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2014届高考数学一轮复习名师首选练习题:第4章 第1节《平面向量的概念及其线性运算》


第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(

)

? ??? ? ??? ? ??? OF OE EF A. = + ??? ? ??? ? ??? ? OF OE EF C. =- + ??? ? ???? ??? ? AN =λ AB +μ AC ,则 λ+μ 的值为(
1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 D.1

? ??? ? ??? ? ??? OF OE EF B. = - ??? ? ??? ? ??? ? OF OE EF D. =- -

2.在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, )

??? ? ??? ? ??? ? BC BA BP 3.设 P 是△AB C 所在平面内的一点, + =2 ,则(
A.P、A、B 三点共线 C.P、B 、C 三点共线 B.P、A、C 三点共线 D.以上均不正确

)

4.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且| OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC =0, 则点 O,N 依次是△ABC 的( A.重心 外心 C.外心 重心 ) B.重心 内心 D.外心 内心

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??? ?

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????

[来源:学科网]

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC AB BD 5.如图,已知 =a, =b, =3 DC ,用 a,b 表示 AD , ??? ? 则 AD =( )
3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4 6.已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点,

??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 4 AC AB AE 若 =λ (λ>0), =μ AF (μ>0),则 + 的最小值是( λ μ
A.9 C.5 二、 填空题 7 B. 2 9 D. 2

)

7.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 8.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 9.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部

??? ? ??? ? ??? ? OP OP OP 1 2 ,且点 P 落在 分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 =a +b
第Ⅲ部分, 则实数 a, b 满足 a________0, b________0(用“>”, “<”或“=” 填空). 三、解答题
[来源:学§科§网]

??? ? 2 ??? ? AD AB 10.△ABC 中, = ,DE∥BC 交 AC 于 E,BC 边上的中线 AM
3

交 DE 于 N.设 AB =a, AC =b,用 a、b 表示向量 AE 、 BC 、 DE 、

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??? ?

??? ?

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??? ?

???? ???? ? ???? DN 、 AM 、 AN .

11.已知 OB =λ OA +μ OC (λ、μ 为实数),若 A、B、C 三点共线,求证 λ+μ=1.

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??? ?

??? ?

1 2.已知△ABC 中, AB =a, AC =b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足 OP =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? OA +λa+λb,则动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

[来源:学科网 ZXXK]

详解答案 一、选择题 1.解析:由减法的 三角形法则知 EF = OF - OE . 答案:B

??? ?

??? ?

??? ?

2.解析:∵M 为边 BC 上任意一点, ∴可设 AM =x AB +y AC (x+y=1) . ∴N 为 AM 中点, 1 1 1 ∴ AN = AM = x AB + y AC =λ AB +μ AC . 2 2 2 1 1 ∴λ+μ= (x+y)= . 2 2 答案:A 3.解析:∵ BC + BA =2 BP ,∴ BC - BP = BP - BA . 即 PC = AP , ∴P、A、C 三点共线. 答案:B

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? OA OB OC NA NB 4.解析:由| |=| |=| |知,O 为△ABC 的外心; + + NC =0,知,N
为△ABC 的重心. 答案:C

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ??? 1 CB 1 CB AC DC CD AC AB BD AD 5. 解析: = - =a-b, 又 =3 , ∴ = = (a-b), ∴ = 4 4 ??? ? 1 1 3 + CD =b+ (a-b)= a+ b.
4 4 4 答案:B λ μ 6.解析:由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +μ AF ? AD = AE + AF ,又 D、 2 2 λ μ 1 4 λ μ 1 4 5 2λ μ 5 9 E、F 在同一条直线上,可得 + =1.所以 + =( + )( + )= + + ≥ +2= ,当且 2 2 λ μ 2 2 λ μ 2 μ 2λ 2 2 仅当 2λ=μ 时取等号. 答案:D 二、填空题 7.解析:设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x -2y=0 且 x2+y2=20,解得 x=4,y=2(舍去), 或者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2). 答案:(-4,-2) 8.解析:因为 8a+kb 与 ka+2b 共线,所以存在实数 λ,使 8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a
? ?8-λk=0, +(k-2λ)b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? 解得 k=± 4. ?k-2λ=0, ?

??? ?

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????

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????

答案:± 4 9. 解析:由于点 P 落在第Ⅲ部分,且 OP =a OP 1 +b OP 2 , 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0,b<0. 答案:> < 三、解答题

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ??? ? BC DE ∥ , ? ? 2 ??? ? 10. 解: ? ??? AD AB = ? 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? BC = AC - AB =b-a.

2 2 ? AE = AC = b, 3 3

??? ?

??? ?

? ??? ? 2 ??? 2 BC DE 由△ADE∽△ABC,得 = = (b-a).
3 3 又 AM 是△ABC 的中线,DE∥BC,

???? 1 ??? ? 1 DN DE 得 = = (b-a).
2 3 2

? ???? ? 1 ??? ? ??? 1 又 AM = ( AB + AC )= (a+b).
2 △ADN∽△ABM? ???? 2 ???? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ? ?? AN =3 AM =3(a+b). AD = AB ? 3 ? 11.证明 :∵ OB =λ OA +μ OC

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

∴ AB = OB - OA =(λ-1) OA +μ OC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB = OB - OC =λ OA +(μ-1) OC
又∵A、B、C 三点共线

??? ? ??? ? CB AB ∴ =k
λ-1 μ 即 = =k λ μ-1 ∴λ+μ=1. 12.解:依 题意,由 OP = OA +λa+λb ,得 OP - OA =λ(a+b),即 AP =λ( AB + AC ).如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线 交于 O,则 AP =λ AD , ∴A、P、D 三点共线,即 P 点的轨 迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点.
[来源:学科网 ZXXK]

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