( x)
2

函数

Function y=tuoyuan(t) X=sin(t); Y=1./(1-0.5.*x.*x).^5;

面积分(二重积分)函数dblquad()
用法:dblquad(‘name’,xmin,xmax,ymin,ymax) Name:函数名 xmin,xmax,ymin,ymax积分区域

例: function out =f2(x,y) out = y*sin(x) + x*cos(y); v=dblquad(‘f2’,0,1,0,5);

? 微分方程数值求解
1.多元一次微分方程组数值解

dy1 ? f1 (t , y1 , y2 ,..., yn ) dt dy2 ? f 2 (t , y1 , y2 ,..., yn ) dt ... dyn ? f n (t , y1 , y2 ,..., yn ) dt

计算步骤如下: (1)定义函数 例如: function df=f1(t,y) df=[y(1)-y(2); y(1)+y(2)]

第1个参数为自变量 第2个参数为向量变量 返回值为列向量

(2)调用函数 [t,y]=ode45(‘name’,[tmin,tmax],[y0;y1;…]) t为保存自变量的计算点向量变量,y保存计算点处各变 量值,为矩阵. y(:,1)表示第1个变量在t各计算点的值, y(1,2)表示第2个变量在t的第1个计算点的值 (3)绘制曲线 Plot(t,y(:,1))

第1各参数为函数名 第2个参数为积分范围 第3个参数为变量初值

[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) [T,Y,TE,YE,IE] = solver(odefun,tspan,y0,options) sol = solver(odefun,[t0 tf],y0...) Solver: ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb 非刚性矩阵:ode45,ode113

刚性矩阵: ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb 刚性矩阵(条件数很大)的矩阵

dy1 dy2 例:求微分方程组 ? y1 ? y2 , ? y1 - y2的数值解, dt dt 已知y1 (0) ? 0, y2 (0) ? 0

常微分方程组X ' ? AX 解法: 设A ? PDP -1,D为对角阵,则: P -1 X ' ? DP -1 X

令Y ? P -1 X ,则:Y ' ? DY,由于D为对角阵, Y为X的线性组合,所以,Y的初值也可求, 所以Y的通解可求。 所以:X ? PY

由于:A ? PDP -1 所以:AP ? PD 假设:P ? ? p1 p2 ... pn ? ? d1 0 0 ? ? ? 那么:AP ? PD ? R ? 0 ... 0 ? ?0 0 d ? n? ? 也即:AP 1 ? d1 p1 , Ap2 ? d 2 p2 ,...., Apn ? d n pn
也即:矩阵P为矩阵A的特征向量组成的矩阵, D各对角元素为A的特征值
?0? 例:求X ,已知X ' ? AX , X (0) ? ? ? ?1? ?1 1 ? A?? ?,|? I - A |? 0 ?1 -1? (? ? 1)(? - 1) - 1 ? 0

? 2 - 2 ? 0, ? ? ? 2 (? I - A) p ? 0, p为(? I - A) ? 0特征向量
? 2 -1 ? ? -1 ? -1 ? ? 2 - 1 ??? ? -1 ? 1 2 ? 1? ? ? ? ? 2 ? 1 - ( 2 ? 1) ? ? -1

? 1 -( 2 ? 1) ? ? ( 2 ? 1) ? ?? ? ? p1 ? ? ? 0 ?0 ? ? 1 ?
? - 2 -1 ? -1 ? ? - 2 - 1 -1 ? ??? ? ? -1 ? ? ? 2 ? 1 1 ? 1 2 ? 1 ? ( 2 1) ? ? ? ? ?1 2 - 1? ?? ? 0 0 ? ? ? 2 ? - 2 ? 1? ? 2 ? 1 - 2 ? 1? ? p2 ? ? ?, P ? ? ?, A ? P? ? 0 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 0 ? -1 ?P - 2? ?

Y (0) ? P X (0)..... y1 (t ) ? y1 (0)e ? e?1t ? X (t ) ? PY (t ) ? P ? ... ? 0 ? ... ... 0 ...

-1

?1t

? ? -1 ? P X (0) ?1t ? ... e ?
2 - 1? ? 2 ? 1? ?
2 - 1? ? 0 ? ?? ? 2 ? 1? ??1?

? 2 ? 1 - 2 ? 1? 2? 1 -1 X ? PY ? ? ? ?Y , P ? ? -1 4 1 1 ? ? ?
2t ? ? ? e 2 2 ?1 - 2 ?1 ? ? ?? 4 ? 1 1 ?? ? 0

0 ?? 1 ?? ? -1 e- 2t ? ??

理论解: X=0:0.1:10; Y1=exp(2^0.5*X); Y2=exp(-2^0.5*X); … Plot(X,Y3); Hold on; Plot(X,Y4)

数值求解: Function dy=f2(t,y) dy=[y(1)+y(2);y(1)-y(2)];

2. 一元高次微分方程数值求解

y

(n)

? a1 (t , y, y ', y '',... y
( n -1)

( n -1)

)y

( n -1)

? ... ?
( n -1)

an (t , y, y ', y '',... y
dy ? y1 dt dy1 ? y2 dt ... dyn - 2 ? yn -1 dt

) y ? b(t , y, y ', y '',... y

)

dyn -1 ? b(t , y, y1 ,..., yn -1 ) - a1 yn -1 - a2 yn - 2 - ... - an y dt

令y0 ? y ?
? 0 ? dY ? 0 ? dt ? 0 ? ? -an 1 0 0 -an -1 0 ?? y0 ? ? 0 ? ? y0 ? ?? ? ? ? ? ? ... 0 ?? y1 ? ? 0 ? y1 ? ? ? ,Y ? ? ... ? ... 1 ?? ... ? ? ... ? ?? ? ? ? ? ? ... -a1 ?? yn -1 ? ? b ? ? yn -1 ? 0

例: 求微分方程y?????-y2?y??+ y= 0数值解,初值 y=1,y ??=1

dy ? y1 dt dy1 2 ? -[ y ? (1 - y ) y1 ] dt
Function df=f1(t,y) df=[y(1);-y(1)-(1-y(1)^2)*y(2)];

[t s]=ode45(‘f1’,[0, 10],[1;1]);

? 数学表达式计算
数学运算:+,-,*,/,^, .*,./,.^ 括号: 常数: pi, 虚数 函数: Sin, cos, log, log2 log12,幂函数

? 多项式计算
多项定义:用行向量定义 多项式值计算: polyval(多项式系数向量,计算点) 多项式根求解: roots(多项式系数向量) 多项式拟合:polyfit(X坐标,Y坐标,最高幂)

?二维曲线绘制
Plot(横坐标向量,纵坐标向量,‘说服符’) Hold on或hold off命令 在图中修改图格式.

?三维曲线曲面绘制
曲线绘制: Plot3(X坐标向量,Y坐标向量,Z坐标向量, ‘说明符’) 曲面绘制: (1)meshgrid (2)surf, mesh

?积分方程数值求解
quad(‘ 函数名 ‘,tmin,tmax) 函数定义: function

?多元一次微分方程组数值求解
Ode45(‘函数名’,[tmin,tmax],[初值向量])

?一元高次微分方程数值求解
将一元高次微分方程转化为多元一次微分方 程组求解


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