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2012年新高一数学竞赛08


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 08

─── 圆的基本问题
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

例1.平面上有 A1 ,

A 2 , A3 , A 4 , A5 , A 6

六个点,它们两两之间都用线段连结;求证:这六点中任两点所

引出的长为1的线段条数之和不超过8.
(提示:反证法.假设 Ai , A j 为这六个点中任意两点, Ai 引出的长为1的线段为 n i 条, A j 引出的长为1的线 段为 n j 条,以下用反证法进行.可以找一本有反证法讲解的竞赛书自学,初中或高中的均可)

例2.在波平如镜的湖面,高出半尺的地方长着一朵红莲,它孤零零地直立在那里,突然被狂风吹倒 在一边,有一位渔人亲眼看见,它现在有两尺远离开那生长地点.请你来解决一个问题,湖水 在这里有多少深浅?
(提示:画图,勾股定理)

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例3. ?

O

与?

O1

相交,过一个交点A引二割线BAC与DAE分别与连心线 O O 1 所在直线交于P和Q,

并且∠BPQ=∠DQP;求证:BC=DE.(提示:多用垂径定理)

例4. ?

O

与一正方形ABCD相交,如图, A1 ,

A 2 , B1 , B 2 , C 1 , C 2 , D1 , D 2

是八个交点;

求证: A A1 ?

A A 2 ? C C 1 ? C C 2 ? B B1 ? B B 2 ? D D 1 ? D D 2

.(提示:多用垂径定理)

2

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教练员 凌彬

例5.平面上有100个点 P1 , P2 , P3 , ? , P9 9 , P1 0 0 ,试说明,可以画一个圆,使得圆内恰有 k 个点, 另外 1 0 0 ? k ( 1 ?
k ? 100

)个点均在该圆外部.(提示:将线段按大小排序处理)

例6.圆内两条非直径的弦相交,试证明它们不能互相平分.(提示:反证法)

3

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

巩固练习 08

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.如图,一矩形与一圆相交,AB=4,BC=5,DE=3;求EF的长.

2.如图,直角三角形两直角边AC长8厘米,CB长15厘米,以C为圆心,CA为半径画弧交斜边于D; 求AD的长.

4


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