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2012圆锥曲线


圆锥曲线
1 双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是
2 2

(A)2

(B) 2 2

(C) 4

(D)4 2

2 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 A. y ? ?8 x
2

B

. y ? 8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D. y ? 4 x
2

B 3 在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内, 过点 E (0, 1) 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD, 则
2 2

四边形 ABCD 的面积为 A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2 B

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 2 2 2 b 5.已知双曲线 a 的两条渐近线均和圆 C: x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,
且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 A. 5
【答案】A 15.过椭圆

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 6 C. 3

x2 y 2 ? ?1 3 D. 6

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, a 2 b2
?

若 ?F1 PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

A. 答案:B

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

14.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, 的中点到 y 轴的距离为

AF ? BF =3

,则线段 AB

3 (A) 4
【答案】C

(B)1

5 (C) 4

7 (D) 4

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 2 9 9. 设双曲线 a 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为
A.4 B.3 C .2 D.1

【答案】C

x2 y 2 3. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a b
两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 答案:C 【解析 】对于 A ? a , 0 ? ,则直 线方程为 x ? y ? a ? 0 , 直线与两渐 近线的交 点 为 B , C B. 3

??? ?

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
C. 5

)

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

D. 10

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?





??? ? ? ? ab ??? ? ??? ? 2a 2b 2a 2b ??? ab ? 2 2 BC ? ( 2 , ? ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC ,? 4a ? b ,? e ? 5 . 2 2 2 a ?b a ?b ? a?b a ?b ?

b2 3b 2 c 3 ? 【解析】因为 P ( ?c, ? ) ,再由 ?F1 PF2 ? 60 有 ,故选 B ? 2a, 从而可得 e ? ? a 3 a a
17.(2009 湖北卷理 ) 已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 2 2 4 b

y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. K ? ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1?

? ? 2 , ?? ? ? ? ?

?1

?

C. K ? ? ?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

【答案】A 【解析】易得准线方程是 x ? ?
a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c2 ? a2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A

2 19.(2009 全国卷Ⅱ理)已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两

点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

2 解: 设抛物线 C : y ? 8 x 的准线为 l : x ? ?2 直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 恒过定点 P ? ?2, 0 ? .

如 图 过 A、B 分

别 作 A M ? l于 M , BN ? l 于 N , 由 | FA |? 2 | FB | , 则

| AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |?
横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为 (1, 2 2) ? k ?

1 | OB |?| BF | 点 B 的 | AF | , ? 2

2 2 ?0 2 2 ? , 故选 D 1 ? (?2) 3

32.(2009 四川卷理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近 2 b2
???? ???? ?
D. 4

线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 = A. ?12 B. ?2 C .0

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。 (同文 8)
2 解析:由题知 b ? 2 ,故 y 0 ? ? 3 ? 2 ? ?1, F1 ( ?2,0), F2 ( 2,0) ,

∴ PF1 ? PF2 ? ( ?2 ?

3 ,?1) ? ( 2 ? 3 ,?1) ? 3 ? 4 ? 1 ? 0 ,故选择 C。

解析 2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

x2 y 2 ? ? 1 ,则左、右焦点坐标分别为 2 2

???? ???? ? F1 (?2, 0), F2 (2, 0) ,再将点 P( 3, y0 ) 代入方程可求出 P( 3, ?1) ,则可得 PF1 ? PF2 ? 0 ,
故选 C。 33.(2009 四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一
2

动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。 解析:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P
2

到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点
2

F (1,0) 和直线 l 2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到直线

l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即 d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

二,填空题

x2 y 2 1 ? 2 ?1 2 2 2 b 18.(江西理 14)若椭圆 a 的焦点在 x 轴上,过点(1, 2 )作圆 x +y =1 的切线,
切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 4 【答案】 5 x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 20.(四川理 14)双曲线 64 36 P 到
左准线的距离是 .

56 【答案】 5
18.(2009 辽宁卷理)以知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的 4 12


动点,则 PF ? PA 的最小值为 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 22.(2009 年上海卷理)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点, P a2 b2

为椭圆 C 上一点,且 PF1 ? PF2 .若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 【答案】3

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 【解析】依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
=3。 23.(重庆理 15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,
2

则圆 C 的半径能取到的最大值为__________ 【答案】 6 ? 1 三,解答题 6.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 3 a b

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C
2 2

交 于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值. 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2
2
2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

y2 ? 1. 2

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .

x0 ? x ? x0 ? , y0



? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0



2 2 x0 ? y0 ?2



? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ?0,

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2
2 ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,
2 2 2

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

2 4 x0 8 ? 2 x0 , x x ? , 1 2 2 2 3x0 ?4 3x0 ?4 ??? ? ??? ? OA ? OB ∵ cos ?AOB ? ??? ? ??? ? ,且 OA ? OB

则 x1 ? x2 ?

??? ? ??? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0 ? x1 x2 ? 1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? ? 2 ? x0

2 2 2 2 x0 8 ? 2 x0 ? ?? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 2 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 3x0 ?4 3x0 ?4 ? ? ? ?
2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ?? 2 ? 2 ? 0. 3x0 ? 4 3 x0 ?4

∴ ?AOB 的大小为 90 . 【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1.
2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

?

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x ? 3x
2 0

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ?0

① ②
2

2 ? 4 ? y 2 ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ?0

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 , ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2

则 x1 x2 ?

2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ?8 , y y ? , 1 2 2 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

? ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90 .

??? ? ??? ?

(∵ x0 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 ,∴ 0 ? x0 ? 2, 0 ? y0 ? 2 ,从而当 3 x0 ? 4 ? 0 时,方程①和
2 2
2 2 2

方程②的判别式均大于零) 8.(2009 山东卷理)(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

x2 y 2 解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b
?4 2 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y2 ?a b ? a2 8 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 4 ?8
x 2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2
w.w. w. k. s.5.u.c.o.m

则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x ? x ? ? 1 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? 要 使 O A

? ? ??

? ? ?? ? O , B需 使 x1 x2

y1 ?y 0 2 , 即

2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 k 2 ?

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ,所以 8 3 m ? 8 ?

m2 ?

2 6 2 6 8 ,即 m ? 或m? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3

m2 m2 8 2 6 线 , 所以圆的半径为 r ? ,r ? , 所求的圆为 ? ? ,r ? 2 2 2 3m ? 8 3 3 1? k 1? k 1? 8
2

m

x2 ? y 2 ?

2 6 2 6 8 , 此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m? ? , 而当切线的斜 3 3 3

率不存在时切线为 x ? ?

x2 y2 2 6 2 6 2 6 ,? )或 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( 3 3 3 8 4

(?

??? ? ??? ? 2 6 2 6 8 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的 3 3 3 ??? ? ??? ?

任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (?
2 2

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) ) ? 4 ? ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1

①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 1 1 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 2 1 k 4k 2 ? 2 ? 4 8 k 32 32 1 所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
所以

2 4 时取”=”. 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 2 3

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3

③ 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 (

2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) , 所以此时 3 3 3 3

| AB |?

4 6 , 3

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关 参数问题以及方程的根与系数关系.

F,F 40.(天津理 18)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a, b) (a ? b ? 0) 为动点, 1 2 分别为

x2 y 2 ? 2 ?1 2 F PF b 椭圆 a 的左右焦点.已知△ 1 2 为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线

PF2

???? ? ???? ? PF2 A , B AM ? BM ? ?2 , M 与椭圆相交于 两点, 是直线 上的点,满足

求点 M 的轨迹方程. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分. (I)解:设

F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0) | PF2 |?| F1 F2 |,

由题意,可得 即

(a ? c) 2 ? b 2 ? 2c.

c c c 2( )2 ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 a a 整理得 a (舍) , c 1 1 ? . e? . 2 或 a 2 所以
(II)解:由(I)知 a ? 2c, b ? 3c, 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,
2 2 2

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c).

2 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12c , ? ? y ? 3( x ? c ). A,B 两点的坐标满足方程组 ?

2 消去 y 并整理,得 5 x ? 8cx ? 0.

8 x 1 ? 0, x2 ? c. 5 解得

8 ? x2 ? c, ? x ? 0, ? 5 ? 1 ? ? ? 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? y2 ? c. ? 5 ? 得方程组的解
8 3 3 A( c, c), B(0, ? 3c) 5 不妨设 5

???? ? ? 8 3 3 ???? ( x, y ), 则 AM ? ( x ? c, y ? c), BM ? ( x, y ? 3c) 5 5 设点 M 的坐标为 , y ? 3( x ? c), 得c ? x ?


3 y. 3

???? ? 8 3 3 8 3 3 AM ? ( y ? x, y ? x), 15 5 5 5 于是
???? ? ???? ? ???? ? BM ? ( x, 3x). 由 AM ? BM ? ?2,

8 3 3 8 3 3 y ? x) ? x ? ( y ? x) ? 3x ? ?2 5 5 5 即 15 , (
2 化简得 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0.

y?


18 x 2 ? 15 3 10 x 2 ? 5 代入c ? x ? y, 得c ? ? 0. 3 16 x 16 3 x

所以 x ? 0.
2 因此,点 M 的轨迹方程是 18 x ? 16 3xy ? 15 ? 0( x ? 0).

42.(重庆理 20)如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 为x?? ?.

e?

? ? ,一条准线的方程

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足:OP ? OM ? ?ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON

uu u r

uuur

uuu r

? PF? ? PF? F,F 的斜率之积为 ? ,问:是否存在两个定点 ? ? ,使得 为定值?若存在,求 ?

F? , F?

的坐标;若不存在,说明理由.

c 2 a2 e? ? , ? 2 2, a 2 c 解: (I)由
解得 a ? 2, c ?

2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2
(II)设

P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

,则由

??? ? ???? ? ???? OP ? OM ? 2ON 得
( x, y ) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以
2 2
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ?4





2 2 x 2 ? 2 y 2 ? ( x12 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y12 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).


kOM , kON

分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?
2

y1 y2 1 ?? , x1 x2 2 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0,
2

所以 x ? 2 y ? 20.

x2 (2 5) 2 所以 P 点是椭圆

?

y2 ( 10) 2

?1
上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则由椭 ,因此两焦点的坐标为

圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因

c ? (2 5) 2 ? ( 10) 2 ? 10

F1 (? 10, 0), F2 ( 10, 0).
x2 y2 ? ?1 2 26.(江苏 18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 的顶点,
过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点,其中 P 在第一象限, 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, 连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离 等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分 16 分. 解: ( 1)由题设知, a ? 2, b ?

2 , 故M (?2,0), N (0,? 2 ), 所以线段 MN 中点的坐标为

(?1,?

2 ) 2 ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标

2 2 ? 2. k? ?1 2 原点,所以 ?
y ? 2 x代入椭圆方程得
(2)直线 PA 的方程

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

2 2 4 2 4 x ? ? ,因此P( , ), A(? ,? ). 3 3 3 3 3 解得

4 3 ? 1, 故直线AB的方程为x ? y ? 2 ? 0. 2 2 2 3 ? C ( ,0), 于是 3 直线 AC 的斜率为 3 3 0?
2 4 2 ? ? | 2 2 因此, d ? 3 3 3 ? . 1 2 3 1 ?1 |
(3)解法一:

将直线 PA 的方程 y ? kx 代入

x2 y2 2 2 ? ? 1, 解得x ? ? , 记? , 4 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

则 P( ? , ?k ), A(?? ,??k ), 于是C ( ? ,0)

0 ? ?k k ? , ? ? ? 2 故直线 AB 的斜率为
y?
其方程为

k ( x ? ? ), 代入椭圆方程得(2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0, 2
或x ? ? ?因此B(

x?
解得

? (3k 2 ? 2)
2 ? k2

? (3k 2 ? 2)
2 ? k2

,

) 2 ? k2 .

?k3

?k 3
k1 ?
于是直线 PB 的斜率

2? k2
2

? ?k ?

? (3k ? 2)
2? k2

1 ?? . k 3k ? 2 ? (2 ? k )
2 2

k 3 ? k (2 ? k 2 )

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 解法二: 设 P( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , A(? x1 ,? y1 ), C ( x1 ,0) .

设直线 PB, AB 的斜率分别为 k1 , k 2 因为 C 在直线 AB 上, 所以 从而

k2 ?

0 ? ( y1 ) y k ? 1 ? . x1 ? (? x1 ) 2 x1 2

k1 k ? 1 ? 2k1 k 2 ? 1 ? 2 ?

y 2 ? y1 y 2 ? (? y1 ) ? ?1 x 2 ? x1 x 2 ? (? x1 )

?

2 2 2 2 y2 ? 2 y12 ( x2 ? 2 y2 ) 4?4 ? 1 ? ? 2 ? 0. 2 2 2 2 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x12

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 答案 1 选择题 C


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