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五年级 奥数 第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用


一、基本概念和知识 1.奇数和偶数 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用 2k (k 为整数) 表示, 奇数则可以用 2k+1 (k 为整数) 表示。 特别注意,因为 0 能被 2 整除,所以 0 是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质 性质 1:偶数±偶数=偶数, 奇数±奇数=偶数。 性质 2:偶数±奇数=奇数。 性质 3:偶数个奇数相加得偶数。 性质 4:奇数个奇数相加得奇数。 性质 5:偶数×奇数=偶数, 奇数×奇数=奇数。 二、例题 利用奇数与偶数的这些性质,我们可以巧妙地解决许多实际问题. 例 1 1+2+3+…+1993 的和是奇数?还是偶数? 分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和,再判别和是奇数,还是偶 数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑,利用奇偶数的性质,同样可以判 断和的奇偶性.此题可以有两种解法。 解法 1:∵1+2+3+…+1993

又∵997 和 1993 是奇数,奇数×奇数=奇数,

∴原式的和是奇数。 解法 2:∵1993÷2=996…1, ∴1~1993 的自然数中,有 996 个偶数,有 997 个奇数。 ∵996 个偶数之和一定是偶数, 又∵奇数个奇数之和是奇数, ∴997 个奇数之和是奇数。 因为,偶数+奇数=奇数, 所以原式之和一定是奇数。 例 2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差 150,这个 数是多少? 解法 1:∵相邻两个奇数相差 2, ∴150 是这个要求数的 2 倍。 ∴这个数是 150÷2=75。 解法 2:设这个数为 x,设相邻的两个奇数为 2a+1,2a-1(a≥1). 则有 (2a+1)x-(2a-1)x=150, 2ax+x-2ax+x=150, 2x=150, x=75。 ∴这个要求的数是 75。 例 3 元旦前夕,同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回 赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?为什么? 分析 此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇 偶性上,因此与总人数无关。 解:由于是两人互送贺年卡,给每人分别标记送出贺年卡一次.那么 贺年卡的总张数应能被 2 整除,所以贺年卡的总张数应是偶数。

送贺年卡的人可以分为两种: 一种是送出了偶数张贺年卡的人:他们送出贺年卡总和为偶数。 另一种是送出了奇数张贺年卡的人:他们送出的贺年卡总数=所有人 送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶 数-偶数=偶数。 他们的总人数必须是偶数,才使他们送出的贺年卡总数为偶数。 所以,送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。 例 4 已知 a、b、c 中有一个是 5,一个是 6,一个是 7.求证 a-1,b-2, c-3 的乘积一定是偶数。 证明:∵a、b、c 中有两个奇数、一个偶数, ∴a、c 中至少有一个是奇数, ∴a-1,c-3 中至少有一个是偶数。 又∵偶数×整数=偶数, ∴(a-1)×(b-2)×(c-3)是偶数。 例 5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数 与原数之和不能等于 999。

则有 a+a′=b+b′=c+c′=9,因为 9 不会是进位后得到的 又因为 a′、b′、c′是 a、b、c 调换顺序得到的, 所以 a+b+c=a′+b′+c′。 因此,又有(a+a′)+(b+b′)+(c+c′)=9+9+9, 即 2(a+b+c)=3×9。

可见: 等式左边是偶数, 等式的右边 (3×9=27) 是奇数.偶数≠奇数. 因此,等式不成立.所以,此假设“原数与新数之和为 999”是错误的, 命题得证。 这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种 说法正确,再利用假设说法和其他性质进行分析推理,最后得到一个不可 能成立的结论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学 上叫“反证法”。 例 6 用代表整数的字母 a、b、c、d 写成等式组: a×b×c×d-a=1991 a×b×c×d-b=1993 a×b×c×d-c=1995 a×b×c×d-d=1997 试说明:符合条件的整数 a、b、c、d 是否存在。 解:由原题等式组可知: a(bcd-1)=1991,b(acd-1)=1993, c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997。 ∵1991、1993、1995、1997 均为奇数, 且只有奇数×奇数=奇数, ∴a、b、c、d 分别为奇数。 ∴a×b×c×d=奇数。 ∴a、b、c、d 的乘积分别减去 a、b、c、d 后,一定为偶数.这与原 题等式组矛盾。 ∴不存在满足题设等式组的整数 a、b、c、d。 例 7 桌上有 9 只杯子,全部口朝上,每次将其中 6 只同时“翻转”.请说 明:无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使 9 只杯子全部口朝下。 解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子 口全朝下,必须经过 9 个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇 数.但是,按规定每次翻转 6 只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的

总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”,都不能使 9 只杯子 全部口朝下。 例 8 假设 n 盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动(n-1)个开关,能否 把所有的灯都关上?请证明此结论,或给出一种关灯的办法。 证明:当 n 为奇数时,不能按规定将所有的灯关上。 因为要关上一盏灯,必须经过奇数次拉动它的开关。 由于 n 是奇数,所以 n 个奇数的和=奇数, 因此要把所有的灯(n 盏)都关上,拉动拉线开关的总次数一定是奇 数。 但因为规定每次拉动 n-1 个开关,且 n-1 是偶数, 故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。 ∵奇数≠偶数, ∴当 n 为奇数时,不能按规定将所有灯都关上。 当 n 为偶数时,能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下: 设灯的编号为 1,2,3,4,…,n.做如下操作: 第一次,1 号灯不动,拉动其余开关; 第二次,2 号灯不动,拉动其余开关; 第三次,3 号灯不动,拉动其余开关; … 第 n 次,n 号灯不动,拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。 例 9 在圆周上有 1987 个珠子,给每一珠子染两次颜色,或两次全红,或 两次全蓝,或一次红、一次蓝.最后统计有 1987 次染红,1987 次染蓝.求 证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。 证明:假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色,即所有珠子都是 两次染同色.设第一次染 m 个珠子为红色,第二次必然还仅染这 m 个珠子 为红色.则染红色次数为 2m 次。 ∵2m≠1987(偶数≠奇数)

∴假设不成立。 ∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。 例 10 如下页图,从起点始,隔一米种一棵树,如果把三块“爱护树木” 的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树,它们 之间的距离是偶数(以米为单位),这是为什么? 解:任意挑选三棵树挂上小牌,假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的 树之间相距 a 米,第二棵挂牌的树与第三棵挂

牌的树之间相距 b 米, 那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的 距离 c=a+b(米)(如下图),如果 a、b 中有一个是偶数,题目已得证; 如果 a、b 都是奇数,因为奇数+奇数=偶数,所以 c 必为偶数,那么题目 也得证。

例 11 某校六年级学生参加区数学竞赛,试题共 40 道,评分标准是:答 对一题给 3 分,答错一题倒扣 1 分.某题不答给 1 分,请说明该校六年级 参赛学生得分总和一定是偶数。 解:对每个学生来说,40 道题都答对共得 120 分,是个偶数.如果答 错一道,相当于从 120 分中扣 4 分.不论答错多少道,扣分的总数应是 4 的倍数,即扣偶数分.从 120 里减去偶数.差仍是偶数.同样,如果有某题 不答,应从 120 里减去(3-1)分.不论有多少道题没答,扣分的总数是 2 的倍数,也是偶数.所以从 120 里减去偶数,差仍是偶数.因此,每个学生 得分数是偶数,那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数. 例 12 某学校一年级一班共有 25 名同学,教室座位恰好排成 5 行,每行 5 个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问:让 这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位,是否可行? 分析 为了便于分析,我们可借助于下图,且用黑白染色帮助分析.

我们把每一个黑、白格看作是一个座位.从图中可知,已在黑格“座 位”上的同学要换到邻座,必须坐到白格上;已在白格“座位”上的同学 要换到邻座,又必须全坐到黑格“座位”上.因此,要使每人换为邻座位, 必须黑、白格数相等。 解:从上图可知:黑色座位有 13 个,白色座位有 12 个,13≠12,因 此,不可能使每个座位的人换为邻座位。 例 12 的解法,采用了黑白两色间隔染(着)色的办法.因为整数按奇偶 分类只有两类,所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色,可以帮助我们 较直观地理解和处理问题.让我们再看一道例题,再体会一下奇偶性与染 色的关系。 例 13 在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”,按中 国象棋的走法,当棋盘上没有其他棋子时,这只“马”跳了若干步后回到 原处,问:“马”所跳的步数是奇数还是偶数? 解:在中国象棋中,“马”走“日”字,如果将棋盘上的各点按黑白 二色间隔着色(如图),可以看出,“马”走任何一步都是从黑色点走到 白色点,或从白色点走到黑色点.因此,“马”从一色点跳到另一同色点, 必定要跳偶数步.

因此,不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上,而且不论“马”跳多 少次,要跳回原处,必定要跳偶数步。 例 14 线段 AB 有两个端点,一个端点染红色,另一个端点染蓝色.在这个 AB 线段中间插入 n 个交点, 或染红色, 或染蓝色, 得到 n+1 条小线段 (不 重叠的线段).试证:两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。

证明:当在 AB 中插入第一点时,无论红或蓝色,两端色不同的线段 仍是一条。 插入第二点时有三种情况: ①插入点在两端不同色的线段中,则两端不同色线段条数不变。 ②插入点在两端同色的线段中,且插入点颜色与线段端点颜色相同, 则两端不同色线段条数不变。 ③插入点在两端同色的线段中,但插入点颜色与线段端点颜色不同, 则两端不同色线段条数增加两条。 因此插入第二个点时端点不同色的线段数比插入第一个点时端点不 同色的线段数(=1)多 0 或 2,因此是奇数(1 或 3)。 同样, 每增加一个点, 端点不同色的线段增加偶数 (0 或 2) 条.因此, 无论 n 是什么数,端点不同色的线段总是奇数条。 习题五 1.有 100 个自然数,它们的和是偶数.在这 100 个自然数中,奇数的 个数比偶数的个数多.问:这些数中至多有多少个偶数? 2.有一串数,最前面的四个数依次是 1、9、8、7.从第五个数起,每 一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问:在这一串数中,会依 次出现 1、9、8、8 这四个数吗? 3.求证:四个连续奇数的和一定是 8 的倍数。 4.把任意 6 个整数分别填入右图中的 6 个小方格内, 试说明一定有一 个矩形,它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

5.如果两个人通一次电话,每人都记通话一次,在 24 小时以内,全 世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。 (A)必为奇数,(B)必为偶数, (C)可能是奇数,也可能是偶数。 6.一次宴会上,客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人 数是奇数还是偶数。

7.有 12 张卡片,其中有 3 张上面写着 1,有 3 张上面写着 3,有 3 张上面写着 5,有 3 张上面写着 7.你能否从中选出五张,使它们上面的数 字和为 20?为什么? 8.有 10 只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动 4 只杯子, 经 过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上? 9.电影厅每排有 19 个座位, 23 排, 共 要求每一观众都仅和它邻近 (即 前、后、左、右)一人交换位置.问:这种交换方法是否可行? 10.由 14 个大小相同的方格组成下列图形(右图),请证明:不论怎 样剪法,总不能把它剪成 7 个由两个相邻方格组成的长方形.

习题五解答 1.偶数至多有 48 个。 2.提示:先按规律写出一些数来,再找其奇、偶性的排列规律,便可 得到答案:不会依次出现 1、9、8、8 这四个数。 3.设四个连续奇数是 2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,n 为整数,则它 们的和是 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7) =2n×4+16=8n+16=8(n+2)。 所以,四个连续奇数的和是 8 的倍数。 4.证明:设填入数分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6.有

假设要证明的结论不成立,则有: ∵偶数≠奇数,∴假设不成立,命题得证。

5.应选择(B).参考例 3。 6.是偶数.参考例 3。 7.不能.因为 5 个奇数的和为奇数,不可能等于 20。 8.能.例如 第一次 78910 第二次 3456 第三次 2345 第四次 13 45 9.这种交换方法是不可行的.参考例 12。 10.利用黑白相间染色方法可以证明:不可能剪成由 7 个相邻两个方 格组成的长方形,因为图形中一种颜色有 8 格,另一种颜色有 6 格,而每 个相邻两个方格组成的长方形是一黑格一白格,7 个这样的长方形共 7 黑 格 7 白格.与图形相矛盾.


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