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2016高考数学(文)一轮复习配套课件:第二章 基本初等函数、导数及其应用 第12讲 导数与函数的单调性


第二章 基本初等函数、导数及其应用 第12讲 导数与函数的单调性 第二章 基本初等函数、导数及其应用 函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不 恒等于 0. 增函数 . f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为__________ 减函数 . f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为__________ 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 [做一做] 1.下列函数中,为增函数的是( B 1 A.y=- 2 x C.y=lg|x| ) B.y=x3+x2+x 1 D.y=x+ x (0,+∞) . 2.函数 f(x)=ex-x 的单调递增区间是___________ 解析:∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1, 由 f′(x)>0,得 ex-1>0,即 x>0. 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 理清导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(或<0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分 不必要条件; (2)f′(x)≥0(或≤0)是 f(x)在(a, b)内单调递增(或递减)的必要 不充分条件(f′(x)=0 不恒成立). 注意:由函数 f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得 f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立,而不是 f′ (x)>0(或 <0) 恒成立, “=”不能少. 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 [做一做] 3.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大 3 值是________ . 解析:f′(x)=3x2-a≥0,即 a≤3x2, 又∵x∈[1,+∞),∴a≤3,即 a 的最大值是 3. 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 考点一 考点二 考点三 利用导数判断或证明函数的单调性 求函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的范围(高频考点) 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 考点一 利用导数判断或证明函数的单调性 (2014· 高考安徽卷节选)设函数 f(x)=1+(1+a)x- x2-x3,其中 a>0. 讨论 f(x)在其定义域上的单调性. [解] f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2. -1- 4+3a -1+ 4+3a 令 f′(x)=0, 得 x1= , x2= , x1<x2, 3 3 所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内 单调递增. 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 [规律方法] 导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性 的步骤: (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. 栏目 导引 第二章 基本初等函数、导数及其应用 1. 设 a∈[ - 2 , 0] , 已 知 函 数 f(x) = 3 x ? -(a+5)x,x≤0, ? ? 3 a+3 2 证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递 ? ?x - 2 x +ax,x>0. 减,在区间(1,+∞)内单调递增. 证明:设函数 f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0), a+3 2 f2(x)=

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