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2.3.1平面向量基本定理(教、学案)


2. 3.1 平面向量基本定理
教学目标: (1)了解平面向量基本定理; (2) 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示, 初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程: 一、复习引入: 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

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(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ;分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b

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3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ , 使 b =λ a . 二、讲解新课: 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 三、讲解范例:
2 是被

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2使

? a =λ 1 e1 +λ 2 e2 .

? a , e1 , e2 唯一确定的数量

1

例 1 已知向量 e1 , e2 例 2 如图

求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a ,

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? ? ? AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD
例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O

是任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R) 用 OA , OB 表示 OP . (2)设 OA、 OB 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且

OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.
例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这 样的实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线. 四、课堂练习:见教材 五、小结(略) 六、课后作业(略) : 七、板书设计(略) 八、教学反思

2

2.3.1 平面向量的基本定理

课前预习学案 一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 二、预习内容 (一)复习回顾 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

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? λ =0 时λ a =

(1)|λ a |=

?

; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向

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;λ <0 时λ a 与 a 方向

2.运算定律 结合律:λ (μ a )=

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;分配律:(λ +μ) a =

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, λ ( a + b )=

? ?

.

3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ , 使 . (二)阅读教材,提出疑惑: 如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?

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课内探究学案 一、学习目标 1、知道平面向量基本定理; 2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步应用向量解决 实际问题; 3、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示. 学习重难点: 1. 教学重点:平面向量基本定理 2. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用 二、学习过程 (一)定理探究: 平面向量基本定理:

3

探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一,关键是 ; ;

(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式 (二)例题讲解 例 1 已知向量 e1 , e2 求作向量?2.5 e1 +3 e2 . . 即λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量

?

例 2、如图

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,用 a ,b 表示 MA ,

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?

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?

MB , MC 和 MD

例 3 已知

ABCD 的 两 条 对 角 线 AC 与 BD 交 于 E , O 是 任 意 一 点 , 求 证 :

OA + OB + OC + OD =4 OE

例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP .

4

(2) 设 OA、 点 P 在 O、 A、 B 所在的平面内, 且 OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) . OB 不共线, 求证:A、B、P 三点共线.

例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这 样的实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线.

(三)反思总结

课后练习与提高 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等
5

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 . B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

5.已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________(填共线或不共线).

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