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32 一元二次不等式及其解法 (NXPowerLite)


3.2 一元二次不等式

及其解法

一元二次不等式
定义:只含有一个未知数,未知数的最高次 数是2的不等式,叫一元二次不等式。

即:ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a 0 ? 0)
2 2

函数 、方程、不等式之间的关系
判别式

△=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0

△=0
y
y>0

△<0
y
y>0

的图象

(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根

x1 O

x2 x
y<0

O x1

x

O 没有实根

x

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△≥0

b x?? 2a

x< x1或x> x2

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根

方程的解2x2-3x-2 =0的解 是 1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是

然后想像图象形状

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
1 则不等式的解集为:? ? x ? 2 注:开口向上,小于0 2
图象为: 解集是大于小根且 小于大根

-2

3

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。

若a<0时,先变形!

练习1.解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是 1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解
再看一例

例4.解不等式 -x2 +2x-3 > 0 略解: -x2 +2x-3 > 0

x2 -2x+3 < 0
无 解

注:x2 -2x+3 >0

x?R

练习:不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集为
2

{x x ? 3或x ? ?1}, 求b与c.

b ? ?2, c ? ?3
1 1 不等式ax +bx+2>0的解集是{x|- <x< },试求a,b 2 3
2

二、典型题选讲(
例1. x2 + 5ax + 6 > 0

含参不等式的解法)

解:由题意,得:⊿=25a2-24 2 2 2 1.当⊿=25a -24>0 ,即a ? 6或a ? ? 6时 5 5
2 2 ? ? ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? 5 a ? 2 5 a ? 24 ? ? 解集为: ? x x ? 或x ? ? 2 2 ? ? ? ?;

2.当⊿=25a2-24=0

? 5 ? 解集为: ? x x ? R且x ? ? a ? 2 ?; ?

2 , 即a ? ? 6时 5

3.当⊿=25a2-24<0, 解集为:R.

2 2 即? 6 ?a? 6时 5 5

变式1.

x2 + 5ax + 6a2 > 0

解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a. ①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a};

②当-3a =-2a 即a =0时, 原不等式为 x2>0
解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}. 综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

变式2.

ax2 + (6a+1)x + 6 > 0

? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

一、当a=0时, 解集为?x | x ? ?6? 二、当a≠0时,
因式分解,得 :?ax ? 1??x ? 6? ? 0

1 1 当 ? ? ?6, 即a ? 时 a 6

1 ⑵ 当 ? ? ?6, 即a ? 时 方程?ax ? 1?? x ? 6? ? 0的两 根 为? ,?6 a 6 a 1 解集为 : x x ? R或x ? ?6 ①当a<0时,? ? 0, a 1 1 ? 1? ⑶ 当 ? ? ?6, 即0 ? a ? 时 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a 6 a? ? 1 ? 1?

1

1

?

?

? ?0 ②当a>0时, a

解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

∴综上,得
2.当a ? 0时,解集 为?x x ? ?1?;
1 4.当a ? 时,解集 为?x x ? R且x ? ?6?; 6

? 1? 1.当a ? 0时,解集为 ?x ? 6 ? x ? ? ? a ?; ?

? 1 1? 3.当0 ? a ? 时, 解 集为? x x ? ?6或x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 1 5.当a ? 时,解集为 x x ? ? 或 x ? ? 6 ? ? 6 a ? ?.

注:

解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
论的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;

(二)含参不等式恒成立的问题
知识概要
(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

例题:已知关于x的不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立, 试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件. ②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 即? 2 ( a ? 2) ? 4( a ? 2) ? 0 ? ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立

?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6

所以2 ? a ? 6

?a ? 0 ?? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0

综上: 2 ? a ? 6

三、课堂小结
一、内容分析
1 、解含参数的不等式 2、已知不等式的解集,求参数的值或范围
、 函数 ?1 ? ?2、 分离参数后用最值 ?3 ? 、 用图象

不等式中的恒成立问题

二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想 3、等与不等的化归思想

小结:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根.

四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集.


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