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第1部分 第二章 2.3 2.3.1 课时达标检测


[课时达标检测] 一、选择题 1.直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 的位置关系是( A.平行 C.在平面 α 内 B.垂直 D.无法确定 )

解析:选 D 当平面 α 内的两条直线相交时,直线 l⊥平面 α,即 l 与 α 相交,当面 α 内的两直线平行时,l?α 或 l∥α 或 l 与 α 斜交. 2.下列说法中正确的个数是

( )

①若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α. ②若直线 l 与平面 α 内的两条相交直线垂直,则 l⊥α. ③若直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直,则 l⊥α. A.3 C.1 B.2 D.0

解析: 选 B 对于①不能断定该直线与平面垂直, 该直线与平面可能平行, 也可能斜交, 也可能在平面内,所以是错误的,②③是正确的. 3.如图所示,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置 关系是( ) B.垂直相交 D.相交但不垂直

A.平行 C.垂直但不相交

解析:选 C 连接 AC,因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平面 ABCD,则 BD ⊥MC.因为 AC∩MC=C, 所以 BD⊥平面 AMC.又 MA?平面 AMC, 所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面,因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交. 4. 在△ABC 中, AB=AC=5, BC=6, PA⊥平面 ABC, PA=8, 则 P 到 BC 的距离是( A. 5 C.3 5 B.2 5 D.4 5 )

解析:选 D 如图所示,作 PD⊥BC 于 D,连 AD. ∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥CD. ∴CB⊥平面 PAD,∴AD⊥BC. 在△ACD 中,AC=5,CD=3,∴AD=4.在 Rt△PAD 中,PA=8,AD=4, ∴PD= 82+42=4 5. )

5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为( A. 2 3 B. 3 3

2 C. 3

D.

6 3

解析:选 D 如图,设正方体的棱长为 1,上、下底面的中心分别为 O1、O,则 OO1∥BB1,O1O 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的角,即∠O1OD1, |O1O| 1 6 cos∠O1OD1= = = . |OD1| 3 3 2 二、填空题 6.在三棱锥 VABC 中, 当三条侧棱 VA、 VB、 VC 之间满足条件________ 时,有 VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) 解析:只要 VC⊥面 VAB,即有 VC⊥AB;故只要 VC⊥VA,VC⊥VB 即 可. 答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证 VC⊥AB 即可) 7.如图,∠BCA=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所 在的直线中: (1)与 PC 垂直的直线有_________________________________; (2)与 AP 垂直的直线有_____________________________________________________. 解析:(1)∵PC⊥面 ABC,AB,AC,BC?平面 ABC. ∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC. (2)∠BCA=90° 即 BC⊥AC,又 BC⊥PC,AC∩PC=C,∴BC⊥面 PAC,∴BC⊥AP. 答案:(1)AB,AC,BC (2)BC

8. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成 的角为________.

解析:连接 A1C1,交 B1D1 于 E,则 A1C1⊥B1D1,即 A1E⊥B1D1.又 DD1⊥A1C1,即 DD1⊥A1E,∴A1E⊥平面 BB1D1D.连接 BE,则∠A1BE 是 1 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角.在 Rt△A1BE 中,∵A1E= A1B, 2 ∴∠A1BE=30° ,即 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角为 30° . 答案:30° 三、解答题 9.如图,在直角三角形 BMC 中,∠BCM=90° ,∠MBC=60° , BM=5,MA=3 且 MA⊥AC,AB=4,求 MC 与平面 ABC 所成角的正 弦值.

解:因为 BM=5,MA=3,AB=4,所以 AB2+AM2=BM2,所以 MA⊥AB. 又因为 MA⊥AC,AB、AC?平面 ABC,且 AB∩AC=A,所以 MA⊥平面 ABC, 所以∠MCA 即为 MC 与平面 ABC 所成的角. 5 3 又因为∠MBC=60° ,所以 MC= , 2 MA 3 2 3 所以 sin∠MCA= = = . MC 5 3 5 2 10.如图,在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是菱形,且∠DAB=60° , PA=PD,E,F 分别是 BC,PC 的中点. 证明:AD⊥平面 DEF. 证明:取 AD 的中点 G,连接 PG,BG.

∵PA=PD,∴AD⊥PG.设菱形 ABCD 边长为 1. 1 在△ABG 中,∵∠GAB=60° ,AG= ,AB=1, 2 ∴∠AGB=90° ,即 AD⊥GB. 又 PG∩GB=G,∴AD⊥平面 PGB,从而 AD⊥PB. ∵E,F 分别是 BC,PC 的中点,∴EF∥PB,从而 AD⊥EF. 又 DE∥GB,AD⊥GB,∴AD⊥DE, ∵DE∩EF=E,∴AD⊥平面 DEF.


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