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2013年杭州市高二年级教学质量检测模拟考试(数学)


2013 年杭州市高二年级教学质量检测模拟考试

数学试题卷(理科)
考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卷,满分 100 分,考试时间 90 分钟。 2.答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效。 4.考试结束,上交试题卷和答题卷。 第Ⅰ卷 选择题(共 30 分) 一.选择题(共 10 题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列函数求导数,正确的个数是(▲) ① (e )? ? e ;② [( x 2 ? 3)8 ]? ? 8( x 2 ? 3) ? 2 x ;③ (ln 2 x )? ?
2x 2x

2 2x 2 x ?1 ;④ (a )? ? 2a x

A.0 B.1 C.2 D.3 2.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 A,B 必须相邻且 B 在 A 的左边,那么不同的排法共有 (▲) A.60 种 B.48 种 C.36 D.24 种 3.若 a , b ? R ,则下面四个式子中恒成立的是(▲) A. a 2 ? 3ab ? 2b 2 C. lg(1 ? a ) ? 0
2

B. a ? b ? 2( a ? b ? 1)
2 2

D.

a a ?1 ? b b ?1
(第 4 题图)

4.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是(▲) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3

5.点 M、N 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1B1、A1D1 的中点,用过 A、M、N 和 D、N、C1 的两 个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、 侧(左)视图、 俯视图依次为(▲)

A.①、②、③

B.②、③、④

C.①、③、④

D.②、④、③

6.在底面半径为 3 ,高为 4 ? 2 3 的圆柱形有盖的容器内,放入一个半径为 3 的大球后,再 放入与球面、圆柱侧面及底面均相切的小球,则放入的小球个数最多为(▲) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个

高二数试· 第 1 页(共 3 页)

7.设 x, y, z ? (0, ??), a ? x ? A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2 8.用数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 , b ? y ? , c ? z ? ,则 a, b, c 三数中(▲) y z x
B.都小于 2 D.都大于 2

1 1 1 1 ? 2 ?? ? ? 2 ? (n ? N * ) ,第二步证明“从 k 到 2 2 2 3 (2n) 2n
C. 2k D. 8k ? 4

,左端增加的项数是(▲) k ?1 ” A. 1 B. 2

9.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是(▲) A.

3 5 5

B.

11 5

C.2 10. 已 知 f ( x ) ?

D.3

1 3 x ? x 2 ? ax ? m , 其 中 a ? 0 , 如 果 存 在 实 数 t , 使 f ?(t ) ? 0 , 则 3

f ?(t ? 2) ? f ?(

2t ? 1 ) 的值(▲) 3
B.必为负数 C.必为非负数 D.必为非正数

A.必为正数

第Ⅱ卷 非选择题(共 70 分) 二.填空题(共 7 题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知 (1 ? 2 x) 2013 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ?? a2013x 2013 , 则 a1 ? a2 ? ? ? a2013 ? 12.二项式 (2 x ?
3





1 7 ) 的展开式中的常数项是 x





13.两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin ? ? sin(? ? ? ) ? 0 ;三点等分单位圆时,有 相应正确关系为 sin ? ? sin(? ? 时的相应正确关系为 ▲
?

2? 4? ) ? sin(? ? ) ? 0 。由此可以推知:四点等分单位圆 3 3

14.在等差数列 ?an ? 中, a20 ? 0 ,a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a39 ? n (n ? 39, n ? N ) 若 成立.类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,若 b20 ? 1 ,则有 ▲ .

1 15.甲、乙两人投篮命中的概率分别为 p、q,他们各投两次,若 p= ,且甲比乙投中次数 2 7 多的概率恰好等于 ,则 q 的值为___▲_____. 36
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16. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 16 内,则实 9 16

数 m 的取值范围是____▲_______. 17.若 a ? 0 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2ae x 在 (0, ??) 上有且只有一个零点,则 a = 三.解答题(共 5 题,共 42 分) 18.设 z 是虚数, w ? z ? ▲

1 是实数,且 ?1 ? w ? 2 . z
(2)设 u ?

(1)求 z 的值及 z 的实部的取值范围;

1? z ,求证: u 为纯虚数. 1? z

19.(1) 已知: a, b, c 都是正实数,且 ab ? bc ? ca ? 1. 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . (2)若下列三个方程:x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? (a ? 1) x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 中
2 2 2 2

至少有一个方程有实根,试求 a 的取值范围. 20.在各项为正的数列 {an } 中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ? (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)由(1)猜想数列 ?a n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

1? 1 ? an ? ? 2? an

? ?, ? ?

21.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ? , PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 2 , E 为 PA 的中点.
(Ⅰ)求证: PC // 平面 EBD ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? PAD 的体积 VC ? PAD ; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ? 平面 MBD , 若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由 22.设函数 f ( x) ? x e
2 x ?1

P
E A

M D

B

C

? ax 3 ? bx 2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点.

(1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)设 g ( x) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3
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市统测数学模拟试题参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分.) 题号 1 2 3 4 5 答案 A D B D B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 B

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分.) 11. -1 12. 14

13.

? 3? sin ? ? sin(? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? 0 2 2
?

14. b1b2b3...bn ? b1b2b3...b39?n (n ? 39, n ? N ) 15.

2 3

16. [??, ?5] ? [5, ??]

17.

1 ?2e 4
5?

三、解答题(共 42 分) 18.(本小题满分 8 分)解: (1)设 ,

则 因为 z2 是实数,b≠0,于是有 a +b =1,即|z|=1,还可得 z2=2a,
2 2



1 ? a ?1 1 由-1<z2<2,得-1<2a<2,解得 2 ,即 z1 的实部的取值范围是 ( ? ,1) 。 2 ?

(2) 因为 a∈ ( ?



1 ,1) ,b≠0,所以 2

为纯虚数。

19.(本小题满分 6 分)解: (1)

2a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2(ab ? bc ? ac)

? a 2 ? b2 ? c 2 ? (ab ? bc ? ac) ? 1

(2)假设没有一个方程有实数根,

则 解得: ?



3 <a<-1, 2

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故三个方程至少有一个方程有实根的 a 的取值范围是{a|a≥-1 或 a≤ ?

3 }。 2

20.(本小题满分 8 分)解: (1)易求得 (2)猜想 证明:①当 n=1 时, ②假设 n=k 时, 则 n=k+1 时, ,命题成立 成立, ;

,所以, ∴ ak ?1 ? k ? 1 ? k . 即 n=k+1 时,命题成立. 由①②知,n∈N*时, 21.(本小题满分 8 分)解: (1)证明略. (2) Vc- PAD ? .



2 3 3
x ?1

(3)存在; PM ?

3 2 2

22.(本小题满分 12 分)解: (1)因为 f ?( x) ? e

(2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,

又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, 1 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0,
1 3

x ?1 (2)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e ?1) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

? 1) ( 01 ( ? , 因为当 x ? (??, 2) ?(0, 时,f ?( x) ? 0 ; x ??2) , ? )? 当

时,f ?( x) ? 0 .

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0) , 所以 f ( x ) 在 (?2, 和 (1 ? ?) 上是单调递增的; ? 1) 在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的.
(3)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 , 3

故 f ( x) ? g ( x) ? x2e x?1 ? x3 ? x2 (e x?1 ? x) , 令 h( x) ? e x?1 ? x ,则 h?( x) ? e x ?1 ? 1 .令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减. 1? 1? 故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增. , , 故 x??1 ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . ,

? 所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥0 ,又 x ? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .

2

≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥0 ,

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市统测数学模拟试题答题卷
班级:___________姓名:___________学号:___________ 成绩:___________ 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 11. 13. 15. 17. 三、解答题 18. 12. 14. 16.

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19.

20.

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21.

P

E
A

M
D

B

C

22.

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