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指对幂函数知识点总结


〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x ? a , a ? R , x ? R , n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,
n

a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方
根用符号 ?
n

a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.
n

②式子

a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当

n 为偶数时, a ? 0 .
③根式的性质: (
n

a) ? a ;当 n 为奇数时,
n

n

a

n

? a ;当 n 为偶数时,

n

a

n

?a ? | a |? ? ??a

(a ? 0 ) (a ? 0 )



(2)分数指数幂的概念
m

①正数的正分数指数幂的意义是: a 幂等于 0.

n

?

n

a ( a ? 0, m , n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数
m

?

m n

②正数的负分数指数幂的意义是: a 的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ①a ?a ? a
r s r r r?s

1 ? ( )n ? a

m

n

1 m ( ) ( a ? 0, m , n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

( a ? 0, r , s ? R )

② ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? R )
r s rs

③ ( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? R )
r

【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数 函数名称 定义 图象
x

指数函数 函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1
y
y ? a
x

0 ? a ?1
y ? a
x

y

y ?1
(0, 1)

y ?1

(0, 1)

1
O

1
x 0
O

x 0

定义域 值域

R

(0, ? ? )
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

过定点 奇偶性 单调性

a ? 1 ( x ? 0)
x

a ? 1 ( x ? 0)
x

函数值的 变化情况

a ? 1 ( x ? 0)
x

a ? 1 ( x ? 0)
x

a ? 1 ( x ? 0)
x

a ? 1 ( x ? 0)
x

a 变化对 图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N ( a ? 0, 且 a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? lo g a N ,其中 a 叫做底数,

N 叫做真数.
②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? lo g a N ? a (2)几个重要的对数恒等式
x

? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0 ) .

lo g a 1 ? 0 , lo g a a ? 1 , lo g a a ? b .
b

(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 lo g 1 0 N ;自然对数: ln N ,即 lo g e N (其中 e ? 2 .7 1 8 2 8 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: lo g a M ? lo g a N ? lo g a ④a
lo g a N

①加法: lo g a M ? lo g a N ? lo g a ( M N ) ③数乘: n lo g a M ? lo g a M ( n ? R )
n

M N

? N

⑤ lo g

a

b

M

n

?

n b

lo g a M ( b ? 0, n ? R )

⑥换底公式: lo g a N ?

lo g b N lo g b a

( b ? 0, 且 b ? 1)

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1
y

0 ? a ?1
y ? lo g a x

x ?1

y

x ?1

y ? lo g a x

图象

1
O
(1, 0 )

0

x

O

(1, 1 0) 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ? ? ) 上是增函数

(0, ? ? )
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ? ? ) 上是减函数

lo g a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

lo g a x ? 0 ( x ? 1) lo g a x ? 0 ( x ? 1) lo g a x ? 0 (0 ? x ? 1)

lo g a x ? 0 ( x ? 1) lo g a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
(6)反函数的概念

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 A , 值域为 C , 从式子 y ? f ( x ) 中解出 x , 得式子 x ? ? ( y ) . 如 果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式 子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x ) 的反函数,记作 x ? f 习惯上改写成 y ? f (7)反函数的求法
?1 ?1

( y) ,

(x) .

①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x ) 中反解出 x ? f ③将 x ? f
?1

?1

( y) ;

( y ) 改写成 y ? f

?1

( x ) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x ) 与反函数 y ? f
?1

( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称.
?1

②函数 y ? f ( x ) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f
'

( x ) 的值域、定义域.
?1

③若 P ( a , b ) 在原函数 y ? f ( x ) 的图象上,则 P ( b , a ) 在反函数 y ? f ④一般地,函数 y ? f ( x ) 要有反函数则它必须为单调函数.

( x ) 的图象上.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象
?

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶 函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ? ? ) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ? ? ) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数 的图象在 (0, ? ? ) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.

④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?

q p

(其中 p , q 互

q

q

质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x
q

p

是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x

p

是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x
?

p

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ? ? ) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若

x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,
其图象在直线 y ? x 下方.


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