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武汉华英艺考生文化课百日冲刺:同角的三角函数关系


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同角的三角函数关系
【三维目标】 : 一、知识与技能 1. 掌握同角三角函数的基本关系式:sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,

sin ? ? tan ? ,并会运用它们进行简单的三角函数 cos ?

式的化简、求值及恒等式证明。掌握恒等式证明的一般方法. 2. 培养运用数形结合的思想解决有关求值问题;培养学生思维的灵活性及思维的深化; 3. 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法;注意培 养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力 二、过程与方法 1.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系; 2.学习已知一个三角函数值,求它的其余各三角函数值; 3.利用同角三角函数关系式化简三角函数式; 4.利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等。 5.通过例题讲解,总结方法;通过做练习,巩固所学知识. 三、情感、态度与价值观 1. 通过对同角三角函数的基本关系式的学习,认识事物间存在的内在联系,揭示事物间的普遍联系规律,培 养辨证唯物主义思想。 2.使学生面对问题养成勤于思考的习惯; 3.训练学生对三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法 【教学重点与难点】 : 重点:三角函数基本关系式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,

sin ? ? tan ? 的推导及其应用; cos ?

难点:由一个三角函数值求出其他三角函数值,有时结果不惟一,需要讨论;在证明恒等式时,选择适当的推 理途径; 关键:掌握三角函数在各象限的符号,是解决难点的关键; 【学法与教学用具】 : 1.学法:利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 及

sin ? ? tan ? ,并灵活应用求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等 cos ?

2.教学模式:启发、诱导发现教学. 3.教学用具:圆规、三角板、多媒体、实物投影仪. 【授课类型】 :新授课 【课时安排】 课时 :1 【教学思路】 :

一、创设情景,揭示课题
1 . 任 意 角 的 三 角 函 数 定 义 : 设 角 ? 是 一 个 任 意 角 , ? 终 边 上 任 意 一 点 P ( x, y ) , 它 与 原 点 的 距 离 为

r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么: sin ? ?

2.当角 ? 分别在不同的象限时,sin ? 、cos ? 、tg ? 的符号分别是怎样的? 3.背景:如果 sin A ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

4.问题:由于 ? 的三角函数都是由 x 、 y 、 r 表示的,则角 ? 的三个三角函数之间有什么关系? 提示课题:与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角
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3 , A 为第一象限的角,如何求角 A 的其它三角函数值; 5

武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.

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二、研探新知
【探究】 :三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之 间的关系吗? 法一 (利用三角函数线) 如图, : 以正弦线 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP ? 1 . 由勾股定理由 MP 2 ? OM 2 ? 1 ,因此
y

x 2 ? y 2 ? 1 ,即 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 .根据三角函数的定义,当
a ? k? ?

P 1 M O A(1,0) x

?
2

(k ? Z ) 时,有

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方等于 1,商等 于角 ? 的正切.

sin ? ? tan ? . cos ?

法二(理论证明,采用定义) : y x 1? ? x 2 ? y 2 ? r 2 且 sin ? ? , cos ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 r r ? sin ? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? (k ? Z )时, ? ? ? ? ? ? tan ? 2 cos ? r r r x x 故有

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 (公式 1)

sin ? ? tan ? (公式 2) cos ?

【说明】 :①关系式是对于同角而言的.,而“同角”的概念与角的表达形式无关,如: sin 2 3? ? cos 2 3? ? 1 ,

? 2 ? tan ? ; sin 2 ? 读作“ sin ? 的平方” ,它与 ? 2 的正弦不同 ? 2 cos 2 sin
②上述关系(公式 2)都必须在定义域允许的范围内成立; ③据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求 平方根,会出现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次) 。 ④对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos ? ?

⑤这两个关系式是两个三角恒等式, 只要 ? 的值使式子的两边都有意义, 无论 ? 取什么值, 两个式子都是恒成立的, 即式子的左右两边是恒等的。以后说到三角恒等式时,除特殊注明的情况外,也都假定是在使两边都有意义的情况 下的恒等式.

sin ? 等。 tan ?

三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例 1. (教材 P16 例 1)已知 sin ? ? 【举一反三】

4 ,且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? 的值 5

24 ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan ? ? _____ 25 2 12 2.已知 cos ? ? ? ,且 ? 是第三象限角,则 sin ? ? ____ , tan ? ? _____ 13
1.已知 sin ? ?
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武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 3.求满足

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3 cos A 1 的 A , B 中的最小正角 , ? 2 sin B 2 12 例 2. (教材 P16 例 2)已知 tan ? ? ,求 sin ? , cos ? 的值 5 【举一反三】 1 3? 1.若 tan ? ? , ? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为______ 3 2 2. 已知 tan ? ? m ,且 ? 是第二象限角,则 sin ? ? _____ 1 2.若 tan ? ? ? ,则 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? 3 cos 2 ? 的值为_____ 2 【触类旁通】 ? 2? ], 已知 x ? [? , (1)求函数 y ? cos x 的值域; (2)求函数 y ? ?3 sin 2 x ? 4 cos x ? 4 的最大值和最小值; (3) 3 3 求函数 y ? ?3 sin 2 x ? 4a cos x ? 4 的最小值。
【注意】 sin ? ,cos ? , tan ? 三者知一求二,要求熟练掌握. :① ②已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位置 是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。 ③解题时产生遗漏的主要原因是:没有确定好或不去确定角的终边位置;利用平方关系开平方时,漏掉了负的 平方根。 例 3. (教材 P17 例 3)化简 tan ? 【举一反三】 1.化简:

sin A ? cos B

1 ? 1 ,其中 ? 是第二象限。 sin 2 ?

1 ? cos 2 ? ? cos ? ? sec ? 1 ? sin 2 ?
1 ? n, 则 lg sin ? 等于( ) 1 ? cos ? 1 1 1 1 C. (m ? ) D. ( ? n) 2 n 2 m

2.设 ? 为锐角, lg(1 ? cos ? ) ? m, lg

A. m ? n

B.

1 ( m ? n) 2

3.已知 ? 是第二象限角,化简:

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

化简的几个原则: ① 所含三角函数的种类最少;②次数尽可能低;③分母尽可能不含三角函数符号;④项数尽可能少;⑤尽可 能将根号内因式移到根号外面来;⑥能求值(指准确值)尽量求值,不含特殊角的三角函数值。 例 4. (教材 P17 例 4)求证: 【举一反三】 1.求证: sin 6 ? ? cos 6 ? ? 1 ? 3 sin 2 ? cos 2 ? 2.已知 tan 2 ? ? 2 tan 2 ? ? 1 ,求证: sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

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武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 3.求等式 【触类旁通】

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1 ? sin ? ? tan ? ? sec ? 成立的条件 1 ? sin ?

已知关于 x 的方程 4 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,求实数 m 的值。

四、巩固深化,反馈矫正 A 组:1.下列关系成立的是( )
A. sin 25 0 ? cos 25 0
2.已知 sin ? ?

B. tan 25 0 ? sin 25 0

C. sin 48 0 ? cos 48 0

D. tan 48 0 ? cos 48 0

15 ,则 cos ? 的值为____ 17
) A. sin ? ? ,cos ? ?

3.下列关系式中, ? 存在的是( 角) D. sin ? ?

1 3

2 3

B. sin ? ? cos ? ?

4 3

C. sin ? ? cos ? ?

1 ( ? 为锐 2

a2 ?1 (a ? R, a ? 0) a2

4.已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

5 ,则这个三角形的形状是_____三角形 6

5.方程 sin 2 x ? cos x ? k ? 0 有解,则常数 k 的取值范围是______ 6.已知 ? , ? 为锐角,且 8 sin 2 ? ? 9 tan 2 ? ? 3 (8 sin ? ? 6 tan ? ) ? 9 ? 0 ,则 ? ? ____

1 , ? 是第三象限角,则 cos ? ? _____ , tan ? ? _____ 3 1 8.已知 tan ? ? ? ,则 sin ? ? _____ , cos ? ? _____ 2 2 5 ,请你利用三角函数线写出 cos x 的取值范围_____ 9.已知 sin x ? 5 1 sin ? ? 2 cos ? ? 2 ,求 sin ? ? cos ? 值 10.已知 sin ? ? cos ? ? ,则 tan ? ? _____ 11.若 ? 满足 5 sin ? ? 3 cos ? 2k ? 2 2?k , cos ? ? 12.如果 ? 满足条件 sin ? ? ,试求 k 的值 k ?6 k ?6 1 sin ? ? 2 cos ? 13.已知 tan ? ? ? ,求 和 sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? ? 2 的值 3 3 sin ? ? 4 cos ?
7.已知 sin ? ? ? 14.若 f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2 sin 2 x 的最小值为 a 的函数,记为 g (a ) , (1)写出 g (a ) 的表达式; (2)求能使

g (a) ?

1 的 a 的值,并求当 a 取此值时, f (x) 的最大值。 2
cos x 1 ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x 的值域是_______ sin x

B 组:1.函数 y ?
2.已知

cos 2 ? ? 4 ? 2 ,则 (sin ? ? 1)(2 cos ? ? 3) 的值等于______ sin ? ? 1
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武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 3.若 ? ? (0,

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?
3

) ,则 3|log3 sin ? | 的值等于______
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? 的值等于_____ cos ?

4.若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则

5.已知 log sin ? cos ? ? log cos ? sin ? ,则 log (1? tan 2 ? ) sin ? cos ? 为____ 6.化简:

1 ? sin 6 ? ? cos 6 ? 4 ? ________ 7.已知 sin x ? cos x ? ,则 sin 4 x ? cos 4 x ? _____ 4 4 3 1 ? sin ? ? cos ?

8.已知 sin x ? cos x ? m, (| m |? 2 ,且 | m |? 1) ,则 sin 3 x ? cos 3 x ? _____ 9.若 sin ? , cos ? 为方程 2 x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根,则

sin ? cos ? ? ? ____ 1 ? cot ? 1 ? tan ?

10.化简: (1)

sin ? ? cos ? sin 2 ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ; (2) sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? tan 2 ?
tan ?

11.已知 ? 为锐角,且 sin ? ? cos ? ? 2 ,求 log 2

? log 2

sin ?

? log 2

cos ?

? log 2

cot ?

的值

12.已知 ? ? [0,2? ], sin ? , cos ? ,分别是 x 2 ? kx ? 1 ? 0 的两个根,求角 ? 13.已知 sin ? ? a sin ? , tan ? ? b tan ? , ? 为锐角,求证: cos ? ?

a2 ?1 b2 ?1

五、归纳整理,整体认识
1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有哪些? 2.公式的应用可分为: (1)已知角的正弦、余弦、正切值中的一个,求出其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证 明简单的三角恒等式。 3.同角三角函数基本关系式及成立的条件;同角三角函数的关系式的前提是“同角” ,因此 sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2

tan ? ?

sin ? . cos ?

4.证明恒等式常用的方法: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边等于同一个式子; (3)分析 法,寻找等式成立的充公条件。证明的方向一般是“由繁到简”

六、承上启下,留下悬念
预习三角函数的诱导公式

七、板书设计(略) 八、课后记:

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