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人教A版数学必修二教案:§1.3.2球的体积和表面积


§1.3.2 球的体积和表面积 一、教材分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式, 并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放 在球与其他几何体的组合体的有关计算上,这是高考的重点. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)了解几何体体积的含义,以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式) (2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系. (3)培养学生空间想象能力和思维能力. 2.过程与方法 (1)让学生通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系. (2)通过相关几何体的联系,寻找已知条件的相互转化,解决一些特殊几何体体积的计算. 3.情感、态度与价值观 通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识. 三、重点难点 教学重点:球的表面积和体积公式的应用. 教学难点:关于球的组合体的计算. 四、课时安排 约 1 课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨,有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮 食服务(中国)有限公司等三方合资兴建,1996 年 9 月正式开业,既是岛城饮食服务业的“特一级”店,又 是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积 11 380 平方米,现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化 学材料以更好地保护酒店,那么,需要多少面积的这种化学材料呢? 思路 2.球既没有底面,也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与 体积呢?球的大小与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?教师引出课题:球的体积和表 面积. (二)推进新课、新知探究 球的半径为 R,它的体积和表面积只与半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数.事实上,如果球的半径 3 为 R,那么 S=4π R2,V= ?R . 4 3 注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明. (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 1 所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: 图1 (1)球的体积等于圆柱体积的 2 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形. 证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R. 3 则有 V 球= ?R ,V 圆柱=π R2· 2R=2π R3,所以 V 球= V圆柱 . 4 3 2 3 (2)因为 S 球=4π R2,S 圆柱侧=2π R· 2R=4π R2,所以 S 球=S 圆柱侧. 点评: 本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构 特征. 变式训练 1.如图 2(1)所示,表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积. 图2 解:设球的半径为 R,正四棱柱底面边长为 a,则轴截面如图 2(2) ,所以 AA′=14,AC= 2a ,又∵4π R2=324 π ,∴R=9. ∴AC= AC' 2 ?CC' 2 ? 8 2 .∴a=8. ∴S 表=64× 2+32× 14=576,即这个正四棱柱的表面积为 576. 2 有一种空心钢球,质量为 142 g,测得外径(直径)等于 5 cm,求它的内径(钢的密度为 7.9 g/cm3,精确 到 0.1 cm). 解:设空心球内径(直径)为 2x cm,则钢球质量为 4? 5 3 4? 3 ?( ) ? x ]=142, 3 2 3 5 3 142 ? 3 ∴x3= ( ) ? ≈11.3,

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