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圆的一般方程


数学学案

圆的一般方程
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【学习目标】 学习目标】 1. 在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆 在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征, 的一般方程确定圆的圆心半径. 掌握方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件; 表示圆的条件; 的一般方程确定圆的圆心半径. 2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法 .能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方 求圆的方程; 求圆的方程; 3.培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 . 学习重点】 【学习重点】待定系数法求圆的一般方程 学习难点】 【学习难点】待定系数法求圆的一般方程 学习过程】 【学习过程】 一、课前准备 (预习教材 P121~ P123,找出疑惑之处) 1 . 已 知 圆 的 圆 心 为 C ( a, b) , 半 径 为 r , 则 圆 的 标 准 方
2 2



,若圆心为坐标原点上,则圆的方程就是 若圆心为坐标原点上,

2.求过三点 A(0, 0), B(1,1), C (4, 2) 的圆的方程 . 的圆的方程.

【新知探究 新知探究】 新知探究
2 2 2 2 表示什么图形? 【探究 1】方程 x + y ? 2 x + 4 y + 1 = 0 表示什么图形?方程 x + y ? 2 x + 4 y + 6 = 0 】 表示什么图形? 表示什么图形?

2 2 在什么条件下表示圆? 【探究 2】方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什么条件下表示圆? 】

2 2 【新知 方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示的轨迹 新知】方程 表示的轨迹. 新知
2 2 [1] D + E ? 4 F > 0 时,表示以

为圆心, 为圆心

为半径的圆; 为半径的圆; ;
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2 2 [2] D + E ? 4 F = 0 时,方程只有实数解 即只表示 2 2 [3]当 D + E ? 4 F < 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 方程没有实数解, 当 2 2

王新敞

【 小 结 】 方 程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表 示 的 曲 线 不 一 定 是 圆 :
2 2 2 2

王新敞
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只有当

D + E ? 4 F > 0 时,它表示的曲线才是圆,形如 x + y + Dx + Ey + F = 0 的方程称 它表示的曲线才是圆,

为圆的一般方程 想一想】 【想一想】 1.圆的一般方程的特点? .圆的一般方程的特点?
王新敞
学案 新疆

2.圆的标准方程与一般方程的区别? .圆的标准方程与一般方程的区别?

3.什么条件下,选择标准方程比较合适,什么条件下选择一般方程? 什么条件下,选择标准方程比较合适,什么条件下选择一般方程? 什么条件下

【例 1】判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心 】判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是, 及半径. 及半径
2 2 ⑴ 4 x + 4 y ? 4 x + 12 y + 9 = 0 ; 2 2 ⑵ 4 x + 4 y ? 4 x + 12 y + 11 = 0 .

的圆的方程, 【例 2】求过三点 A(0, 0), B(1,1), C (4, 2) 的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心 坐标

【动手试试】 动手试试】 1. 已知一个圆的直径端点是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,试求此圆的一般方程 试求此圆的一般方程. 一般方程

2. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆上 ( 的轨迹方程. 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程

x + 1) + y 2 = 4
2

运动, 运动,求

【课堂小结】 课堂小结】 中含有三个参变数, 1.方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 中含有三个参变数,因此必须具备三个独立的条 . 件,才能确定一个圆,还要注意圆的一般方程与它的标准方程的转化 才能确定一个圆,还要注意圆的一般方程与它的标准方程的转化. 方程与它的标准方程的转化 2.待定系数法是数学中常用的一种方法,在以前也已运用过 例如:由已知条 例如: .待定系数法是数学中常用的一种方法,在以前也已运用过.例如 件确定二次函数,利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法 件确定二次函数,利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等 这种方法 在求圆的方程有着广泛的运用,要求熟练掌握. 在求圆的方程有着广泛的运用,要求熟练掌握 3. 使用待定系数法的一般步骤:⑴根据题意,选择标准方程或一般方程;⑵ . 使用待定系数法的一般步骤: 根据题意,选择标准方程或一般方程; 的方程组; 根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E , F 的方程组;⑶解出 a, b, r 或 D, E , F ,代入标准 方程或一般方程. 方程或一般方程
2 2

(时 满分: 计分: 【当堂检测】 时间:5 分钟 满分:10 分)计分: 当堂检测】 (
2 2 表示一个圆,则有( 1. 若方程 x + y ? x + y + m = 0 表示一个圆,则有(

).

A. m ≤ 2 .
2 2

B. m < 2

1 m< 2 C. .

1 m≤ 2 D. .

2. 圆 x + y ? 4 x ? 1 = 0 的圆心和半径分别为( 的圆心和半径分别为( A. (2,0),5 . B. (0, ?2), 5 . C. (0, 2), 5 .

). D. (2, 2),5 . ).

2 2 2 3. 动圆 x + y ? (4m + 2) x ? 2my + 4m + 4m + 1 = 0 的圆心轨迹是( 的圆心轨迹是(

A. 2 x + y ? 1 = 0 . C. 2 x ? y + 1 = 0 .

B. x ? 2 y + 1 = 0 . D. x ? 2 y ? 1 = 0 .

4.过点 C (?1,1), D(1,3) ,圆心在 x 轴上的圆的一般方程是 . 轴上的圆的一般方程是 一般方程

5. 圆 x + y ? 4 x ? 5 = 0 上的点到直线 3x ? 4 y + 20 = 0 的距离的最大值,最小值分 的距离的最大值, 别是多少? 别是多少?
2 2

【课后作业】 课后作业】
2 2 1. 设直线 2 x + 3 y + 1 = 0 和圆 x + y ? 2 x ? 3 = 0 相交于 A, B ,求弦 AB 的垂直平分 线方程. 线方程

2. 求经过点 A(?2, ?4) 且与直线 l : x + 3 y ? 26 = 0 相切于点 B(8,6) 的圆的一般方程 的圆的一般方程. 一般方程


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