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3.2一元二次不等式及其解法


ax + bx + c > 0

2

回顾知识
同学们在初中学习过一元一次不等式的解 法,你能说出一元一次函数,一元一次方程,一 元一次不等式之间的关系吗? 能通过观察一次 函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

一元一次函数,一元一次方程, 一元一次不等式之间的关系 ,如下:

设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0, 0);

则一元一次方程ax+b=0的解集是 {x | x=x0};
同时一元一次不等式ax+b>0(<0)的解集:

(1)当a>0时,一元一次不等式ax+b>0的解 集是 {x | x>x0},一元一次不等式ax+b<0的解集 是 {x | x<x0}.
(2)当a<0时,一元一次不等式ax+b>0的解 集是{x | x<x0},一元一次不等式ax+b<0的解集 是 {x | x>x0}.

新课导入
问题:某同学想上网查资料,现有两家网 吧可供选择。A网吧每小时收费1.5元(不足1 小时的按1小时计算); B网吧的收费原则为, 在用户上网的第1个小时内(含恰好1个小时) 收费1.7元,第2个小时内收费1.6元,以后每小 时减少0.1元(每天上网最多17小时).

分析:一般来说,一次上网的时间不会超过 17小时.所以,不妨设一次上网的时间总小于17 小时.那么,一次上网在多长时间以内,去A网吧 合算? 问:设该同学上网时间为x小时, (1)若该同学去A网吧,试写出所需费用的表达式? (2)若该同学去B网吧,试写出所需费用的表达式? (3)一次上网在多长时间以内,去A网吧合算?

解: 一次上网的时间为x小时,则网吧A 收取的费用为1.5x(元) 网吧B收取的费用为

x(35-x)/20(元)
若要能够保证选择网吧A比网吧B所 需费用少,则 想想为什么? x(35-x)/20> 1.5x(0<x<17).

经整理得

x2 - 5x > 0
这是一个关于x的一元二次不等式.只要求的 满足此不等式的解集,就得到了答案. 一元二次不等式的定义: 什么是一元二次 不等式? 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数为2次的不等式称为一元二次不等式.

我们已经知道导入中的问题已经归结为求 一个一元二次不等式解的问题,那么怎样求得 下面式子的解集呢?

x - 5x < 0

2

我们先来考察它与二次函数

y ? x2 ? 5x

与 x2 ? 5x ? 0 的关系. 容易知道:

x1 二次方程的有两个实数根: x1 二次函数也正有两个零点 :
y
y = x 2 - 5x

= 0, x2 = 5 = 0, x2 = 5

o

5

x

观察函数图象,可知:当 x<0,或x>5时, 函数图象位于x轴上方,此时,y>0,
2 x - 5x > 0 即

当0<x<5时,函数图象位于x轴下方,此时, y<0, 2 x - 5x < 0 即 y 所以,不等式的解集是,

?x | 0 < x < 5?.

y = x 2 - 5x

o

5

x

1、要解一元二次不等式和一元二次函数 及二次方程用很大关系!
2、同学们在学习过程中应多于以前的知 识相结合.从而作到融汇贯通的效果.

我们已经知道了具体一元二次方程的解法, 能不能由此推出一般一元二次方程的解法? 一元二次方程的一 2 ax般形式是什么? + bx + c ? 0

ax + bx + c ? 0
2 2 2

ax + bx + c ? 0 ax + bx + c <0

根据上面的具体问题,我们可以得到,确定一 元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点:
2 y = ax + bx + c 与x轴的相关位置的情况, (1)抛物线

2 ax + bx + c = 0 的根的情况 . 也就是一元二次方程
2 y = ax + bx + c的开口方向,即a的符号. (2)抛物线

我们是怎样确定一元二次方程 ax2 + bx + c = 0

的根的呢?
通过以前的知识,我们知道:ax2 + bx + c = 0 2 的根与他的判别式有很大关系. Δ = b - 4ac 即为 它的判别式,当 Δ > 0 时,有两个不同的实根; 当 Δ < 0 时,没有实根; 当 Δ = 0时,有一个实根. 同时我们知道,a<0可以转化为a>0,从而只要 考虑a>0的情况即可.

从而结合一元二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像,
y = ax2 + bx + c 与x轴的相关位置分三种情况:

y

y

y

x1

x2

x1=x2
0
Δ>0

x
Δ<0

Δ=0

通过以上分析,我们就可以分三种情况来 讨论对应的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集了. y y y

x1

x2 x1=x2
Δ>0

Δ=0

0
Δ<0
x?R

x

x ? x1及 解分别为:x1 < x < x2 ,

根据上述方法,请将下表填充完整. 二次函数
y = ax2 + bx + c

Δ>0
y

Δ=0
y

Δ>0
y

y = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c

(a>0)的图像
x1
x2 x x1=x2 x x

一元二次方 有两相 程的根 异实根

有两相 等实根

无实根

ax2 + bx + c = 0 x ,x ? x < x ? x ? x = -b 1 2 1 2 1 2 2a

ax2 + bx + c > 0 { x | x < x1 { x | x ? b/2a}

R

的解集

或x > x2 }

ax2 + bx + c < 0

?x x < x

1

的解集

或x > x 2

?

?

?

解一元二次不等式的基本步骤:“三步曲” (1)转化为不等式的“标准”形式; (2)算△,解相应一元二次方程的根;

(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向,
写出不等式的解集.

解不等式

2x2 - 3x - 2 > 0

解:因为△>0,方程 2x2 - 3x - 2 > 0 的解是
x1 =-1/2 ,x2 =2 所以,不等式的解集是 {x |x1<-1/2,或 x2 >2}

解不等式 -x2 + 2x - 3 > 0 解:整理,得
x2 - 2x + 3 < 0

因为△<0,方程x2 - 2x + 3 < 0 无实数解,

所以不等式 -x2 + 2x - 3 > 0 的解集是φ.
从而,原不等式的解集是φ.

解不等式 4x2 - 4x +1 > 0 解:因为△=0,方程 4x2 - 4x +1 = 0 的解是 x1 = x2=1/2

所以,不等式的解集是
{x |x ≠ 1/2}.

一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装 配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆) 与创造的价值y(元)之间有如下的关系:

y = -2x2 + 220x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大 约应该生产多少辆摩托车?

解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托 车,根据题意,我们得到
-2x2 + 220x > 6000

移项整理,得 x2 -110x < 3000
因为方程有两个实数根 x1=50,x2=60

由二次函数的图象,得不等式的解为:
50<x<60.

又因为x只能取正整数,所以,当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量 在51—59辆之间时,这家工厂能够获得6000元 以上的收益 .

课堂小结
1、解一元二次不等式的步骤:
A = ax2 + bx + c (1) 将二次项系数化为 正号;

(2)计算判别式,分析不等式的解的情况: ⅰ. △ >0时,求根x1<x2, A>0,x>x1或x<x2 A<0,x1<x<x2

A>0,x≠x1

ⅱ. △ =0时,求根x1=x2,

A<0, φ
A=0,x=x1 A>0,R A≤0, φ

ⅲ. △ <0时,方程无解,

(3) 写出解集.

2、一元二次方程、一元二次不等式和二次 函数的关系. (1)二次方程的根是函数的零点,即二次 函数图象与x轴交点的横坐标; (2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次 不等式的解.

3、数学思想的体现
数形结合的思想及化归思想.

习题答案
3 5 1.(1)? x ? x ? ? , 或x ? 2 2 (2)? (3)?

?;

13 13 x ?? ? x? ?; 2 2 x ?x ? ?2, 或x ? 5 ? ;

(4)? x ? 0? x?9

?.

? 3 3? ? ? x ? x < 1 或 x < 1 + ? ? 时y>0, 当 3 3 ? ? ? ? ? 3 3? ? ? 当 x ? ?1 - 3 < x < 1 + 3 ? 时y<0; ? ? ? ?

(2){-5,5},{-5<x<5},{x>5或x<-5};
(3) φ, φ, R; (4){2},{x≠2}, φ.


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