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空间的角


授课内容:空间的角
授课教师: 孟向波
课 件 制 作 : 孟 向 波

E-mail:sxmxbo@mail.ahwhptt.net.cn

高三数学复习课
复 习 内 容:空 间 中 的 角
复习要求:理解空间三种角的概念 并掌握其求法

空间的角的概念及其计算,是立体几

何的基本 内容,也是其重点和难点。

空间中的角有:
异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。

求空间角的一般步骤是:
[即:要求先证,要证先作。]

1、异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义,求异面直线所成角,就 是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有: (1)平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用 “平移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。 具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行 线,构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形,再 求之。

(1)找出或作出有关的图形; (2)证明它符合定义; (3)计算。

(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,

如正方体、平行六面体等,其目的在于易于发现两条异面 直线的关系。 D

例1:长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=AA1=2

cm,

1

A1

O1

C1

AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。 如图,连B1D1与A1C1 交于O1, 解法一(平移法): 取BB1的中点M,连O1M,则O1M??D1B, 于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角 (或其补角),连A1M,在?A1O1M中
A D B

B1

M
C

A1M = 22 ? 12 = 5 ,

1 1 3 O1M = BD1 = 22 ? 12 ? 22 = , 2 2 2
由余弦定理得 cos ?A1O1M = ?
5 , 5

1 2 2 5 A1O1 = 2 ?1 = , 2 2

?A1C1与BD1所成的角为

arccos

5 . 5

解法二(补形法):如图,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F, 连结A1E,C1E,则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角), 在?A1C1E中,
D1 C1 B1

F1 E1

A1C1 =
由余弦定理得

5 , A1 E = 2 5 , C1 E = 3
cos ?A1C1 E = ? 5 5

A1

5 . ?A1C1与BD1所成的角为 arccos E A B 5 说明:异面直线所成角的范围是(0? ,90? ],在把异面直 线所成的角平移转化为平面三角形中的角,常用余弦定理求 其大小,当余弦值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两 条异面直线所成角的定义,故其补角为所求的角,这一点要 注意。 另外,当异面直线垂直时,应用线面垂直的定义或三垂线定 理(或逆定理)判定所成的角为90? ,也是不可忽视的办法。

D

C

F

2、直线和平面所成的角
?直线与平面平行或在平面内,直线和平面所成的角的是0? ; ?直线与平面垂直,直线和平面所成的角是90? ; ?斜线和平面所成的角是:斜线及斜线在平面上的射

求斜线与平面所成的角,关键是找准斜 影所成的角。 线段在平面内的射影; 通常是从斜线上找特殊点, 作平面的垂线段,构作含所求线面角的三角形求之。

A’ B’ C’ x O

例2:如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等
腰直角三角形,直角边AB=AC=2cm,侧棱与底面成 60? 角,BC’?AC,BC’=2?6cm,求BC’与底面所成的角。 分析:欲求BC’与底面ABC所成的角,关键

在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到 AC?AB和AC?BC’,即AC?平面ABC’,所以, B C 平面ABC’?平面ABC,故点C’在底面上的射影 O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上,?C’BO为所求的角。

A

x 3

例2:如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直角三
角形,直角边AB=AC=2cm,侧棱与底面成60? 角,B’C?AC, BC’=2?6cm,求BC’与底面所成的角。 分析:欲求BC’与底面ABC所成的角,关键在于准确地找到BC’在
底面上的射影。注意到AC?AB和AC?BC’,即AC?平面ABC’,所以, 平面ABC’?平面ABC,故点C’在底面上的射影O在平面ABC’和平面 ABC的交线BA上, ?C’BO为所求的角。

A’ B’

C’ x O
A C
x 3

解: ?AC?AB,AC?BC’, ?AC?平面

ABC’,于是平面ABC’?平面ABC,作C’O?平面ABC,则点O ?C’CO 在BA延长线上,?C’BO就是BC’ 与底面所成的角,连 OC, 是侧棱与底面所成的角为60? ,在? OBC’中 BC’=2? 6(已知)
? ?2 ? 在Rt?BOC中, ? ?

B

x , Rt ?AOC中AO = CO 2 ? AC 2 = 令C’O=x,则 CO = 32
? x2 ? 4 ? ? x2 = 2 6 ? 3 ?

x2 ?4 3

? ?

2

解得,x = 15 ( x = 2 26 舍去)

? sin ?C ?BO =

OC ? 10 10 = ,BC’与底面所成的角是 arcsin . BC ? 4 4

为什么?

3、二面角
? 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。 ? 二面角的大小用它的平面角来度量; 求二面角常用方法有:

A

? B
?

?
S
E
?

(1)定义法: 根据定义作出二面角的平面角;

例 3:如图,已知四面体S-ABC中,
?ASB =

?

求二面角A-SC-B的大小

, ?ASC = ? , ?BSC = ? ,? , ? ? (0, ) 2 2

?

D

A

F B

分析:根据题意,在棱SC 任取一点D,过D作DE?SC于E,作DF ?SB于F,连EF。由定义可知?EDF即为二面角A-SC-B的平面角。 设SD=a,借助已知条件,由Rt?SDE、 Rt?SDF及Rt?ESF求出 ?FDE所在?FDE三边长,再用余弦定理即可求得: cos?FDE=?ctg?· ctg?, 即?FDE=??arccos(ctg?· ctg?)。

C

(2) 用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角;

如图,由三垂线定理(或逆定理),过二面角 ? P ?-a-?的一个面?上一点P向另一个面作垂 a 线PA,再由垂足A(或点P)向棱作垂线 B AB(或PB),连PB(或AB),则?PBA就是 ? A 二面角?-a-?的平面角。 (3)垂面法: 作二面角棱的垂面,则垂面 和二面角的两个面的交线所成的角即是该二 面角的平面角。 例4:斜三棱柱ABC-A’B’C’的一个侧面 2a A AA’C’C是矩形,AB是底面Rt?ABC的斜边, B h a a AB=2AA’,AC等于AB和A’B’间的距离,求 D C h 三棱柱各侧面所成的二面角的大小。

分析:如图,因BB’垂直AC,故可过AC作平面

B’

A’

ACD?BB’于D,则面ACD与各棱均垂直,从而?ACD内 C’ 角就是所求的各侧面所成的二面角。将题设条件转化到 , 60? , 90? 该截面内,即可求得各侧面间所成的平面角分别为 30?

(4)射影法:如图所示, AD?平面M,设 ?AHD= ?是二面角A-BC-D的平面角,由 cos ? =AD/AH可得,?ABC与它在过其底边 BC的平面M上的射影?DBC以及两者所成 M S ?DBC 的二面角?之间的关系:cos ? = S ?ABC 用这个关系式求可锐二面角的平面角。 (5)公式法: 如图,?CBF= ?为二面角的 平面角 ? ,在?CBF中,由余弦定理可求得CF

A

B H

D

C

?
E

m A d mB n

?

CF = m ? n ? 2mn cos ? 再由Rt?ECF可得 EF 2 = d 2 ? m2 ? n 2 ? 2mn cos?
2 2 2

d
C

F

l 用此公式亦可求二面角的平面角;这实为异 ,90? ], 面直线上两点的距离公式,但这里?不局限于(0?

,180? )。 ??(0?

例5: 已知直二面角 ??l??,A??,B??线
段AB=2a,AB与?成45? 的角,与?成30? 角,过A、B两点分别作棱l的垂线AC、 BD,求面ABD与面ABC所成角的大小。 ?

A
F

?
D

C

H

B

解法一:如图,由已知可得平面ABC?平面?,作DH?BC于H,则DH?
平面ABC,作DF?AB于F,连HF,则据三垂线定理的逆定理知 ?DFH为所求二面角的平面角。 3 6 DF = a , HF = a , DH = a, 又知?BAD=45? , ?ABC=30 ? ,可解得 3 3
3 于是在?DFH中,由余弦定理,得 cos?DFH = 3 3 ?DFH = arccos 所以 3 3 即面ABD与面ABC所成的二面角为 arccos 3

例5:已知直二面角 ??l??,A??,B??,线段AB=2a,
AB与?成45? 的角,与?成30? 角,过A、B两点分别 作棱l的垂线AC、BD,求面ABD与面ABC所成角的 大小。

解法二(射影法):由于D在平面ABC
为Rt ?) ?BCD (因 (为什么?) 内的射影H在BC边上 为 ?ABH

A

? D
H

l
?

?ABD在平面ABC上的射影设所求 的二面角为?, 则有 cos? = S?ABH /S?ABD, 2 3 2 a, 由解法一,易求得 S ?ABH =
3 代入上式,得 cos ? = 3

C

B

3

1 2 S ?ABD = a 2

解法三(公式法): 如图,作CE、DF都
垂直于所求二面角的棱AB,E、F是垂

A
E

? D B

足,设所求二面角C-AB-D的平面角大
小为?,易求 应用公式可得:
2 2

C

F

3 a CE = a, DF = a, EF = 2 2

?
a 2 ? ? 2 ? ? a2

CE ? DF ? EF ? CD cos? = 2CE ? DF
2

2

? a? ? a =
3 2 2

2

2?

3 2

a?a

3 = 3



3 ? = arccos 3

小结:
1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围: (1)异面直线所成角?的范围:0? ???90? (2)直线与平面所成的角?的范围:0? ???90? (3)二面角的平面角?的范围通常认为:0? ???180?

2、求空间各角的大小,通常是转化为平面角来计算;

其格式为:应先定其位,后算其值。

3、用间接法求空间角,在答题时,要规范解题过程。


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