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第8讲 正弦函数、余弦函数的图象


第8讲
课时目标 图象.

正弦函数、余弦函数的图象

1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的

1.正弦曲线、余弦曲线

2.“五点法”画图 画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是_________________________; 画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是__________________________. 3.正、余弦曲线的联系 π? 依据诱导公式 cos x=sin? ?x+2?,要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向________ π 平移 个单位长度即可. 2

一、选择题 1.函数 y=sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( ) A.x 轴 B.y 轴 π C.直线 y=x D.直线 x= 2 π 2.函数 y=cos x(x∈R)的图象向右平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式 2 为( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x π 3π 3.函数 y=-sin x,x∈[- , ]的简图是( ) 2 2

4.在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( ) π 3π π π 5π 3π ? ? ? ? A.? B.? ?4, 4 ? ?4,2?∪? 4 , 2 ? π π? 5π 7π? C.? D.? ?4,2? ?4,4? 5.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形 的面积是( ) A.4 B.8 C.2π D.4π 6.方程 sin x=lg x 的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 π 7.函数 y=sin x,x∈R 的图象向右平移 个单位后所得图象对应的函数解析式是__________. 2 8.函数 y= 2cos x+1的定义域是________________. 9.方程 x2-cos x=0 的实数解的个数是________. 10.设 0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则 x 的取值范围为________. 三、解答题 11.利用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y=1-sin x(0≤x≤2π); (2)y=-1-cos x(0≤x≤2π).

12.分别作出下列函数的图象. (1)y=|sin x|,x∈R; (2)y=sin|x|,x∈R.

能力提升 13.求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x2的定义域.

14.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,求 k 的 取值范围.

1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解 决三角函数问题的基础. 2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考 知识点之一.

第8讲
知识梳理

正弦函数、余弦函数的图象 答案

π ? ?3 ? ?π ? ?3 ? 2.(0,0),? ?2,1?,(π,0),?2π,-1?,(2π,0) (0,1),?2,0?,(π,-1),?2π,0?,(2π,1) 3.左 作业设计 1.D 2.B 3.D 4.A [

∵sin x>|cos x|, ∴sin x>0,∴x∈(0,π),在同一坐标系中画出 y=sin x,x∈(0,π)与 y=|cos x|,x∈(0,π)的图

π 3 ? 象,观察图象易得 x∈? ?4,4π?.] 5.D [

作出函数 y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数 y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线 y=2 围成的平 面图形,如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积,又∵|OA|=2,|OC|=2π, ∴S 平面图形=S 矩形 OABC=2×2π=4π.] 6.C [用五点法画出函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移 2π 个单位, 得到 y=sin x 的图象. 1 ? 描出点? ?10,-1?,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到 y=lg x 的图象,如图所示.

由图象可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个.] 7.y=-cos x
向右平移 个单位 π 2 x- ? ? y=sin? 解析 y=sin x ?????? ? 2?

?

π? ?π ? ∵sin? ?x-2?=-sin?2-x?=-cos x,∴y=-cos x. 2 2 ? 8.? ?2kπ-3π,2kπ+3π?,k∈Z 2 2π 1 2kπ- π,2kπ+ ?,k∈Z. 解析 2cos x+1≥0,cos x≥- ,结合图象知 x∈? 3 3? ? 2 9.2 解析 作函数 y=cos x 与 y=x2 的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.

π 5π? 10.? ?4, 4 ? 解析 由题意知 sin x-cos x≥0,即 cos x≤sin x,在同一坐标系画出 y=sin x,x∈[0,2π]与 y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示:

π 5 观察图象知 x∈[ , π]. 4 4 11.解 利用“五点法”作图 (1)列表: X 0 π 2 π 3π 2 2π

sin x 1-sin x 描点作图,如图所示.

0 1

1 0

0 1

-1 2

0 1

(2)列表: X cos x -1-cos x 描点作图,如图所示. 0 1 -2 π 2 0 -1 π -1 0 3π 2 0 -1 2π 1 -2

12.解 (1)y=|sin x|=? 其图象如图所示,

? ?sin x

?2kπ≤x≤2kπ+π?

?-sin x ?2kπ+π<x≤2kπ+2π? ?

(k∈Z).

?sin x ?x≥0? ? (2)y=sin|x|=? ,其图象如图所示, ? ?-sin x ?x<0?

? ? ?sin x>0 ?-4≤x≤4 13.解 由题意,x 满足不等式组? ,即? ,作出 y=sin x 的图象,如图 2 ?16-x ≥0 ?sin x>0 ? ? 所示.

结合图象可得:x∈[-4,-π)∪(0,π). ? x∈[0,π], ?3sin x 14.解 f(x)=sin x+2|sin x|=? ?-sin x x∈?π,2π]. ? 图象如图,

若使 f(x)的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,根据上图可得 k 的取值范围是(1,3).


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