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3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式


二倍角的正弦、余弦、正切公式
目标导学
1、理解二倍角公式的推导; 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式; 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及 证明。

一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos ?? ? ? ?

? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?
若上述公式中 ,

? ? ? 你能否对它进行变形?

sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ?R 二 倍 ? ?R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 角 公 2 tan? ? k? ? ?k ? Z ? tan 2 ? ? ?? ? ,且? ? k? ? , 2 式: 2 2 4 1 ? tan ?
对于C 2? 能否有其它表示形式?

cos 2? ? 2 cos ? ? 1
2

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

公式中的角是否为任意角?

注意:
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角 的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互 化问题。

②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如4α是 2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍,α/3是α/6 的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。因此,要理 解“二倍角”的含义,即当α=2β时,α就是β的二倍角。 凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等 时推导出来,记忆时可联想相应角公式。

例1

12 ? ? 已知 cos ? ? , ? ( , ? ),求 sin ?, 2 13 2 2 cos ?, tan ?的值。

?

5 ? ? 已知 sin 2? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, 13 4 2 cos 4?, tan 4?的值。

例2

求下列各式的值:
0 0 2

(1) sin 22.5 cos 22.5 ; (2) cos 2 tan150 (3) ; 2 0 1 ? tan 15
(5)8sin

?
8

? sin
2 0

2

?
8

;

(4)1 ? 2sin 75 .
cos

?
48

cos

?
48

?
24

cos

?
12
4

练习

? ? (1)sin cos 4 4 3
1 ? tan 2 (3) 3 tan ? 2 2

?

? 4? (2)sin ? cos 2 2
5? (4) cos cos 12 12

?

引申:公式变形:

1 ? sin2? ? (sin ? ? cos? )
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos 2? ? 2 si n ?
2

? ?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

降幂升角公式

例3

(1) 1 ? sin 40? ; (2) 1 ? sin 40? ; (3) 1 ? cos 20? ; (4) 1 ? cos 20?

化简

1 ? sin 2? ? cos 2? 求证: ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin ? ) 证明:左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? ( 2 cos ? ? 1)
例4

2 sin? (cos? ? sin? ) ? 2 cos? (cos? ? sin? )
? tan? ? 右边

sin? ? cos?

? 原式成立 .

例5. 证明恒等式:
sin 2? ? sin ? ? tan ? . 2 2 cos 2? ? 2 sin ? ? cos ?
2sin ? cos ? ? sin ? 证明: 左式= 2 2 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 2sin ? ? cos ?

sin ? (2 cos ? ? 1) ? cos ? (2 cos ? ? 1)

? tan ? =右式

1 ? sin 2? ? cos 2? 1.化简 : =-cotα 1 ? sin 2? ? cos 2?
1 2、已知 sin ? ? cos ? ? , 0 ? ? ? ? , 3 求 sin 2? 和 cos 2?
8 sin 2? ? ? 9

练习

17 cos 2? ? ? 9

例6 化简sin 50 (1 ? 3 tan10 )
o o

cos10 ? 3 sin10 解: 原式 ? sin 50 ? o cos10 o o 2sin 40 ? sin 50 ? o cos10
o o

o

2sin 40 ? cos 40 ? o cos10
o

o

sin 80 ? ?1 o cos10

o

? 2? 4? 8? 练习1、 cos cos cos cos
17 17 17 1 3 2、 ? ?4 ? ? sin 10 cos10

17

1 ? 16

3、 tan 70? cos10?( 3 tan 20? ? 1) ? ?1

3 π 1 4. 已知 sinα ? ,α ? ( ,π ),t an (π -β ) ? 5 2 2 7 求t an ( α -2 β )值. 答案:tan(α-2β) ? 24 ? 1 1 5、已知 ? ? ? ? , ?? ? ? ? 0, tan ? ? ? , tan ? ? ? 2 3 7 7? 求2? ? ? .

答案: 2? ? ? ?

4

练习
3 π 1 4. 已知 sinα ? ,α ? ( ,π ),t an (π -β ) ? , 5 2 2 求t an ( α -2 β )值. 7 ? 答案:tan(α-2β) 24 ? 1 1 5、已知 ? ? ? ? , ?? ? ? ? 0, tan ? ? ? , tan ? ? ? , 2 3 7 求2? ? ? .

7? 答案: 2? ? ? ? 4

总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ?R 2 tan? k? ? ,且? ? k? ? ? , tan 2? ? ?k ? Z ? ?? ? 2 1 ? tan ? 2 2 4 2、注意正 用 、逆用、变形用

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?


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